Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Chuyên đề Toán học lớp 8: Đường trung bình của tam giác, của hình thang được VnDoc sưu tầm và đăng tải gồm lý thuyết và các dạng bài tập liên quan đến đường trung bình của tam giác của hình thang. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các em học tốt môn Toán lớp 8. Dưới đây là nội dung chi tiết mời các em tham khảo

A. Lý thuyết

Để hiểu rõ hơn về lý thuyết của bài, mời các em học sinh tham khảo tài liệu:

Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang

1. Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lý:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Δ ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC thì DE // BC và \(\text{DE}=\frac{1}{2}\text{BC}\)

Ví dụ: Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và BC = 4cm. Tính độ dài MN.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm của AB (gt), N là trung điểm của AC (gt)

⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC (định lý)

Áp dụng định lý 2, ta có \(\text{MN}=\frac{1}{2}\text{BC}\)

⇒   \(\text{MN}=\frac{1}{2}\text{BC}=\frac{1}{2}.4 = 2\) (cm)

2. Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lý:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Hình thang ABCD (AB //CD) có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC thì EF // AB // CD và \(\text{EF}=\frac{\text{AB} + \text{CD}}{2}\)

Ví dụ: Cho hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC và AB = 4cm và CD = 7cm. Tính độ dài đoạn EF.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD (AB // CD) có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC (gt)

⇒ EF là đường trung bình của hình thang (định lý).

Áp dụng định lý 2, ta có EF = (AB + CD)/2

⇒  \(\text{EF}=\frac{\text{AB} + \text{CD}}{2} =\frac{4 + 7}{2}= \frac{11}{2}\)(cm)

B. Các dạng toán 

1. Dạng 1: Dựa vào đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang, tính độ dài các cạnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 10cm, BC = 14cm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh DE, DF và EF.

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC \(\Rightarrow\text{DE}=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.14=7\) cm

+ Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

Suy ra DF là đường trung bình của tam giác ABC \(\Rightarrow\text{DF}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.10=5\) cm

+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC \(\Rightarrow\text{EF}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.6=3\) cm

2. Dạng 2: Chứng minh đường trung bình

Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có:

I là trung điểm của AB

J là trung điểm của BC

Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC (định lý) (đpcm)

3. Dạng 3: Chứng minh các đường thẳng song song với nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh tứ giác AIJC là hình thang.

Lời giải:

+ Xét tam giác ABC có:

I là trung điểm của AB

J là trung điểm của BC

Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC (định lý)

Suy ra IJ // AC (định lý)

+ Xét tứ giác AIJC có: IJ // AC (cmt)

Suy ra tứ giác AIJC là hình thang (định nghĩa)

C. Bài tập trắc nghiệm và tự luận Toán 8

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phát biểu nào sau đây sai?

A. DE là đường trung bình của tam giác ABC.

B. DE song song với BC.

C. DECB là hình thang cân.

D. DE có độ dài bằng nửa BC.

Hướng dẫn:

Bài 2: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và DE = 4cm. Biết đường cao AH = 6cm. Diện tích của tam giác ABC là?

Bài 3: Chọn phát biểu đúng

A. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thoi.

B. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối của hình thoi.

C. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng tổng hai hai đáy.

D. Một hình thang có thể có một hoặc nhiều đường trung bình.

Hướng dẫn:

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC (AB > AC) có \(\widehat{\text{A}}=50^0\). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC. Tính \(\widehat{\text{DEF}}\)?

Lời giải:

+ Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và ACD.

+ Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

(1) FI//BD (2) FI = a

(3) EI = a (4) EI//AC

Từ (1) ⇒ \(\widehat{\text{E}_1}= \widehat{\text{F}_1}\) (ở vị trí so le trong) (5)

Từ (2) và (3) ⇒ FI = EI nên \(\widehat{\text{E}_2}=\widehat{\text{F}_1}\)(vì trong tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau) (6)

Từ (5) và (6) ⇒ \(\widehat{\text{E}_1}=\widehat{\text{E}_2}\)

Từ (4) ⇒ \(\widehat{\text{BEI}}=\widehat{\text{A}}=50^0\)(ở vị trí đồng vị)

Mà \(\widehat{\text{BEI}}=2\widehat{\text{E}_1}\Rightarrow\widehat{\text{E}_1}=25^0\)

Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm,CD = 5cm,AD = 7cm. Gọi E là trung điểm của BC. Tính AEDˆ = ?

Hướng dẫn:

Đặt  \(\widehat{\text{E}_1}=\alpha; \widehat{\text{E}_2}=\beta \Rightarrow \widehat{\text{AED}}=\alpha+\beta\)

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = \(\frac{\text{AD}}{2}\) = 3,5cm (1)

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:

IE = \(\frac{\text{AB} + \text{CD}}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5\) cm (2)

Từ (1) và (2) ta có

\(\left\{\begin{matrix} \text{IA}=\text{IE} \\ \text{IE} =\text{ID} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{\text{A}_1} = \widehat{\text{E}_1} = \alpha \\ \widehat{\text{D}_2} = \widehat{\text{E}_2} =\beta\end{matrix}\right.\)

(vì trong tam giác, góc đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau)

+ Xét tam giác ADE có \(\widehat{\text{A}_1} + \widehat{\text{AED}} +\widehat{\text{D}_2}=180^0\)

Hay α + α + β + β = 2(α + β) = 180⁰ ⇒ α + β = 90⁰

Do α + β = 90⁰ nên \(\widehat{\text{AED}}=90^0\).

Như vậy VnDoc đã chia sẻ xong bài Đường trung bình của tam giác, của hình thang. Với lý thuyết gồm các dạng bài tập kèm theo sẽ giúp ích cho các em nắm chắc kiến thức cũng như tự ôn tập, rèn luyện thêm tại nhà. Chúc các em học tốt, nếu thấy tài liệu hay hãy chia sẻ cho các bạn cùng biết nhé

------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán 8: Đường trung bình của tam giác, của hình thang. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 8, Giải bài tập Toán 8, Giải VBT Toán 8 mà VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc