2 vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là $x;y$ giờ $\left(x,y>0\right).$

Một giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút $=\frac{4}{3}$ giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được $1:\frac{4}{3}=\frac{3}{4}$ (bể).

Nên ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}.\left(1\right)$

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút $=\frac{1}{6}$ giờ) thì vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{6}.\frac{1}{x}=\frac{1}{6x}$ (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút $=\frac{1}{5}$ giờ) thì vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{5}.\frac{1}{y}=\frac{1}{5y}$ (bể).

Thì hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$ bể nước.

Nên ta có phương trình $\frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $\frac{1}{5}$ ta được $\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}=\frac{3}{20}$, từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}=\frac{3}{20}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta được $\left(\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}\right)-\left(\frac{1}{6x}+\frac{1}{5x}\right)=\frac{3}{20}-\frac{2}{15}$ suy ra $\frac{1}{30x}=\frac{1}{60}$ nên $x=2\left(t/m\right).$

Với $x=2$ thay vào phương trình (1) ta được $\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$ nên $y=4\left(t/m\right).$

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

1 giờ 20 phút = 80 phút

Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể.

(Điều kiện: x, y > 80)

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được: ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ (bể); vòi thứ hai chảy được: ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ (bể).

Do cả hai vòi cùng chảy trong 80 phút thì đầy bể nên ta có phương trình:

$80.{\displaystyle \frac{1}{x}}+80.{\displaystyle \frac{1}{y}}=1$ (1)

Vì mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước nên ta có phương trình:

$10.\frac{1}{x}+12.\frac{1}{y}=\frac{2}{15}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $(I)\{\begin{array}{c}80.{\displaystyle \frac{1}{x}}+80.{\displaystyle \frac{1}{y}}=1\\ 10.{\displaystyle \frac{1}{x}}+12.{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{15}}\end{array}$

Đặt $u={\displaystyle \frac{1}{x}};v={\displaystyle \frac{1}{y}}$ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v:

$(II)\{\begin{array}{c}80u+80v=1\\ 10u+12v={\displaystyle \frac{2}{15}}\end{array}$

Nhân cả hai vế phương trình thứ hai của hệ (II) với 8 ta được:

$(III)\{\begin{array}{c}80u+80v=1\\ 80u+96v={\displaystyle \frac{16}{15}}\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ (III), ta được

$16v=\frac{1}{15}$, suy ra $v=\frac{1}{240}$

Do đó $80u+80.\frac{1}{240}=1$, suy ra $u=\frac{1}{120}$

Từ đó, ta có:

$u=\frac{1}{x}=\frac{1}{120}$ suy ra x = 120; $v=\frac{1}{y}=\frac{1}{240}$ suy ra y = 240.

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút , vòi thứ hai chảy trong 240 phút.