Giải bài toán bằng cách lập hệ ba phương trình ba ẩn

Cách giải bài toán bằng cách lập hệ 3 phương trình 3 ẩn Toán 9

Trong chương trình Toán 9, bài toán bằng cách lập hệ ba phương trình ba ẩn là dạng toán đòi hỏi học sinh biết phân tích dữ kiện, lựa chọn ẩn và thiết lập các phương trình phù hợp. Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ ba phương trình ba ẩn hướng dẫn cách nhận dạng dạng bài, đặt điều kiện cho ẩn và xây dựng hệ phương trình từ những thông tin đã cho. Đây là nội dung hữu ích cho học sinh đang học chuyên đề Toán 9 có đáp án và ôn tập kiến thức phục vụ thi vào lớp 10 môn Toán.

A. Cách giải toán bằng cách lập hệ phương trình

B Ví dụ minh họa giải toán bằng cách lập hệ 3 phương trình 3 ẩn

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Bài toán yêu cầu tìm số đàn ông, đàn bà và trẻ em nên ta có thể chọn ba ẩn. Từ đề bài ta thiết lập được hai phương trình: Phương trình thứ nhất là phương trình cân bằng số người, phương trình thứ hai cân bằng khối lượng. Vì điều kiện ẩn số là số tự nhiên, nên ta có thể giới hạn miền giá trị của mỗi ẩn để tìm nghiệm (thực chất là giải hệ phương trình nghiệm tự nhiên).

Lời giải chi tiết

Gọi số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là \(x,y,z;\left( {x,y,z \in \mathbb{N};\,\,x,y,z < 16} \right)\)

Theo đề bài, có tất cả 16 người đi dự trại hè, ta có phương trình: \(x + y + z = 16\) (1)

Theo đề bài, mỗi người đàn ông mang theo 3kg, mỗi nhóm hai người đàn bà mang theo 1kg, mỗi nhóm ba đứa trẻ mang theo 1kg, ta có phương trình: \(3x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 19\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 16\\ 3x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 19 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 16\\ 18x + 3y + 2z = 144 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 16\\ 16x + y = 82 \end{array} \right.\)

Ta có 16x + y = 82 mà y > 0 nên 16x < 82 => x < 5,125

Mặt khác y<16 nên 16x > 66 => x > 4,125 do đó x = 5

Từ đó ta tính được y = 2, z = 9 ( thỏa mãn)

Vậy số đàn ông, đàn bà và trẻ em lần lượt là 5 người, 2 người, và 9 người.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian công nhân A làm một mình xong công việc hết x (giờ, x > 0)

thời gian công nhân B làm một mình xong công việc hết y (giờ, y > 0)

thời gian công nhân C làm một mình xong công việc hết z (giờ, z > 0)

Theo đầu bài, nếu công nhân A và B cùng làm thì mất 6 giờ, ta có phương trình :

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)(1)

Theo đầu bài, nếu công nhân B và C cùng làm thì mất 4 giờ 30 phút \(\left( { = \frac{9}{2}h} \right)\), ta có phương trình: \(\frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{2}{9}\) (2)

Theo đầu bài, nếu công nhân C và A cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút \(\left( { = \frac{{18}}{5}h} \right)\), ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{5}{{18}}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{2}{9}\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{5}{{18}} \end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta được: \(2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3}\) (4)

Từ (1) và (4), ta có: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow z = 6\)

Từ (2) và (4), ta có: \(\frac{2}{9} + \frac{1}{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 9\)

Từ (3) và (4), ta có: \(\frac{5}{{18}} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow y = 18\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 9\\ x = 18\\ z = 6 \end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy thời gian công nhân A làm một mình xong công việc hết 9 giờ, thời gian công nhân B làm một mình xong công việc hết 18 giờ, thời gian công nhân C làm một mình xong công việc hết 6 giờ.

C. Bài tập tự rèn luyện giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài tập 1. Có 480 học sinh dự trại hè tại 3 điểm, 10% số học sinh của địa điểm (I), 8,5% học sinh của địa điểm (II) và 15% số học sinh của địa điểm (III) đi thăm một viện bảo tàng. Viện bảo tàng cách địa điểm (I) 60 km, các địa điểm (II) 40 km và cách địa điểm (III) 30 km. Để trả vừa đủ tiền xe (giá 100 đồng cho mỗi người đi 1 km) số người đi thăm viện bảo tàng đã góp đồng đều mỗi người 4000 đồng. Hỏi có bao nhiêu người ở mỗi địa điểm đã đi thăm viện bảo tàng.

Bài tập 2. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được \(\frac{1}{2}\) thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được \(\frac{1}{3}\) thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi bình.

Bài tập 3. Có ba đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội III là trung bình cộng năng suất của đội I và năng suất của đội II. Nếu mỗi đội làm một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc trên?

Bài tập 4. Trong cái bình có đựng nước. Nếu ta rót \(\frac{1}{3}\) lượng nước từ bình thứ nhất sang bình thứ hai; rồi rót \(\frac{1}{4}\) lượng nước hiện tại có ở bình thứ hai sang bình thứ ba và cuối cùng rót \(\frac{1}{10}\) lượng nước ở bình thứ ba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu trong mỗi bình có bao nhiêu lít nước?

Bài tập 5. A nói với B: Tuổi của tôi hiện nay gấp ba lần tuổi của anh vào lúc tuổi tôi bằng tuổi anh hiện nay. Lúc tuổi anh bằng tuổi tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai chúng ta là 98. Tìm tuổi của A và B hiện nay.

(Còn tiếp)

D. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Gọi x;y;z (người) lần lượt là số người của các địa điểm (I), (II), (III) đi thăm viện bảo tàng \(\left( {x,y,z \in \mathbb{N}} \right)\)

Tổng số tiền xe là:

100.(60x + 40y + 30z) = 4000(x + y + z) nên suy ra z= 2x

Tổng số học sinh dự trại là: \(10x + \frac{{200}}{{17}}y + \frac{{20}}{3}z = 480 \Rightarrow 10x < 480\)

=> x < 48 và \(y = 40 - 2x + \frac{{48 + x}}{{60}}.\) Vì y là số tự nhiên

Do đó mà 48 + x < 96 => 48 + x = 60 => x = 12

\(z = 2x = 24\) và \(y = 40 - 2.12 + \frac{{48 + 12}}{{60}} = 17\) (thỏa mãn)

Số người của các địa điểm (I), (II);(III) đi thăm viện bảo tàng là 12 học sinh, 17 học sinh, 24 học sinh.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

------------------------------------------

Nắm vững phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ ba phương trình ba ẩn giúp học sinh Toán 9 chủ động hơn khi gặp các bài toán thực tế có nhiều đại lượng chưa biết. Khi làm bài, cần chú ý xác định đúng ẩn, đặt điều kiện, chuyển dữ kiện thành phương trình và kiểm tra kết quả sau khi giải hệ. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp củng cố chuyên đề hệ phương trình Toán 9 có đáp án, đồng thời nâng cao kỹ năng giải toán trong quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán.