Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n∈N và n >1 không phải là số chính phương

Cách chứng minh một số không phải là số chính phương

Phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, ta có thể sử dụng các cách sau:

Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên.

Chứng minh n² < k < (k + 1)² với k là số nguyên.

Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8

Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3

Chứng minh n có dạng 3k + 2

Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p².

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.