Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9

Toán 9 ôn thi vào 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9

Trong các chuyên đề Toán 9 nâng cao, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức là dạng bài đòi hỏi học sinh biết kết hợp biến đổi đại số với việc nhận diện điều kiện để biểu thức đạt giá trị tối ưu. Tùy cấu trúc đề bài, học sinh có thể vận dụng bất đẳng thức, hằng đẳng thức hoặc các phương pháp biến đổi phù hợp để tìm kết quả chính xác. Chuyên đề Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9 tổng hợp các dạng bài thường gặp kèm đáp án, giúp học sinh Toán 9 Kết nối tri thức củng cố phương pháp giải và chủ động luyện tập trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán.

Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) $A = \sqrt {{x^2} - 12x + 36} + \sqrt {{x^2} - 16x + 64}$ $A = \sqrt {{x^2} - 12x + 36} + \sqrt {{x^2} - 16x + 64}$;

b) $B = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 9} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1945} \right)}^2}}$ $B = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 9} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1945} \right)}^2}}$.

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:

$\left| {A - B} \right| = \left| {B - A} \right|$ $\left| {A - B} \right| = \left| {B - A} \right|$ và $\left| A \right| \ge 0$ $\left| A \right| \ge 0$

$\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|$ $\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|$. Dấu bằng xảy ra khi $A.B \ge 0$ $A.B \ge 0$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$A = \sqrt {{x^2} - 12x + 36} + \sqrt {{x^2} - 16x + 64}$ $A = \sqrt {{x^2} - 12x + 36} + \sqrt {{x^2} - 16x + 64}$

$= \sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 8} \right)}^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {x - 6} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 8} \right)}^2}}$

$= \left| {x - 6} \right| + \left| {x - 8} \right|$ $= \left| {x - 6} \right| + \left| {x - 8} \right|$ $= \left| {x - 6} \right| + \left| {8 - x} \right| \ge \left| {x - 6 + 8 - x} \right| = 2$ $= \left| {x - 6} \right| + \left| {8 - x} \right| \ge \left| {x - 6 + 8 - x} \right| = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi $\left( {x - 6} \right)\left( {8 - x} \right) \ge 0$ $\left( {x - 6} \right)\left( {8 - x} \right) \ge 0$ hay $6 \le x \le 8$ $6 \le x \le 8$.

b) Ta có:

$B = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 9} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1945} \right)}^2}}$ $B = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 9} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1945} \right)}^2}}$

$B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 9} \right| + \left| {x - 1945} \right|$ $B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 9} \right| + \left| {x - 1945} \right|$

. $B = \left| {x - 2} \right| + \left| {1945 - x} \right| + \left| {x - 9} \right|$ $B = \left| {x - 2} \right| + \left| {1945 - x} \right| + \left| {x - 9} \right|$ $\ge \left| {x - 2 + 1945 - x} \right| + 0 = 1943$ $\ge \left| {x - 2 + 1945 - x} \right| + 0 = 1943$

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi $\left( {x - 2} \right)\left( {1945 - x} \right) \ge 0$ $\left( {x - 2} \right)\left( {1945 - x} \right) \ge 0$ và $x - 9 = 0$ tức là $x=9$.

Bài tập 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = \sqrt {a + 3 - 4\sqrt {a - 1} } + \sqrt {a + 15 - 8\sqrt {a - 1} }$ $A = \sqrt {a + 3 - 4\sqrt {a - 1} } + \sqrt {a + 15 - 8\sqrt {a - 1} }$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \sqrt {a - 1 - 4\sqrt {a - 1} + 4} + \sqrt {a - 1 - 8\sqrt {a - 1} + 16}$ $A = \sqrt {a - 1 - 4\sqrt {a - 1} + 4} + \sqrt {a - 1 - 8\sqrt {a - 1} + 16}$

$\Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1} - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1} - 4} \right)}^2}}$ $\Leftrightarrow A = \sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1} - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {a - 1} - 4} \right)}^2}}$

