Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Bài tập nâng cao Toán 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Tiếp theo)

Giải Toán 8 Chương 1 Đại số

Bài trước

Bài sau

Bài tập nâng cao: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo)

Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp theo) là tài liệu ôn tập với các bài tập Toán lớp 8 chương 1, giúp các bạn học sinh học tốt Toán 8 và luyện tập các dạng Toán lớp 8 đạt kết quả tốt nhất, góp phần củng cố thêm kiến thức của các bạn học sinh.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 8. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Lí thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

- 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: Cho hai A và B là các biểu thức ta có:

$1. {{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$ $1. {{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$
$2. {{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$ $2. {{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$

$3.A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)$ $3.A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)$
$4.A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$ $4.A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$

$5.A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)$ $5.A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A^2+AB+B^2\right)$
$6.\left(A+B\right)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ $6.\left(A+B\right)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
$7.\left(A-B\right)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$ $7.\left(A-B\right)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
2. Hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}} \right)}^{2}}={{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{a}_{2}}{{a}_{3}}+...+2{{a}_{n-1}}.{{a}_{n}}$ ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}} \right)}^{2}}={{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{a}_{2}}{{a}_{3}}+...+2{{a}_{n-1}}.{{a}_{n}}$

Ví dụ:

$\left(a_1+a_2+a_3\right)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^3+2a_1a_2+2a_2a_3+2a_3a_1$ $\left(a_1+a_2+a_3\right)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^3+2a_1a_2+2a_2a_3+2a_3a_1$

${{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)}^{2}}={{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{3}-2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{a}_{2}}{{a}_{3}}+2{{a}_{3}}{{a}_{1}}$ ${{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)}^{2}}={{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{3}-2{{a}_{1}}{{a}_{2}}+2{{a}_{2}}{{a}_{3}}+2{{a}_{3}}{{a}_{1}}$

II. Bài tập nâng cao những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$a. {{x}^{2}}-2x-1$ $a. {{x}^{2}}-2x-1$
$b. 5+4x+4{{x}^{2}}$ $b. 5+4x+4{{x}^{2}}$

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$a. -{{x}^{2}}-4x$ $a. -{{x}^{2}}-4x$
$b. -{{x}^{2}}+2x-4$ $b. -{{x}^{2}}+2x-4$
Bài tập 3: Cho $a-b=5$. Tính giá trị của các biểu thức:

$i. a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)-2ab+37$ $i. a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)-2ab+37$

$ii. {{a}^{2}}\left( a+1 \right)-{{b}^{2}}\left( b-1 \right)+ab-3ab\left( a-b+1 \right)-95$ $ii. {{a}^{2}}\left( a+1 \right)-{{b}^{2}}\left( b-1 \right)+ab-3ab\left( a-b+1 \right)-95$

Bài tập 4: Cho a, b là các số nguyên dương. Hãy so sánh giá trị của hai biểu thức:

$A=2{{a}^{3}}+3{{b}^{3}}$ $A=2{{a}^{3}}+3{{b}^{3}}$ và $B=4a{{b}^{2}}$ $B=4a{{b}^{2}}$

Bài tập 5: Cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc x, y

$2\left( {{x}^{6}}+{{y}^{6}} \right)-3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)$ $2\left( {{x}^{6}}+{{y}^{6}} \right)-3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)$

III. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao

Bài tập 1:

$a. {{x}^{2}}-2x-1={{x}^{2}}-2x+1-2={{\left( x-1 \right)}^{2}}-2$ $a. {{x}^{2}}-2x-1={{x}^{2}}-2x+1-2={{\left( x-1 \right)}^{2}}-2$

Do ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2\ge -2$ ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}-2\ge -2$

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=1$ ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=1$

Vây giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -2 khi x bằng 1

b. $5+4x+4{{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}+2.2x+1+3={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+3$ $5+4x+4{{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}+2.2x+1+3={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+3$

Do ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+3\ge 3$ ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+3\ge 3$

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ ${{\left( 2x+1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$

Vây giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 3 khi $x=-\frac{1}{2}$ $x=-\frac{1}{2}$

Bài tập 2:

$a. -{{x}^{2}}-4x=-\left( {{x}^{2}}+4x+4-4 \right)=-\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)+4=-{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4$ $a. -{{x}^{2}}-4x=-\left( {{x}^{2}}+4x+4-4 \right)=-\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)+4=-{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4$

Do ${{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4\le 0+4\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4\le 4$ ${{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4\le 0+4\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4\le 4$

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( x+2 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=-2$ ${{\left( x+2 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=-2$

Vây giá trị lớn nhất của biểu thức là 4 khi x = -2

$b. -{{x}^{2}}+2x-4=-\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)=-\left( {{x}^{2}}-2x+1+3 \right)=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3$ $b. -{{x}^{2}}+2x-4=-\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)=-\left( {{x}^{2}}-2x+1+3 \right)=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3$

Do ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow -{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}-3\le 0-3\Rightarrow -{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3\le -3$ ${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\Rightarrow -{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow -{{\left( x+2 \right)}^{2}}-3\le 0-3\Rightarrow -{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3\le -3$

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=1$ ${{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x=1$

Vây giá trị lớn nhất của biểu thức là -3 khi x = 1

Bài tập 3:

$\begin{align} & a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)-2ab+37={{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b-2ab+37 \\ & =\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)+2\left( a-b \right)+37={{\left( a-b \right)}^{2}}+2\left( a-b \right)+37 \\ & ={{5}^{2}}+2.5+37=72 \\ \end{align}$ $\begin{align} & a\left( a+2 \right)+b\left( b-2 \right)-2ab+37={{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b-2ab+37 \\ & =\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)+2\left( a-b \right)+37={{\left( a-b \right)}^{2}}+2\left( a-b \right)+37 \\ & ={{5}^{2}}+2.5+37=72 \\ \end{align}$

ii.

