Bài tập nâng cao Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập nâng cao: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập nâng cao Toán lớp 8: Phân tích đa thức thành nhân tử là tài liệu ôn tập với các bài tập Toán lớp 8 chương 1, giúp các bạn học sinh học tốt Toán 8 và luyện tập các dạng Toán lớp 8 đạt kết quả tốt nhất, góp phần củng cố thêm kiến thức của các bạn học sinh.
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 8. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Lí thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
A.B+ A.C – A.D = A(B + C – D)
2. Phương pháp dung hằng đẳng thức
- Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc lũy thừa của một biểu thức đơn giản.
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
- Áp dụng tính chất giao hoán kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dung các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo từng nhóm cuối cùng phân tích chung đối với các nhóm.
4. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
- Vận dụng các phương pháp đã biết: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử.
5. Phương pháp tách
- Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hoặc nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
6. Phương pháp thêm bớt hạng tử
- Ta thêm hoặc bớt cùng một hạng tử nào đó vào đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dung các phương pháp khác để phân tích được.
7. Phương pháp thêm biến phụ
- Trong một số trường hợp để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích hợp
II. Bài tập nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
\(P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz\)
Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
\(B={{\left( x-y \right)}^{3}}+{{\left( y-z \right)}^{3}}+{{\left( z-x \right)}^{3}}\)
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
\(A={{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( y-x \right)+{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( z-y \right)-{{z}^{2}}{{x}^{2}}\left( z-x \right)\)
Bài tập 4: Cho x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện \(xy+yz+zx=1\). Chứng minh rằng: \(\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)\left( {{z}^{2}}+1 \right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu x, y, z là ba cạnh của một tam giác thì
\(2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}{{z}^{2}}+2{{z}^{2}}{{x}^{2}}-{{x}^{4}}-{{y}^{4}}-{{z}^{4}}>0\)
III. Đáp án bài tập nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 1:
\(\begin{align} & P={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz \\ & P={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz-3{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}} \\ & P={{\left( x+y \right)}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz-3{{x}^{2}}y-3x{{y}^{2}} \\ & P=\left( x+y+z \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-z\left( x+y \right)+{{z}^{2}} \right]-3xy\left( z+x+y \right) \\ & P=\left( x+y+z \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-z\left( x+y \right)+{{z}^{2}}-3xy \right] \\ & P=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-zx-zy+{{z}^{2}}-3xy \right) \\ & P=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-zx-zy-xy \right) \\ \end{align}\)
Bài tập 2:
\(\begin{align} & B={{\left( x-y \right)}^{3}}+{{\left( y-z \right)}^{3}}+{{\left( z-x \right)}^{3}} \\ & B={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}+{{y}^{3}}-3{{y}^{2}}z+3y{{z}^{2}}-{{z}^{3}}+{{z}^{3}}-3{{z}^{2}}x+3z{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \\ & B=-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}-3{{y}^{2}}z+3y{{z}^{2}}-3{{z}^{2}}x+3z{{x}^{2}} \\ & B=3\left( -{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-{{y}^{2}}z+y{{z}^{2}}-{{z}^{2}}x+z{{x}^{2}} \right) \\ & B=3\left[ -xy\left( x-y \right)-{{z}^{2}}\left( x-y \right)+z\left( x-y \right)\left( x+y \right) \right] \\ & B=3\left( x-y \right)\left( -xy-{{z}^{2}}+zx+zy \right) \\ & B=3\left( x-y \right)\left[ y\left( z-x \right)-z\left( z-x \right) \right] \\ & B=3\left( x-y \right)\left( z-x \right)\left( y-z \right) \\ \end{align}\)
Bài tập 3:
\(\begin{align} & A={{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( y-x \right)+{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( z-y \right)-{{z}^{2}}{{x}^{2}}\left( z-x \right) \\ & A={{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( y-x \right)+{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( z-y \right)-{{z}^{2}}{{x}^{2}}\left[ \left( z-y \right)+\left( y-x \right) \right] \\ & A={{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( y-x \right)+{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( z-y \right)-{{z}^{2}}{{x}^{2}}\left( z-y \right)-{{z}^{2}}{{x}^{2}}\left( y-x \right) \\ & A=\left( y-x \right)\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)+\left( z-y \right)\left( {{y}^{2}}{{z}^{2}}-{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right) \\ & A={{x}^{2}}\left( y-x \right)\left( y-z \right)\left( y+z \right)+{{z}^{2}}\left( z-y \right)\left( y-x \right)\left( y+x \right) \\ & A=\left( z-x \right)\left( z-y \right)\left( y-x \right)\left( xy+xz+yz \right) \\ \end{align}\)
Bài tập 4:
Ta có:
\({{x}^{2}}+1={{x}^{2}}+xy+yz+zx=x\left( x+y \right)+z\left( y+x \right)=\left( x+z \right)\left( x+y \right)\)
\({{y}^{2}}+1={{y}^{2}}+xy+yz+zx=y\left( y+x \right)+z\left( y+x \right)=\left( y+z \right)\left( x+y \right)\)
\({{z}^{2}}+1={{z}^{2}}+xy+yz+zx=z\left( y+z \right)+x\left( y+z \right)=\left( y+z \right)\left( x+z \right)\)
Nên
\(\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)\left( {{z}^{2}}+1 \right)={{\left( x+z \right)}^{2}}{{\left( x+y \right)}^{2}}{{\left( z+y \right)}^{2}}={{\left[ \left( x+z \right)\left( x+y \right)\left( z+y \right) \right]}^{2}}\) là bình phương một số hữu tỉ
Bài tập 5:
Ta có:
\(\begin{align} & 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}{{z}^{2}}+2{{z}^{2}}{{x}^{2}}-{{x}^{4}}-{{y}^{4}}-{{z}^{4}} \\ & =4{{x}^{2}}{{z}^{2}}-\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}{{z}^{2}}-2{{y}^{2}}{{z}^{2}} \right) \\ & =4{{x}^{2}}{{z}^{2}}-{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}} \\ & =\left( 2xz+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( 2xz-{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right) \\ & =\left[ {{\left( x+z \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right]\left[ {{y}^{2}}-{{\left( x-z \right)}^{2}} \right] \\ & =\left( x+z-y \right)\left( x+z+y \right)\left( y-x+z \right)\left( y+x-z \right) \\ \end{align}\)
Do x, y, z là 3 cạnh của tam giác nên x, y, z > 0
\(\begin{align} & x+z-y>0,x+z+y>0,y-x+z>0,y+x-z>0 \\ & \Rightarrow 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}{{z}^{2}}+2{{z}^{2}}{{x}^{2}}-{{x}^{4}}-{{y}^{4}}-{{z}^{4}}>0 \\ \end{align}\)
(Còn tiếp)
Mời bạn đọc tải tài liệu để tham khảo đầy đủ bài học!
---------------------------------------------------------------
Như vậy, VnDoc.com đã gửi tới các bạn Bài tập nâng cao Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu khác do VnDoc sưu tầm và chọn lọc như Giải Toán 8, Giải Bài tập Toán 8, Chuyên đề Toán 8, để học tốt môn Toán hơn và chuẩn bị cho các bài thi đạt kết quả cao.
