Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán. Dưới đây là nội dung khái niệm cũng như bài để các em nắm chắc phần kiến thức từ đó vận dụng tốt vào giải bài tập Toán 8. Dưới đây là nội dung chi tiết các em tham khảo nhé

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1. Khái niệm

- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

2. Phương pháp

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.

Tổng quát: 

  • d - (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
  • (a ± b)2± c ≥ ± c  Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 - 8x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 - 4x + 1

Lời giải:

a, A = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ≥ -7

min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b, B =  - 5\left( {{x^2} + \frac{4}{5}x} \right) + 1 =  - 5\left( {{x^2} - 2.x.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right) + \frac{9}{5} = \frac{9}{5} - 5{\left( {x + \frac{2}{5}} \right)^2} \le \frac{9}{5}

maxB = \frac{9}{5} \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{5}

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c

a, Tìm min P nếu a > 0

b, Tìm max P nếu a < 0

Lời giải:

Ta có P = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + \left( {c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)

Đặt k = c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}. Do {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0nên:

a, Nếu a > 0 thì a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0do đó  P ≥ k ⇒ min P = k

b, Nếu a < 0 thì a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \le 0do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ x = \frac{{ - b}}{{2a}}

Bài tập vận dụng

Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = -x2 + x + 1b, B = x2 + 3x + 4
c, C = x2 - 11x + 30d, D = x2 - 2x + 5
e, E = 3x2 - 6x + 4f, F = -3x2 - 12x - 25

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:

Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

∀x, y ∈ \mathbb{Q} ta có:

  • \left | x+y \right |\leq\left | x\right |  +\left | y\right |
  • \left | x-y \right |\leq\left | x\right |  -\left | y\right |

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = (3x - 1)2 - 4|3x - 1| + 5

b. B = |x - 2| + |x - 3|

Lời giải:

a, A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 4\left| {3x - 1} \right| + 5

Đặt y = \left| {3x - 1} \right| \Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {\left( {y - 2} \right)^2} + 1 \ge 1

min A = 1\Leftrightarrow y = 2 \Leftrightarrow \left| {3x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 2\\3x - 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.

b, B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right|

B = \left| {x - 2} \right| + \left| {x + 3} \right| \ge \left| {x - 2 + 3 - x} \right| = 1

\Rightarrow \min B = 1 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2|

Hướng dẫn giải

Ta có:

C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| ≥ |x2 - x + 1 + 2 + x - x2| = 3

MinC = 3 ⇔ (x2 - x + 1)(2 + x - x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|

Hướng dẫn giải

Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - 1 + 4 - x| = 3 (1)

Và |x - 2| + |x - 3| ≥ |x - 2 +3 - x| = 1(2)

Vậy T ≥ 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = |x - 2004| + |x - 2005|

B = |x - 2| + |x - 9| + 1945

C = -|x - 7| - |y + 13| + 1945

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

  • Dạng phân thức
  • Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
  • Các phân thức có dạng khác

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a. A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7)

b. B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3

c. C = x2 + xy + y2 - 3x - 3

Lời giải:

a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12)

Đặt y = x2 - 7x + 6 thì A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ -36

MinA =  - 36 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 6
\end{array} \right.

b, B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 = (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + 2

= {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1

c, C = x2 + xy + y2 - 3x - 3 = x2 - 2x + y2 - 2y + xy - x - y

Ta có C + 3 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + \left( {xy - x - y + 1} \right)

= {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì

C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = \left( {{a^2} + 2.a.\frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0

Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2

b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y

d, D = x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A =  - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức được VnDoc chia sẻ trên đây. Hy vọng sẽ giúp cho các em có thêm tài liệu tham khảo, rèn luyện kỹ năng làm bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, từ đó tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm giải bài hay. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số bài Toán lớp 8 SGK các em tham khảo nhé

--------------------------------------------------------------------------------

Ngoài Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số bài học bổ trợ liên quan:

Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập
Đánh giá bài viết
131 203.976
2 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Đoàn Việt Hưng
    Đoàn Việt Hưng giải chi tiết xem nào 
    Thích Phản hồi 13/10/20
    • Loi Doan
      Loi Doan

      có 1 chỗ bị sai


      Thích Phản hồi 19:07 10/08
      Chuyên đề Toán 8 Xem thêm