$\begin{align} & {{a}^{2}}\left( a+1 \right)-{{b}^{2}}\left( b-1 \right)+ab-3ab\left( a-b+1 \right)-95 \\ & ={{a}^{3}}+{{a}^{2}}-{{b}^{3}}+{{b}^{2}}+ab-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-3ab-95 \\ & =\left( {{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}} \right)+\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)-95 \\ & ={{\left( a-b \right)}^{3}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}-95 \\ & ={{5}^{3}}+{{5}^{2}}-95=55 \\ \end{align}$ $\begin{align} & {{a}^{2}}\left( a+1 \right)-{{b}^{2}}\left( b-1 \right)+ab-3ab\left( a-b+1 \right)-95 \\ & ={{a}^{3}}+{{a}^{2}}-{{b}^{3}}+{{b}^{2}}+ab-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-3ab-95 \\ & =\left( {{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}} \right)+\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)-95 \\ & ={{\left( a-b \right)}^{3}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}-95 \\ & ={{5}^{3}}+{{5}^{2}}-95=55 \\ \end{align}$

Bài tập 4:

Xét $A-B=2{{a}^{3}}+3{{b}^{3}}-4a{{b}^{2}}$ $A-B=2{{a}^{3}}+3{{b}^{3}}-4a{{b}^{2}}$

- Nếu $a\ge b$ $a\ge b$ đặt $a=b+x,\left( x\ge 0 \right)$ $a=b+x,\left( x\ge 0 \right)$ ta có:

$\begin{align} & A-B=2{{\left( b+x \right)}^{3}}+3{{b}^{3}}-4\left( b+x \right){{b}^{2}} \\ & =2\left( {{b}^{3}}+3{{b}^{2}}x+3b{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)+3{{b}^{3}}-4{{b}^{3}}-4x{{b}^{2}} \\ & =2{{b}^{3}}+6{{b}^{2}}x+6b{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-{{b}^{3}}-4x{{b}^{2}} \\ & ={{b}^{3}}+2{{b}^{2}}x+6b{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}>0,\forall a,x\ge 0 \\ & \Rightarrow A>B \\ \end{align}$ $\begin{align} & A-B=2{{\left( b+x \right)}^{3}}+3{{b}^{3}}-4\left( b+x \right){{b}^{2}} \\ & =2\left( {{b}^{3}}+3{{b}^{2}}x+3b{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)+3{{b}^{3}}-4{{b}^{3}}-4x{{b}^{2}} \\ & =2{{b}^{3}}+6{{b}^{2}}x+6b{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-{{b}^{3}}-4x{{b}^{2}} \\ & ={{b}^{3}}+2{{b}^{2}}x+6b{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}>0,\forall a,x\ge 0 \\ & \Rightarrow A>B \\ \end{align}$

- Nếu a < b đặt $a=b-y,\left( y>0 \right)\Rightarrow b=a+y$ $a=b-y,\left( y>0 \right)\Rightarrow b=a+y$ ta có:

$\begin{align} & A-B=2{{a}^{3}}+3{{\left( a+y \right)}^{3}}-4a{{\left( a+y \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{3}}+{{a}^{2}}y+5a{{y}^{2}}+3{{y}^{3}}>0,\forall a,y>0 \\ & \Rightarrow A>B \\ \end{align}$ $\begin{align} & A-B=2{{a}^{3}}+3{{\left( a+y \right)}^{3}}-4a{{\left( a+y \right)}^{2}} \\ & ={{a}^{3}}+{{a}^{2}}y+5a{{y}^{2}}+3{{y}^{3}}>0,\forall a,y>0 \\ & \Rightarrow A>B \\ \end{align}$

Với mọi số nguyên a, b thì A > B

Bài tập 5:

$\begin{align} & 2\left( {{x}^{6}}+{{y}^{6}} \right)-3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)=2\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{3}} \right]-3\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}} \right] \\ & =2\left[ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right) \right]-3\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right] \\ & =2.1.\left[ \left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3\left[ 1-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right] \\ & =2\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}} \\ & =2\left[ 1-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}} \\ & =2-6{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}=-1 \\ \end{align}$ $\begin{align} & 2\left( {{x}^{6}}+{{y}^{6}} \right)-3\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)=2\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{3}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{3}} \right]-3\left[ {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}} \right] \\ & =2\left[ \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right) \right]-3\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right] \\ & =2.1.\left[ \left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3\left[ 1-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right] \\ & =2\left[ {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}} \\ & =2\left[ 1-3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right]-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}} \\ & =2-6{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3+6{{x}^{2}}{{y}^{2}}=-1 \\ \end{align}$

(Còn tiếp)

Mời bạn đọc tải tài liệu để tham khảo đầy đủ bài học!

---------------------------------------------------------------

Như vậy, VnDoc.com đã gửi tới các bạn Bài tập nâng cao Toán 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp). Ngoài ra, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu khác do VnDoc sưu tầm và chọn lọc như Giải Toán 8, Giải Bài tập Toán 8, Chuyên đề Toán 8, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

900

Bài trước

Bài sau