Toán nâng cao lớp 9 chủ đề 8: Số học
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán
| Chủ đề 8. Số học
Câu 1732. [id1129](TS10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Cho đa thức P(x) = ax
2
+ bx + c
(a ∈ N
∗
) thỏa mãn P (9) − P (6) = 2019. Chứng minh P (10) − P (7) là một số lẻ
Câu 1733. [id1130](TS10 chuyên tỉnh Ninh Bình 2019-2020) Cho P (x) là một đa thức bậc
n với hệ số nguyên, n ≥ 2 . Biết P (1) .P (2) = 2019, chứng minh rằng phương trình P (x) = 0 không
có nghiệm nguyên
Câu 1734. [id1131](HSG9 Hà Tĩnh 2018-2019)Dãy số (a
n
) thỏa mãn a
n+1
= a
n
+ 3, ∀n ∈ N
∗
và a
2
+ a
19
= 25 . Tính tổng S = a
1
+ a
2
+ . . . + a
20
Câu 1735. [id1132](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh rằng số M =
(n + 1)
4
+ n
4
+ 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương
Câu 1736. [id1133](TS10 chuyên tỉnh Bình Thuận 2019-2020) Chứng minh rằng số M =
(n + 1)
4
+ n
4
+ 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n nguyên dương
Câu 1737. [id1134](TS10 chuyên tỉnh Bình Định 2019-2020) Gọi n số x
1
; x
2
; x
3
; ... ; x
n
(n ∈ Z, n ≥ 3)
thỏa mãn: mỗi số x
i
i = 1 , n
bằng 2019 hoặc −2019 và x
1
x
2
+x
2
x
3
+...+x
n−1
x
n
+x
n
x
1
= 0 . Chứng
minh rằng n là một bội của 4
Câu 1738. [id1135](TS10 chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020) Chứng minh rằng số có
dạng A = n
6
− n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
không phải là số chính phương, trong đó n ∈ N, n > 1
Câu 1739. [id1136](TS10 chuyên tỉnh Bến Tre 2019-2020)Cho a, b, c là các số nguyên thỏa
mãn a
2019
+ b
2020
+ c
2021
là bội số của 6. Chứng minh rằng a
2021
+ b
2022
+ c
2023
cũng là bội số của 6
Câu 1740. [id1137](TS10 chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP 2019-2020) Cho ba số nguyên dương
a, b, c thỏa mãn a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 14 . Chứng minh rằng abc cũng chia hết cho 14
Câu 1741. [id1138](TS10 chuyên tỉnh DAK LAK 2019-2020) Tìm các số tự nhiên n thỏa
mãn 4
2019
+ 3
n
có chữ số tận cùng là 7
Câu 1742. [id1139](TS10 chuyên tỉnh HCM năm 2019-2020) Cho m, n là hai số nguyên.
Chứng minh rằng nếu 7(m + n)
2
+ 2mn chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225
Câu 1743. [id1140](TS10 chuyên tỉnh Hà Nam 2019-2020) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao
cho 7
n
+ 147 là số chính phương
Câu 1744. [id1141](TS10 chuyên tỉnh Hà Nội chuyên tin năm 2019-2020) Cho biểu thức
P = ab (a + b) + 2 , với a, b là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức P chia hết cho
3 thì P chia hết cho 9
Câu 1745. [id1142](TS10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Cho biểu thức P = abc (a − 1) (b + 4) (c + 6) ,
với a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a + b + c = 2019. Chứng minh giá trị của biểu thức P chia hết
cho 6
Câu 1746. [id1143](TS10 chuyên tỉnh Hà nội 2019-2020) Tìm tất cả số tự nhiên n để giá trị
của biểu thức Q =
√
n + 2 +
q
n +
√
n + 2 là số nguyên
Câu 1747. [id1144](TS10 chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2019-2020) Cho a, b, c là các số nguyên đôi
một khác nhau thỏa mãn: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Chứng minh 2
a
4
+ b
4
+ c
4
là số chính phương
Câu 1748. [id1145](TS10 chuyên tỉnh Hòa Bình Chuyên Tin năm 2019-2020) Tìm tất cả
các số chính phương có 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau
Câu 1749. [id1146](TS10 chuyên tỉnh Hải Dương 2019-2020) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa
mãn: 2a
2
+ a = 3b
2
+ b . Chứng minh rằng: 2a + 2b + 1 là số chính phương
Câu 1750. [id1147](TS10 chuyên tỉnh Hải phòng 2019-2020) Tìm các số nguyên tố p; q thỏa
mãn đồng thời hai điều kiện sau:
197
i) p
2
q + p chia hết cho p
2
+ q .
ii) pq
2
+ q chia hết cho q
2
− p
Câu 1751. [id1148](TS10 chuyên tỉnh Hậu Giang 2019-2020) Cho trước số nguyên dương
m. Tìm một số nguyên dương n sao cho m + n + 1 là số chính phương và mn + 1 là lập phương của
một số tự nhiên
Câu 1752. [id1149](TS10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Chứng minh rằng nếu n là số
nguyên thì
n
5
+ 29n
30
cũng là số nguyên
Câu 1753. [id1150](TS10 chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
(x; y) sao cho 2
x
2
+ y
2
− 3x + 2y
− 1 và 5
x
2
+ y
2
+ 4x + 2y + 3
đều là các số chính phương
Câu 1754. [id1151](TS10 chuyên tỉnh Nghệ An 2019-2020) Tìm các cặp số nguyên dương
(x; y) sao cho x
2
y + x + y chia hết cho xy
2
+ y + 1
Câu 1755. [id1152](TS10 chuyên tỉnh PTNK ( VÒNG 2 ) năm 2019-2020)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2
n
+ 1 chia hết cho 9 .
b) Cho n là số tự nhiên n > 3 . Chứng minh rằng 2
n
+ 1 không chia hết cho 2
m
− 1 với mọi số tự
nhiên m sao cho 2 < m ≤ n
Câu 1756. [id1153](TS10 chuyên tỉnh Quảng Nam 2019-2020) Chứng minh rằng với mọi số
nguyên dương n, số M = 9.3
4n
− 8.2
4n
+ 2019 chia hết cho 20
Câu 1757. [id1154](TS10 chuyên tỉnh Quảng Ngãi 2019-2020) Số tự nhiên n = 111
6
có tất
cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó
Câu 1758. [id1155](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho a là số tự nhiên không
chia hết cho 5 và 7. Chứng minh
a
4
− 1
a
4
+ 15a
2
+ 1
chia hết cho 35
Câu 1759. [id1156](TS10 chuyên tỉnh Thái Nguyên 2019-2020) Cho P(x) là đa thức bậc
bốn và có hệ số của bậc cao nhất là 1. Biết rằng P (2016) = 2017, P (2017) = 2018, P (2018) =
2019, P (2019) = 2020. Chứng minh P(2020) là một số tự nhiên chia hết cho 5
Câu 1760. [id1157](TS10 chuyên tỉnh Vĩnh Long 2019-2020) Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n thì n
3
+ 9n + 1 không chia hết cho 6
Câu 1761. [id1158](TS10 chuyên tỉnh Phú Thọ 2019-2020) Với mỗi số thực x, kí hiệu [x] là
số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ
h
√
2
i
= 1;
−
3
2
= −2
a) Chứng minh rằng x − 1 < [x] ≤ x < [x] + 1 = [x + 1] với mọi x ∈ R.
b) Có bao nhiêu số nguyên dương n ≤ 840 thỏa mãn
√
n
là ước của n?
Câu 1762. [id1159](TS10 chuyên tỉnh Quảng Trị 2019-2020) Cho số tự nhiên có 3 chữ số
abc . Chứng minh rằng: abc chia hết cho 21 khi và chỉ khi a − 2b + 4c chia hết cho 21
Câu 1763. [id1160](TS10 chuyên tỉnh Thanh hóa 2019-2020) Cho hai số nguyên dương x, y
với x > 1 và thỏa mãn điều kiện 2x
2
− 1 = y
15
. Chứng minh rằng x chia hết cho 15
Câu 1764. [id1161](TS10 chuyên tỉnh Yên Bái 2019-2020) Chứng minh A = 11...1
|{z}
2019
22...2
|{z}
2020
5 là
số chính phương
Câu 1765. [id1162](HSG9 Bà Rịa Vũng Tàu 2018-2019)
1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 46
n
+ 296.13
n
chia hết cho 1947.
198
2) Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì ta được số chính phương B cũng gồm 4 chữ số. Tìm hai số A và B.
