Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Rút gọn biểu thức chứa nhiều căn chồng chất

Toán 9 ôn thi vào 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách rút gọn biểu thức chứa nhiều căn chồng chất,

Trong chương trình Toán 9, các bài toán rút gọn biểu thức chứa nhiều căn chồng chất thường yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt điều kiện xác định, biến đổi căn thức và các hằng đẳng thức quen thuộc. Đây cũng là dạng bài quan trọng khi ôn thi vào 10 môn Toán, giúp rèn luyện khả năng nhận dạng cấu trúc và lựa chọn cách biến đổi phù hợp. Chuyên đề dưới đây tổng hợp các dạng bài Rút gọn biểu thức chứa căn, kèm lời giải và đáp án, hỗ trợ học sinh Toán 9 Kết nối tri thức luyện tập từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) $\sqrt {8 - \sqrt {15} } .\sqrt {8 + \sqrt {15} }$ $\sqrt {8 - \sqrt {15} } .\sqrt {8 + \sqrt {15} }$ ; b) ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$ ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

. $\sqrt {8 - \sqrt {15} } .\sqrt {8 + \sqrt {15} } = \sqrt {64 - 15} = \sqrt {49} = 7$ $\sqrt {8 - \sqrt {15} } .\sqrt {8 + \sqrt {15} } = \sqrt {64 - 15} = \sqrt {49} = 7$

b) Ta có:

${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2} = 6 - \sqrt {11} + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)} + 6 + \sqrt {11}$ ${\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2} = 6 - \sqrt {11} + 2\sqrt {\left( {6 - \sqrt {11} } \right)\left( {6 + \sqrt {11} } \right)} + 6 + \sqrt {11}$

. $= 12 + 2\sqrt {36 - 11} = 22$ $= 12 + 2\sqrt {36 - 11} = 22$

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: .

$P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } }$ $P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán: Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng $\sqrt a + \sqrt b$ $\sqrt a + \sqrt b$ và $\sqrt a - \sqrt b$ $\sqrt a - \sqrt b$ nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } }$ $P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

$= \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 }$ $= \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 }$

$= \sqrt {4 - 2 - \sqrt 2 } .\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)} .\sqrt {2 + \sqrt 2 } .\sqrt 2$ $= \sqrt {4 - 2 - \sqrt 2 } .\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)} .\sqrt {2 + \sqrt 2 } .\sqrt 2$

$= \sqrt {4 - 2} .\sqrt 2 = 2$ $= \sqrt {4 - 2} .\sqrt 2 = 2$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt {10 + 2\sqrt {21} } - \sqrt 3$ $A = \sqrt {10 + 2\sqrt {21} } - \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Để rút gọn biểu thức có dạng $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ ta chú ý tới hằng đẳng thức

$x \pm 2\sqrt {xy} + y = {\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)^2}$ $x \pm 2\sqrt {xy} + y = {\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)^2}$

Ta cần biến đổi: $\sqrt {a \pm 2\sqrt b } = \sqrt {{{\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)}^2}}$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b } = \sqrt {{{\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)}^2}}$, do vậy ta xác định x và y thông qua $x + y = a;{\rm{ }}xy = b$ $x + y = a;{\rm{ }}xy = b$. Chẳng hạn: $x + y = 10;{\rm{ }}x.y = 21 \Rightarrow \left\{ {x;y} \right\} = \left\{ {3;7} \right\}$ $x + y = 10;{\rm{ }}x.y = 21 \Rightarrow \left\{ {x;y} \right\} = \left\{ {3;7} \right\}$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$A = \sqrt {3 + 2.\sqrt {3.7} + 7} - \sqrt 3 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 3 = \sqrt 3 + \sqrt 7 - \sqrt 3 = \sqrt 7$ $A = \sqrt {3 + 2.\sqrt {3.7} + 7} - \sqrt 3 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 3 = \sqrt 3 + \sqrt 7 - \sqrt 3 = \sqrt 7$

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: $B = \sqrt {4 + \sqrt 7 } + \sqrt {8 - 3\sqrt 5 } - \sqrt 2$ $B = \sqrt {4 + \sqrt 7 } + \sqrt {8 - 3\sqrt 5 } - \sqrt 2$

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Đề bài chưa xuất hiện dạng $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$.

Ta cần biến đổi bài toán về dạng $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ và giải theo cách trên.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$B.\sqrt 2 = \sqrt {8 + 2\sqrt 7 } + \sqrt {16 - 6\sqrt 7 } - 2$ $B.\sqrt 2 = \sqrt {8 + 2\sqrt 7 } + \sqrt {16 - 6\sqrt 7 } - 2$

$B.\sqrt 2 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}} - 2$ $B.\sqrt 2 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}} - 2$

$B.\sqrt 2 = \sqrt 7 + 1 + 3 - \sqrt 7 - 2 = 2 \Rightarrow B = \sqrt 2$ $B.\sqrt 2 = \sqrt 7 + 1 + 3 - \sqrt 7 - 2 = 2 \Rightarrow B = \sqrt 2$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$ $A = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b }$ sau đó dùng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và giải như các ví dụ trên.