$\Rightarrow A = \left| {\sqrt {a - 1} - 2} \right| + \left| {4 - \sqrt {a - 1} } \right| \ge \sqrt {a - 1} - 2 + 4 - \sqrt {a - 1}$ $\Rightarrow A = \left| {\sqrt {a - 1} - 2} \right| + \left| {4 - \sqrt {a - 1} } \right| \ge \sqrt {a - 1} - 2 + 4 - \sqrt {a - 1}$

. $\Rightarrow A \ge 2$ $\Rightarrow A \ge 2$

Đẳng thức xảy ra khi $2 \le \sqrt {a - 1} \le 4 \Leftrightarrow 4 \le a - 1 \le 16$ $2 \le \sqrt {a - 1} \le 4 \Leftrightarrow 4 \le a - 1 \le 16$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi $5 \le a \le 17$ $5 \le a \le 17$.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) $A = 3 + \sqrt {2{x^2} - 8x + 33}$ $A = 3 + \sqrt {2{x^2} - 8x + 33}$;

b) $B = \sqrt {{x^2} - 8x + 18} - 1$ $B = \sqrt {{x^2} - 8x + 18} - 1$;

c) $C = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 10} + 2{y^2} - 8y + 2020$ $C = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 10} + 2{y^2} - 8y + 2020$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$A = 3 + \sqrt {2{x^2} - 8x + 33} = 3 + \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 25} \ge 3 + \sqrt {25} = 8$ $A = 3 + \sqrt {2{x^2} - 8x + 33} = 3 + \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 25} \ge 3 + \sqrt {25} = 8$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi $x = 2$.

b) Ta có:

$B = \sqrt {{x^2} - 8x + 18} - 1 = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 2} - 1 \ge \sqrt 2 - 1$ $B = \sqrt {{x^2} - 8x + 18} - 1 = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 2} - 1 \ge \sqrt 2 - 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là $\sqrt 2 - 1$ $\sqrt 2 - 1$ khi $x = 4$.

c) Ta có:

$C = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 10} + 2{y^2} - 8y + 2020$ $C = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 2xy + 2x - 2y + 10} + 2{y^2} - 8y + 2020$

$\Rightarrow C = \sqrt {{{\left( {x - y + 1} \right)}^2} + 9} + 2{\left( {y - 2} \right)^2} + 2012$ $\Rightarrow C = \sqrt {{{\left( {x - y + 1} \right)}^2} + 9} + 2{\left( {y - 2} \right)^2} + 2012$

$\Rightarrow C \ge \sqrt 9 + 2012 = 2015$ $\Rightarrow C \ge \sqrt 9 + 2012 = 2015$

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.

Khi $\left\{ \begin{array}{l} x - y + 1 = 0\\ y - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x - y + 1 = 0\\ y - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2 \end{array} \right.$.

Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) $A = \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$ $A = \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$;

b) $B = \sqrt {{{\left( {x - 2018} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$ $B = \sqrt {{{\left( {x - 2018} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {y - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$;

c) $C = \sqrt {{{\left( {x - 2017} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2018} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$ $C = \sqrt {{{\left( {x - 2017} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2018} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2019} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2020} \right)}^2}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$A = \left| {x - 2019} \right| + \left| {x - 2020} \right|$ $A = \left| {x - 2019} \right| + \left| {x - 2020} \right|$

$= \left| {x - 2019} \right| + \left| {2020 - x} \right| \ge x - 2019 + 2020 - x = 1$ $= \left| {x - 2019} \right| + \left| {2020 - x} \right| \ge x - 2019 + 2020 - x = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi $x - 2019 \ge 0$ $x - 2019 \ge 0$ và $2020 - x \ge 0$ $2020 - x \ge 0$ hay $2019 \le x \le 2020$ $2019 \le x \le 2020$.

b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi $2018 \le x \le 2020$ $2018 \le x \le 2020$ và $y = 2019$.

c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi $2018 \le x \le 2019$ $2018 \le x \le 2019$.

