Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 8. Trong tài liệu dưới đây, VnDoc gửi tới các bạn lý thuyết và một số dạng toán giúp các em nắm được cách giải các dạng bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức. Mời các bạn tham khảo.

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1. Khái niệm

- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

2. Phương pháp

B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Lời giải

Ta có: B = 6 - 8x - x²

B = - (x² + 8x) + 6

B = - (x² + 8x + 16) + 6 + 16

B = - (x + 4)² + 22

Vì (x + 4)² ≥ 0 với mọi x

⇒ - (x + 4)² ≤ 0 với mọi x

⇒ - (x + 4)² + 22 ≤ 22 với mọi x

⇒ B ≤ 22 với mọi x

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22

Lời giải

C = 4x² + 8x + 10

= (2x)² + 2 . 2x . 2 + 4 + 6

= (2x + 2)² + 6

Với mọi x ta có: (2x + 2)² ≥ 0

⇒ (2x + 2)² + 6 ≥ 6

⇒ C ≥ 6

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6.

Lời giải:

a, A = 2(x² - 4x + 4) - 7

= 2(x - 2)² - 7 ≥ -7

Vậy min A = - 7 khi và chỉ khi x = 2

b, Ta có: $B=-5\left(x^2+\frac{4}{5}x\right)+1$

$=-5\left(x^2-2.x.\frac{2}{5}+\frac{4}{25}\right)+\frac{9}{5}$

$=\frac{9}{5}-5{\left(x+\frac{2}{5}\right)}^2\le \frac{9}{5}$

Vậy max$B=\frac{9}{5}\iff x=-\frac{2}{5}$

Lời giải:

Ta có $P=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$

$=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$

Đặt $k=c-\frac{b^2}{4a}$. Do ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2\ge 0$nên:

a, Nếu a > 0 thì $a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2\ge 0$do đó  P ≥ k ⇒ min P = k

b, Nếu a < 0 thì $a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2\le 0$do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ $x=\frac{-b}{2a}$

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải:

a, A = (3x - 1)² - 4|3x - 1| + 5

Đặt $y=\left|3x-1\right|$

$\Rightarrow A=y^2-4y+5={\left(y-2\right)}^2+1\ge 1$

Do đó, min A = 1⇔ y = 2.

$\iff \left|3x-1\right|=2\iff [\begin{array}{l}3x-1=2\\ 3x-1=-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x={\displaystyle \frac{-1}{3}}\end{array}$

b, $B=\left|x-2\right|+\left|x-3\right|$

$B=\left|x-2\right|+\left|x+3\right|\ge \left|x-2+3-x\right|=1$

$\Rightarrow minB=1\iff \left(x-2\right)\left(3-x\right)\ge 0\iff 2\le x\le 3$

Hướng dẫn giải

Ta có: C = |x² - x + 1| + |x² - x - 2|

≥ |x² - x + 1 + 2 + x - x²| = 3

MinC = 3 ⇔ (x² - x + 1)(2 + x - x²) ≥ 0

⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2

Hướng dẫn giải

Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - 1 + 4 - x| = 3 (1)

|x - 2| + |x - 3| ≥ |x - 2 +3 - x| = 1 (2)

Vậy T ≥ 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

Lời giải:

a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)

= (x² - 7x)(x² - 7x + 12)

Đặt y = x² - 7x + 6 thì A = (y - 6)(y + 6) = y² - 36 ≥ - 36

$minA=-36\iff y=0$

$\iff x^2+7x+6=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x-6\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=6\end{array}$

b, B = 2x² + y² - 2xy - 2x + 3

= (x² - 2xy + y²) + (x² - 2x + 1) + 2

$={\left(x-y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2+2\ge 2$

Dấu "=" xảy ra $\iff \{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-1=0\end{array}\iff x=y=1$

c, C = x² + xy + y² - 3x - 3

= x² - 2x + y² - 2y + xy - x - y

Ta có $C+3=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(xy-x-y+1\right)$

$={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+\left(x-1\right)\left(y-1\right)$

Đặt a = x - 1; b = y - 1 thì

$C+3=a^2+b^2+ab$

$=\left(a^2+2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}$

$={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}\ge 0$

Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = - 3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

C. Bài tập vận dụng

C.1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 - x²

Đáp án: B

Ta có: x² ≥ 0 ⇒ 10 - x² ≤ 10

Vậy min B = 10.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - 2x²

Đáp án: D

Ta có: A = 4x - 2x² = - 2(x² - 2x)

= - 2(x² - 2x + 1) + 2

= - 2(x - 1)² + 2

Vì (x - 1)² ≥ 0 với mọi x

⇒  - 2(x - 1)² + 2 ≤ 2

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

Câu 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 - x²

Đáp án: A

Ta có: C = 4x + 3 - x²

= - (x - 2)² + 7 ≤ 7

Vì

Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7.

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = - x² + 6x - 11

Đáp án: C

D = - x² + 6x - 11 = - (x² - 6x) - 11

= - (x² - 6x + 9) + 9 - 11

= - (x - 3)² - 2

Vì

Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x - x² + 1

Đáp án: B

Ta có: E = 4x - x² + 1

= - (x² - 4x) + 1

= - (x² - 4x + 4) + 4 + 1

= - (x - 2)² + 5

Vì - (x - 2)² ≤ 0 ⇒  - (x - 2)² + 5 ≤ 5

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x² + 8x + 11

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x² - 2x + y² + 4y + 10

Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x² + y² + 6y + 20

Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x² + 5y² - 4xy - 8y + 28

C.2. Bài tập tự luận

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, $A=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2$

b, $B=x^4-8xy+x^{3}y+x^2{y}^2-x{y}^3+y^4+200$

c, $C=x^2+xy+y^2-3x-3y$

d, $D=x\left(x+1\right)\left(x^2+x-4\right)$

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = - x² - y² + xy + 2x + 2y

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = |x - 2004| + |x - 2005|

B = |x - 2| + |x - 9| + 1945

C = -|x - 7| - |y + 13| + 1945

Bài 5: Chứng minh rằng không có giá trị x, y, z thoả mãn:

x² + 4y² + z² - 2x + 8y - 6z + 15 = 0

-----------------------------------------