Lời giải chi tiết

Ta có

$A = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$ $A = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$

$= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} } }$ $= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} } }$

$= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3} }$ $= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3} }$

$= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 4\sqrt 3 + 3} } = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }$ $= \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 4\sqrt 3 + 3} } = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }$

$= \sqrt {2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 } = \sqrt 4$ $= \sqrt {2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 } = \sqrt 4$

Suy ra $A=2$.

Ví dụ 6: Rút gọn: $C = \sqrt {2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } - \sqrt {2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} }$ $C = \sqrt {2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } - \sqrt {2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} }$

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng $\sqrt {a \pm 2\sqrt b } = \sqrt {{{\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)}^2}}$ $\sqrt {a \pm 2\sqrt b } = \sqrt {{{\left( {\sqrt x \pm \sqrt y } \right)}^2}}$.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng $C = \sqrt {x + \sqrt y } \pm \sqrt {x - \sqrt y }$ $C = \sqrt {x + \sqrt y } \pm \sqrt {x - \sqrt y }$ ta thường tính $C^2$ sau đó nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C.

Lời giải chi tiết

Xét

${C^2} = 2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} + 2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} - 2\sqrt {\left( {2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } \right)\left( {2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } \right)}$ ${C^2} = 2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} + 2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} - 2\sqrt {\left( {2 - \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } \right)\left( {2 + \sqrt {2\sqrt 5 - 2} } \right)}$

${C^2} = 4 - 2\sqrt {4 - 2\sqrt 5 + 2} = 4 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = 4 - 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$ ${C^2} = 4 - 2\sqrt {4 - 2\sqrt 5 + 2} = 4 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = 4 - 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

${C^2} = 6 - 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}$ ${C^2} = 6 - 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}$

Vì $C < 0$ nên $C = 1 - \sqrt 5$ $C = 1 - \sqrt 5$.

Ví dụ 7: Cho $b \ge 0;{\rm{ }}a \ge \sqrt b$ $b \ge 0;{\rm{ }}a \ge \sqrt b$. Chứng minh đẳng thức:

$\sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}}$ $\sqrt {a \pm \sqrt b } = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}}$

Hướng dẫn giải

Đặt vế phải là: $B = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}}$ $B = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}}$

Ta có $B \ge 0$ $B \ge 0$

Xét

${B^2} = \frac{{a + 2\sqrt {{a^2} - b} }}{2} \pm 2.\sqrt {\frac{{\left( {a + \sqrt {{a^2} - b} } \right)}}{2}.\frac{{\left( {a - \sqrt {{a^2} - b} } \right)}}{2}} + \frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}$ ${B^2} = \frac{{a + 2\sqrt {{a^2} - b} }}{2} \pm 2.\sqrt {\frac{{\left( {a + \sqrt {{a^2} - b} } \right)}}{2}.\frac{{\left( {a - \sqrt {{a^2} - b} } \right)}}{2}} + \frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}$

Vì $B \ge 0$ $B \ge 0$ nên $B = \sqrt {a \pm \sqrt b }$ $B = \sqrt {a \pm \sqrt b }$.

Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 8. Rút gọn các biểu thức:

a) $C = \frac{{\sqrt {6 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)} - \sqrt {6 - 2\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)} }}{{\sqrt 2 }}$ $C = \frac{{\sqrt {6 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)} - \sqrt {6 - 2\left( {\sqrt 6 - \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)} }}{{\sqrt 2 }}$;

b) $D = \frac{{\sqrt {9 - 6\sqrt 2 } - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}$ $D = \frac{{\sqrt {9 - 6\sqrt 2 } - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$C = \frac{{\sqrt {1 + 2 + 3 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } - \sqrt {1 + 2 + 3 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 2 }}$ $C = \frac{{\sqrt {1 + 2 + 3 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } - \sqrt {1 + 2 + 3 - 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 2 }}$

$C = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}$ $C = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}$

$C= \frac{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 }}$ $C= \frac{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \left( {1 - \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 }}$

$C = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2$ $C = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2$

b) Ta có:

$D = \frac{{\sqrt {3.\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt {2 - 2\sqrt 2 + 1} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}$ $D = \frac{{\sqrt {3.\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt {2 - 2\sqrt 2 + 1} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}$

$= \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3 }} = - 1$ $= \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3 }} = - 1$

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

----------------------------------------------

Dạng rút gọn biểu thức chứa nhiều căn chồng chất đòi hỏi học sinh Toán 9 không chỉ nắm chắc quy tắc biến đổi căn thức mà còn phải biết quan sát, phân tích cấu trúc và thực hiện các bước biến đổi hợp lý. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập có đáp án sẽ giúp củng cố kiến thức, hạn chế sai sót và nâng cao kỹ năng xử lý biểu thức trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán. Hy vọng chuyên đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho học sinh Toán 9 Kết nối tri thức trong quá trình tự học, ôn tập và chinh phục các bài toán căn thức.

Tải về

Chọn file muốn tải về: