Bài tập ôn tập các trường hợp đồng dạng của tam giác

Bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác được VnDoc sưu tầm, chọn lọc gồm nhiều bài tập đa dạng được phân loại từ cơ bản đến nâng cao. Tài liệu sẽ giúp các em học sinh ôn tập các kiến thức về định lý Ta - lét, các trường hợp đồng dạng của tam giác như cạnh - góc - cạnh, cạnh - cạnh - cạnh, góc - góc,...để chuẩn bị cho các bài thi học kì đạt hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

1. Tam giác đồng dạng 

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác

3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

4. Bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

4.1. Bài tập tam giác đồng dạng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Chứng minh:

a/ AH . BC = AB . AC

b/ AB² = BH . BC

c/ AH² = BH . CH

d/ Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của AH. Chứng minh: CN ⊥ AM.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9 cm và HC = 16 cm. Tính AB, AC, BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 21 cm; AC = 28 cm.

a/ Tính AH

b/ Kẻ HD ⊥ AB; HE ⊥ AC. Tính diện tích tam giác AED.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM.

a/ Tính AH; BC.                             b/ Tính BH, CH.               c/ Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 5: Cho có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc AC tại E.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADH và tam giác AHC đồng dạng với tam giác AEH.

b) Chứng minh: AD . AB = AE . AC.

c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của (K thuộc BC)

Bài 6: Cho ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.

a/ Chứng minh ABC vuông

b/ Tính DB, DC

c/ Chứng minh tam giác EDC đồng dạng với tam giác BDK

d/ Chứng minh DE = DB

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của ABC.

a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và suy ra AB² = BH . BC

b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH.

c) Kẻ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC. Chứng minh: AM . AB = AN . AC

d)Chứng minh: tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.

a) Chứng minh tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.

b) Chứng minh: DB = DE.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16 cm, BC = 20 cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC)

a) Tính CD và AD

b) Từ C kẻ CH vuông góc với BD tại H. Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD

c) Tính diện tích tam giác HCD .

Bài 14: DABC có độ dài các cạnh AB = 6 cm, AC = 9 cm và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của DABD và DACD bằng

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH. Chứng minh:

a) ∆ ABM ~ ∆ CAN                                             b) AM ⊥ CN

Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ AH ⊥ DB

a) Chứng minh ∆ ABD $\sim$ ∆ HAD, suy ra AD² = DH . DB

b) Chứng minh ∆ AHB $\sim$ ∆ BCD

c) Tính độ dài DH, AH, biết AB = 12 cm, BC = 9 cm

d) Tính diện tích tam giác AHB

Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H và cắt CD tại M.

a) Tính độ dài BD.

b) Chứng minh hai tam giác AHB và MHD đồng dạng

c) Chứng minh MD . DC = HD . BD

d) Tính diện tích tam giác MDB.

4.2. Bài tập bổ sung

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (Â = 90⁰) có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD và DE.

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 2,5 cm; AD = 3,5 cm; BD = 5 cm; và góc DAB = DBC.

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tai A, AB =15 cm; AC = 20 cm. Kẻ đ­ường cao AH

a/ Chứng minh: Δ ABC đồng dạng Δ HBA từ đó suy ra: AB² = BC. BH

b/ Tính BH và CH.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

a) Δ CBN và Δ CDM cân.

b) Δ CBN đồng dạng Δ MDC

c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) CMR: AE . AC = AF . AB

b) CMR: Δ AFE đồng dạng Δ ACB

c) CMR: Δ FHE đồng dạng Δ BHC

d) CMR: BF . BA + CE . CA = BC²

Bài 8: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ, MN < PQ), NP = 15 cm, đường cao NI = 12 cm, QI = 16 cm

a) Tính độ dài IP, MN

b) Chứng minh rằng: QN ⊥ NP

c) Tính diện tích hình thang MNPQ

d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng: KN² = KP . KQ

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy DM = AB, trên tia đối của tia BA lấy BN = AD. Chứng minh:

d) Δ CBN và Δ CDM cân.

e) Δ CBN đồng dạng Δ MDC

f) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF gặp nhau tại H, các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE gặp nhau tại D. Chứng minh

a) Δ ABE đồng dạng Δ ACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.

a) Chứng minh: Δ BDM đồng dạng với Δ CME

b) Chứng minh: BD . CE không đổi.

c) Chứng minh: DM là phân giác của góc BDE

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm; AC = 8 cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

c) Vẽ phân giác AD của góc A ((D ∈ BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm; AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường cao AH (H ∈ BC);

a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.

b) Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC (D ∈ BC). Tính độ dài DB và DC;

c) Chứng minh rằng AB² = BH .HC

d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm; AC = 4 cm. Vẽ đường cao AH (H ∈ BC)

a) Tính độ dài BC.

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC

c) Chứng minh HA² = HB . HC

d) Kẻ đường phân giác AD (D ∈ BC). Tính các độ dài DB và DC?

Bài 16: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có và AD = 3 cm, AD = 5 cm, BC = 4 cm.

a) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.

b) Từ câu a tính độ dài DB, DC.

c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5 cm².

Bài 17: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 3,6 cm, AC = 6,4 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2 cm. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4 cm

a. Chứng minh rằng Δ ABC ∼ Δ AED.

b. Tính độ dài cạnh DE.

Bài 18: Cho hình thoi ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, DA theo thứ tự E, F
a, EB . DF = AB . AD

b, Tam giác EBD đồng dạng tam giác BDF

c, Chứng tỏ góc BID = 120⁰ (I là giao điểm DE và BF)

Bài 19: Cho tam giác ABC điểm M thuộc BC sao cho MB = 2.MC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E

a, Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng

b, Biết chu vi tam giác ABC là 24 cm.Tính chu vi tam giác DBM, EMC

Bài 20: Tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC, MA = MB = a.Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho DM là tia phân giác góc BDE. Chứng minh rằng:

a, EM là phân giác góc CED

b, Tam giác BDM đồng dạng tam giác CME
c, BD . CE = a²

Bài 21: Cho tam giác MNP vuông tại M , đường cao MH.

a, Chứng minh tam giác HNM đồng dạng tam giác MNP.

b, Chứng minh MH² = NH . PH

c, Lấy điểm E tùy trên cạnh MP, vẽ điểm F trên cạnh MN sao cho góc FHE có độ lớn bằng 90 độ. Chứng minh tam giác NFH đồng dạng tam giác MEH và góc NMH = FEH

Bài 22: Cho tam giác ABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của tam giác AMC.

a. Chứng minh tam giác ABM đồng dạng tam giác AMH

b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh AB . AF = AM . AE

c. Chứng minh BH vuông góc AF

d. Chứng minh AE . EM = BH . HC

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6 cm; AC = 8 cm. Vẽ đường cao AH (H∈BC)

a) Tính độ dài cạnh BC .

b) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

c) Vẽ phân giác AD của góc A ((D∈BC). Chứng minh rằng điểm H nằm giữa hai điểm B và D .

Bài 24: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có DAB = DBC và AD = 3 cm, AD = 5 cm, BC= 4 cm.

a) Chứng minh tam giác DAB đồng dạng với tam giác CBD.

b) Từ câu a tính độ dài DB, DC.

c)Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5 cm².