Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Toán 9

Toán 9 ôn thi vào 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức lớp 9

Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Toán 9 là một dạng toán cực trị thường xuất hiện trong các chuyên đề nâng cao và đề luyện thi vào lớp 10. Để giải quyết dạng bài này, học sinh cần biết phân tích cấu trúc biểu thức, khai thác điều kiện của biến và lựa chọn cách đánh giá phù hợp để xác định giá trị lớn nhất. Chuyên đề dưới đây cung cấp các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, kèm đáp án, giúp học sinh Toán 9 Kết nối tri thức rèn kỹ năng biến đổi và nâng cao khả năng xử lý các bài toán cực trị khi ôn thi vào 10 môn Toán.

Bài tập 1: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn ${a^2} + {b^2} \le 2,$ ${a^2} + {b^2} \le 2,$ hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M = a\sqrt {3b\left( {a + 2b} \right)} + b\sqrt {3a\left( {b + 2a} \right)} .$ $M = a\sqrt {3b\left( {a + 2b} \right)} + b\sqrt {3a\left( {b + 2a} \right)} .$

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có chứa căn. Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta cần áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng $\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}$ $\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}$ và $xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}$ $xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt {3b\left( {a + 2b} \right)} \le \frac{{3b + a + 2b}}{2} = \frac{{a + 5b}}{2}\left( 1 \right)\\ \sqrt {3a\left( {b + 2a} \right)} \le \frac{{3a + b + 2a}}{2} = \frac{{5a + b}}{2}\left( 2 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt {3b\left( {a + 2b} \right)} \le \frac{{3b + a + 2b}}{2} = \frac{{a + 5b}}{2}\left( 1 \right)\\ \sqrt {3a\left( {b + 2a} \right)} \le \frac{{3a + b + 2a}}{2} = \frac{{5a + b}}{2}\left( 2 \right) \end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra: $M \le \frac{{a(a + 5b)}}{2} + \frac{{b(5a + b)}}{2}$ $M \le \frac{{a(a + 5b)}}{2} + \frac{{b(5a + b)}}{2}$

$\Rightarrow M \le \frac{{{a^2} + {b^2} + 10ab}}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2} + 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ $\Rightarrow M \le \frac{{{a^2} + {b^2} + 10ab}}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2} + 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{2} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

$\Rightarrow M \le 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 3.2 \Rightarrow M \le 6.$ $\Rightarrow M \le 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 3.2 \Rightarrow M \le 6.$

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi

Bài tập 2. Cho $a \ge 2;{\rm{ }}b \ge 3;c \ge 4.$ $a \ge 2;{\rm{ }}b \ge 3;c \ge 4.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{{ab\sqrt {c - 4} + bc\sqrt {a - 2} + ca\sqrt {b - 3} }}{{abc}}$ $P = \frac{{ab\sqrt {c - 4} + bc\sqrt {a - 2} + ca\sqrt {b - 3} }}{{abc}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P = \frac{{\sqrt {c - 4} }}{c} + \frac{{\sqrt {a - 2} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 3} }}{b}$ $P = \frac{{\sqrt {c - 4} }}{c} + \frac{{\sqrt {a - 2} }}{a} + \frac{{\sqrt {b - 3} }}{b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt {\left( {c - 4} \right)4} \le \frac{{c - 4 + 4}}{2} = \frac{c}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {c - 4} }}{2} \le \frac{1}{4}\left( 1 \right)\\ \sqrt {\left( {a - 2} \right).2} \le \frac{{a - 2 + 2}}{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {a - 2} }}{c} \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( 2 \right)\\ \sqrt {\left( {b - 3} \right).3} \le \frac{{b - 3 + 3}}{2} = \frac{b}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {b - 3} }}{c} \le \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt {\left( {c - 4} \right)4} \le \frac{{c - 4 + 4}}{2} = \frac{c}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {c - 4} }}{2} \le \frac{1}{4}\left( 1 \right)\\ \sqrt {\left( {a - 2} \right).2} \le \frac{{a - 2 + 2}}{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {a - 2} }}{c} \le \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( 2 \right)\\ \sqrt {\left( {b - 3} \right).3} \le \frac{{b - 3 + 3}}{2} = \frac{b}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt {b - 3} }}{c} \le \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left( 3 \right) \end{array}$

Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) cộng vế với vế, ta được:

$P \le \frac{1}{4} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$ $P \le \frac{1}{4} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} c - 4 = 4\\ a - 2 = 2\\ b - 3 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 6\\ c = 8 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} c - 4 = 4\\ a - 2 = 2\\ b - 3 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 4\\ b = 6\\ c = 8 \end{array} \right.$

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{1}{4} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$ $\frac{1}{4} + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$ khi $\left( {a;b;c} \right) = \left( {4;6;8} \right)$ $\left( {a;b;c} \right) = \left( {4;6;8} \right)$

Bài tập 3. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab}$ $Q = \sqrt {2a + bc} + \sqrt {2b + ca} + \sqrt {2c + ab}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} = \sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \\ \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \frac{{a + b + a + c}}{2} = \frac{{2a + b + c}}{2} \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt {2a + bc} = \sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} = \sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \\ \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \le \frac{{a + b + a + c}}{2} = \frac{{2a + b + c}}{2} \end{array}$

Suy ra $\sqrt {2a + bc} \le \frac{{2a + b + c}}{2}\left( 1 \right)$ $\sqrt {2a + bc} \le \frac{{2a + b + c}}{2}\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt {2b + ca} \le \frac{{a + 2b + c}}{2}\left( 2 \right)\\ \sqrt {2c + ab} \le \frac{{a + b + 2c}}{2}\left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \sqrt {2b + ca} \le \frac{{a + 2b + c}}{2}\left( 2 \right)\\ \sqrt {2c + ab} \le \frac{{a + b + 2c}}{2}\left( 3 \right) \end{array}$

Từ (1), (2) và (2) cộng vế với vế, ta được: $Q \le 2\left( {a + b + c} \right) = 2.2 = 4$ $Q \le 2\left( {a + b + c} \right) = 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = \frac{2}{3}$ $a = b = c = \frac{2}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của Q khi $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$

Bài tập 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }}$ $P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }}{\rm{ + }}\frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

${a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }}\left( 1 \right)$ ${a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }}\left( 1 \right)$

Tương tự ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {bc} }}\left( 2 \right)\\ \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {bc} }}\left( 2 \right)\\ \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\left( 3 \right) \end{array}$

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: $P \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\left( 4 \right)$ $P \le \frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}\left( 4 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}$ $\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }}$ $\le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right)$ $\le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \right)$

$= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\left( 5 \right)$ $= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3\left( 5 \right)$

Từ (4) và (5) suy ra $P \le 3.$ $P \le 3.$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 1$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 khi $a = b = c = 1$

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------

Tải về

Chọn file muốn tải về: