Định lí Thales trong tam giác
Chuyên đề Toán học lớp 8: Định lí Ta-lét trong tam giác được VnDoc giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 8 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Định lí Ta-lét trong tam giác
- A. Lý thuyết
- B. Bài tập
- 1. Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
- 2. Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
- 3. Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
- 4. Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
- 5. Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
- C. Bài tập vận dụng
A. Lý thuyết
1. Tỉ số của hai đường thẳng
• Định nghĩa: Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng chúng theo cùng một đơn vị đo.
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
• Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng và nếu có tỉ lệ thức
\(\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}\) hay \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{CD}{C'D'}\)
3. Định lý Thales trong tam giác
• Định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
• Chú ý: Định lí Ta-lét vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
4. Định lí đảo
• Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.
5. Hệ quả của định lý Ta-lét
• Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.
• Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
B. Bài tập
1. