Bài toán thực tế đưa về hệ phương trình nhiều ẩn Toán 9 có đáp án

Bài toán thực tế đưa về hệ phương trình nhiều ẩn Toán 9 có đáp án là chuyên đề quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng mô hình hóa các tình huống thực tế bằng ngôn ngữ Toán học. Với những bài toán chứa nhiều đại lượng chưa biết, học sinh cần biết lựa chọn ẩn, đặt điều kiện, phân tích mối quan hệ giữa các dữ kiện và xây dựng hệ phương trình phù hợp. Đây là dạng bài có tính ứng dụng cao, thường được khai thác trong quá trình học tập và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

A. Cách giải toán bằng cách lập hệ phương trình nhiều ẩn

• Giải toán hệ phương trình nhiều ẩn (số ẩn) cũng tương tự như giải toán hệ phương trình hai ẩn, chỉ khác là:
• Phải chọn nhiều ẩn số.
• Lập một hệ nhiều phương trình.
• Nói chung chọn bao nhiêu ẩn số thì phải có lập một hệ có bấy nhiêu phương trình.

B. Bài tập ví dụ giải toán bằng cách lập hệ phương trình nhiều ẩn

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi x;y;z;t; … là các ẩn cần tìm
• Bước 3: Giải hệ phương trình
• Bước 4: Rút ra kết luận

Hướng dẫn giải

Gọi x (ngày) là thời gian người 1 làm một mình xong công việc, y (ngày) là thời gian người 2 làm một mình xong công việc.

Trong 1 ngày, người 1 làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.

Trong 1 ngày, người 2 làm được\(\frac{1}{y}\)  công việc.

Trong ngày cuối, hai người công nhân 1;2 làm được \(\frac{{63}}{{100}}\) công việc.

Dùng giả thiết dẫn đến hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{63:7}}{{100}} = \frac{9}{{100}}\\ \frac{5}{x} - \frac{4}{y} = 0 \end{array} \right.\)

Giải hệ được x;y

Người 3 làm trong 3 ngày được: \(\frac{{37}}{{100}}:\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y}} \right)\) công việc.

Kết luận: Người 1: 25 ngày; Người 2: 20 ngày; Người 3: 30 ngà

Hướng dẫn giải

Gọi x (h) là thời gian người 1 làm một mình xong công việc;

y (h) là thời gian người 2 làm một mình xong công việc;

z(h) là thời gian người 3 làm một mình xong công việc;

t (h) là thời gian người 4 làm một mình xong công việc;

v (h) là thời gian người 5 làm một mình xong công việc.

Trong 1 giờ, người 1, người 2, người 3 cùng làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\) công việc.

Theo giả thiết nếu ba người 1,2,3 cùng làm thì công việc xong trong 7,5 giờ.

Do đó, trong 1 giờ, ba người 1,2,3 cùng làm được \(\frac{1}{7,5}\) hay \(\frac{2}{{15}}\) công việc.

Vậy ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{15}}\) (1)

Trong 1 giờ, người 1, người 3, người 5 cùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{v}\) công việc.

Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{v}=\frac{1}{5}\) (2)

Trong 1 giờ, người 1, người 3, người 4 cùng làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t}\) công việc.

Ta có phương trình:\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}\) (3)

Trong 1 giờ, người 2, người 4, người 5 cùng làm được \(\frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v}\) công việc.

Ta có phương trình: \(\frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} = \frac{1}{4}\) (4)

Ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{{15}}\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}\\ \frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} = \frac{1}{4} \end{array} \right.\)

Từ hệ phương trình trên ta phải tình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v}\).

Công ba phương trình (1), (2) (3), trong hệ:

.\(3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right) + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} = \frac{2}{{15}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right) + \frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} + 2\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v}} \right) = \frac{1}{2} + 2.\left( {\frac{1}{4}} \right)\)

\(\Rightarrow 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v}} \right) = 1\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} = \frac{1}{3}\)

Vậy: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} + \frac{1}{v} = \frac{1}{3}\).

Trong 1 giờ cả năm người làm được \(\frac{1}{3}\) công việc.

Vậy cả năm người cùng làm chung thì công việc sẽ xong trong 3 giờ.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài toán 1. Có 4 vòi nước có thể bơm nước vào một cái bể. Nếu mở các vòi 1,2,3 cùng một lúc thì bể đầy trong 12 phút. Nếu mở các vòi 2,3,4 cùng một lúc thì bể đầy trong 15 phút. Nếu mở các vòi 1 và 4 cùng một lúc thì bể đầy trong 20 phút. Hỏi nếu mở cả 4 vòi 1,2,3,4 cùng một lúc thì bể sẽ đầy trong bao nhiêu phút?

Bài toán 2. Có ba người thợ năng lực khác nhau cùng làm một công việc. Người 1 làm trong 6 giờ, tiếp theo đó người 2 làm trong 4 giờ và cuối cùng người 3 làm trong 7 giờ thì xong công việc. Nếu người 1 làm trong 4 giờ, tiếp theo đó người 2 làm trong 2 giờ và cuối cùng người 3 làm trong 5 giờ thì họ chỉ làm được công việc đó. Hỏi nếu cả 3 người đồng thời cùng làm công việc đó thì bao lâu sẽ xong công việc?

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------------------------

Thông qua hệ thống bài tập được tuyển chọn, học sinh có thể làm quen với nhiều tình huống liên quan đến số lượng, tuổi, chuyển động, năng suất, công việc, hình học hoặc các bài toán đời sống. Việc tự giải trước khi đối chiếu đáp án giúp người học kiểm tra khả năng phân tích đề, phát hiện sai sót trong quá trình lập hệ và hoàn thiện kỹ năng trình bày. Chuyên đề cũng phù hợp với học sinh muốn nâng cao năng lực giải toán và củng cố các dạng bài thực tế Toán 9.