Bài tập 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \sqrt {25{x^2} - 20x + 4} + \sqrt {25{x^2} - 30x + 9}$ $P = \sqrt {25{x^2} - 20x + 4} + \sqrt {25{x^2} - 30x + 9}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P = \sqrt {{{\left( {5x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {5x - 3} \right)}^2}} = \left| {5x - 2} \right| + \left| {5x - 3} \right|$ $P = \sqrt {{{\left( {5x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {5x - 3} \right)}^2}} = \left| {5x - 2} \right| + \left| {5x - 3} \right|$

$P = \left| {5x - 2} \right| + \left| {3 - 5x} \right| \ge 5x - 2 + 3 - 5x = 1$ $P = \left| {5x - 2} \right| + \left| {3 - 5x} \right| \ge 5x - 2 + 3 - 5x = 1$

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l} 5x - 2 \ge 0\\ 3 - 5x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le x \le \frac{3}{5}$ $\left\{ \begin{array}{l} 5x - 2 \ge 0\\ 3 - 5x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le x \le \frac{3}{5}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi $\frac{2}{5} \le x \le \frac{3}{5}$ $\frac{2}{5} \le x \le \frac{3}{5}$.

Bài tập 6. Cho các số a, b, c đều lớn hơn $\frac{{25}}{4}$ $\frac{{25}}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q = \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}}$ $Q = \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \left( {2\sqrt b - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{a}{{2\sqrt b - 5}}.\left( {2\sqrt b - 5} \right)} = 2\sqrt a \left( 1 \right)\\ \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \left( {2\sqrt {bc} - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{b}{{2\sqrt c - 5}}\left( {2\sqrt c - 5} \right)} = 2\sqrt b \left( 2 \right)\\ \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} + \left( {2\sqrt a - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{c}{{2\sqrt a - 5}}.\left( {2\sqrt a - 5} \right)} = 2\sqrt c \left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \left( {2\sqrt b - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{a}{{2\sqrt b - 5}}.\left( {2\sqrt b - 5} \right)} = 2\sqrt a \left( 1 \right)\\ \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \left( {2\sqrt {bc} - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{b}{{2\sqrt c - 5}}\left( {2\sqrt c - 5} \right)} = 2\sqrt b \left( 2 \right)\\ \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} + \left( {2\sqrt a - 5} \right) \ge 2\sqrt {\frac{c}{{2\sqrt a - 5}}.\left( {2\sqrt a - 5} \right)} = 2\sqrt c \left( 3 \right) \end{array}$

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được:

$\begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} + 2\sqrt b + 2\sqrt c + 2\sqrt a - 15 \ge 2\sqrt a + 2\sqrt b + 2\sqrt c \\ \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} \ge 15 \Leftrightarrow Q \ge 15 \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} + 2\sqrt b + 2\sqrt c + 2\sqrt a - 15 \ge 2\sqrt a + 2\sqrt b + 2\sqrt c \\ \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} + \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} + \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} \ge 15 \Leftrightarrow Q \ge 15 \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} = 2\sqrt b - 5\\ \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} = 2\sqrt c - 5\\ \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} = 2\sqrt a - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 25$ $\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{{2\sqrt b - 5}} = 2\sqrt b - 5\\ \frac{b}{{2\sqrt c - 5}} = 2\sqrt c - 5\\ \frac{c}{{2\sqrt a - 5}} = 2\sqrt a - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 25$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 khi$a = b = c = 25$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} 8x = \frac{2}{x}\\ 18y = \frac{2}{y}\\ \frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 23 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{3}$ $\left\{ \begin{array}{l} 8x = \frac{2}{x}\\ 18y = \frac{2}{y}\\ \frac{4}{x} + \frac{5}{y} = 23 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi $x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{3}$ $x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{3}$

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------

Trong các chuyên đề Toán 9 nâng cao, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức là dạng bài đòi hỏi học sinh biết kết hợp biến đổi đại số với việc nhận diện điều kiện để biểu thức đạt giá trị tối ưu. Tùy cấu trúc đề bài, học sinh có thể vận dụng bất đẳng thức, hằng đẳng thức hoặc các phương pháp biến đổi phù hợp để tìm kết quả chính xác. Chuyên đề Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9 tổng hợp các dạng bài thường gặp kèm đáp án, giúp học sinh Toán 9 Kết nối tri thức củng cố phương pháp giải và chủ động luyện tập trong quá trình ôn thi vào 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: