2 vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) giờ \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \(= \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \(= \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \(= \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5x}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

1 giờ 20 phút = 80 phút

Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể.

(Điều kiện: x, y > 80)

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được: \(\dfrac{1}{x}\) (bể); vòi thứ hai chảy được: \(\dfrac{1}{y}\) (bể).

Do cả hai vòi cùng chảy trong 80 phút thì đầy bể nên ta có phương trình:

\(80.\dfrac{1}{x} + 80.\dfrac{1}{y} = 1\) (1)

Vì mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{15}\) bể nước nên ta có phương trình:

\(10.\frac{1}{x} + 12.\frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \((I)\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80.\dfrac{1}{x} + 80.\dfrac{1}{y} = 1}\\{10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Đặt \(u= \dfrac{1}{x} ;\ v=\dfrac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v:

\((II) \ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80u + 80v = 1} \\{10u + 12v = \dfrac{2}{{15}}} \end{array}} \right.\)

Nhân cả hai vế phương trình thứ hai của hệ (II) với 8 ta được:

\((III) \ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80u + 80v = 1} \ \\{80u + 96v = \dfrac{16}{{15}}} \ \end{array}} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ (III), ta được

\(16v=\frac{1}{15}\), suy ra \(v=\frac{1}{240}\)

Do đó \(80u+80.\frac{1}{240}=1\), suy ra \(u=\frac{1}{120}\)

Từ đó, ta có:

\(u=\frac{1}{x}=\frac{1}{120}\) suy ra x = 120; \(v=\frac{1}{y}=\frac{1}{240}\) suy ra y = 240.

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút , vòi thứ hai chảy trong 240 phút.

Xem đáp án tại Giải Toán 9 KNTT Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình