Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các hình học phẳng
Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các hình học phẳng lớp 8
Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các hình học phẳng giúp các em nắm được định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình vuông, từ đó áp dụng tốt vào giải các bài tập Toán 8. Dưới đây là nội dung chi tiết các em tham khảo nhé.
I/ Hình Thang cân
1/ Định nghĩa hình thang cân
– Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau
2/ Tính chất hình thang cân
– Hình thang cân có:
• Hai góc kề một đáy bằng nhau
• Hai cạnh bên bằng nhau
• Hai đường chéo bằng nhau
3/ Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
– Hình thang có:
• hai góc kề bằng nhau là hình thang cân
• hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
4. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Chứng minh hình thang cân:
Ví dụ 1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân.
Từ đó suy ra EC = ED. (1)
Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED ⇒ AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng mình EA = EB, EC = ED.
Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)
Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:
AD = BC (chứng minh trên)
AC = BD (chứng mình trên)
DC chung
⇒ Tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh – cạnh – cạnh)
Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)
Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
⇒ EC = ED (tính chất tam giac cân)
Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)
⇒ AC – CE = BD – ED
⇒ EA = EB
Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).
II/ Hình bình hành
1/ Định nghĩa hình bình hành
– Là tứ giác có các cạnh đối song song
2/ Tính chất hình bình hành
– Hình bình hành có:
• Các cạnh đối bằng nhau
• Các góc đối bằng nhau
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3/ Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
– Tứ giác có:
• Các cạnh đối song song là hình bình hành
• Các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
• Hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
• Các góc đối bằng nhau là hình bình hành
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
III/ Hình chữ nhật
1/ Định nghĩa hình chữ nhật
– Là tứ giác có 4 góc vuông
2/ Tính chất hình chữ nhật
– Hình chữ nhật có:
• Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• tất cả các tính chất của hình thang cân và hình thoi.
3/ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
– Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
– Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
– Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
– Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
IV/ Hình thoi
1/ Định nghĩa hình thoi
– Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
2/ Tính chất hình thoi
– Trong hình thoi có:
• Hai đường chéo vuông góc với nhau
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Tất cả các tính chất của hình bình hành
3/ Dấu hiệu nhận biết hình thoi
– Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
– Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi
4/ Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD, độ dài mỗi cạnh là 13 cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ OH vuông góc AD. Biết OH = 6 cm, tính tỉ số của hai đường chéo BD và AC.
Lời giải:
Vẽ BK vuông góc AD.
Xét DBKD có OH // BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD.
Vậy OH là đường trung bình của DBKD.
Suy ra do đó BK = 12 cm.
Xét DABK vuông tại K có:
AK2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25
⇒ AK = 5 cm do đó KD = 8 cm.
Xét tam giác BKD vuông tại K có:
BD2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208.
Xét tam giác AOH vuông tại H có:
OA2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.
Lời giải:
Tam giác ABE = Tam giác ACF (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AE = AF và BE = CF.
Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.
Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.
Xét DEBC có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.
Chứng minh tương tự ta được MF = MB.
Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành.
Mặt khác, DM = DN (cùng bằng \(\frac{1}{2}\) của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.
V/ Hình vuông
1/ Định nghĩa hình vuông
– Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
2/ Tính chất hình vuông
– Hình vuông có các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3/ Dấu hiệu nhận biết hình vuông
– Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là hình vuông
– Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
– Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
VI/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.
a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của OB, OD. Kẻ PM vuông góc với AB tại M, QN vuông góc với CD tại N. Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng và các đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy.
Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.
a) Tứ giác AMBQ là hình gì?
b) Chứng minh tam giác PIQ cân.
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC, AB theo thứ tự tại E và F.
a) Tứ giác AFME là hình gì?
b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.