Câu 1766. [id1163](HSG9 Bình Phước 2018-2019) Chứng minh rằng với n là số chẵn thì
n
3
+ 20n + 96 chia hết cho 48
Câu 1767. [id1164](HSG9 Bình Thuận 2018-2019) Tìm số tự nhiên n sao cho n
2
+ 18n + 2020
là một số chính phương
Câu 1768. [id1165](HSG9 Bắc Giang 2018-2019) Chứng minh rằng trong 12 số tự nhiên bất
kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ
số chia hết cho 11
Câu 1769. [id1166](HSG9 Gia Lai 2018-2019) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số A =
3n
3
+ 15n chia hết cho 18
Câu 1770. [id1167](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Biết a; b là các số nguyên dương thỏa mãn
a
2
− ab + b
2
chia hết cho 9, chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3
Câu 1771. [id1168](HSG9 Hà Nội 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9
n
+11
là tích của k (k ∈ N, k ≥ 2) số tự nhiên liên tiếp
Câu 1772. [id1169](HSG9 Hòa Bình 2018-2019)
1) Chứng minh rằng A = a
3
− 7a + 12 luôn chia hết cho 6 với mọi số a ∈ Z .
2) Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương
Câu 1773. [id1170](HSG9 Hải Dương 2018-2019) Chứng minh rằng a
3
1
+ a
3
2
+ a
3
3
+ ... + a
3
n
chia
hết cho 3 , biết a
1
, a
2
, a
3
, ... , a
n
là các chữ số của 2019
2018
Câu 1774. [id1171](HSG9 Hải Phòng 2018-2019) Cho biểu thức P = a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
2019
với a
1
; a
2
; a
3
; ...; a
2019
là các số nguyên dương và P chia hết cho 30. Chứng minh rằng Q = a
5
1
+ a
5
2
+
a
5
3
+ ... + a
5
2019
chia hết cho 30
Câu 1775. [id1172](HSG9 Kiên Giang 2018-2019) Cho đa thức hệ số nguyên
P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ... + a
1
x + a
0
và hai số nguyên a, b khác nhau. Chứng minh: P (a) − P (b) chia hết cho (a − b)
Câu 1776. [id1173](HSG9 Lai Châu 2018-2019) Tìm dư trong phép chia: x
200
−2x
91
+1 cho x
2
−
1
Câu 1777. [id1174](HSG9 Lâm Đồng 2018-2019) Chứng minh rằng 2n
3
+ 3n
2
+ n chia hết cho
6 với mọi số nguyên n
Câu 1778. [id1175](HSG9 Nghệ An bảng A 2018-2019) Chứng minh rằng A = 2
2
n
+ 4
n
+ 16
chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n
Câu 1779. [id1176](HSG9 Nghệ An bảng B 2018-2019) Chứng minh rằng A = 4
n
+ 17 chia
hết cho 3 với mọi số nguyên dương n
Câu 1780. [id1177](HSG9 Quảng Bình 2018-2019) Tìm các số tự nhiên n sao cho C = 2019
n
+
2020 là số chính phương
Câu 1781. [id1178](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn
a + b = c
3
− 2018c . Chứng minh rằng A = a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6
Câu 1782. [id1179](HSG9 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n. (n − 1) . (n − 2)
với n ∈ N
∗
. Chứng minh rằng B không là số chính phương
199
Chủ đề 8: Số học - Toán lớp 9
Toán nâng cao lớp 9 chủ đề 8: Số học được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Nội dung gồm các bài tập Số học lớp 9, giúp các bạn học sinh rèn luyện, ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG lớp 9 cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn tải về tham khảo
- Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất
- Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán
- 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc
- Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán trường THCS Kim Giang, Thanh Xuân năm học 2019 - 2020
- Môn thi thứ tư vào lớp 10
- 8 Chuyên đề Toán nâng cao ôn thi lớp 10 và thi học sinh giỏi lớp 9
VnDoc đã chia sẻ trên đây Toán nâng cao lớp 9 chủ đề 8: Số học. Nội dung gồm các câu hỏi về Số học lớp 9 giúp các bạn có thêm tài liệu tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo
- 18 Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Vật lý
- Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan
- Chủ đề 2: Bất đẳng thức
- Chủ đề 3: Phương trình
- Chủ đề 4: Hàm số bậc nhất - hàm số bậc hai
- Chủ đề 5: Hệ phương trình
- Chủ đề 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình
- Chủ đề 7: Hình học
Ngoài Toán nâng cao lớp 9 chủ đề 8: Số học. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt
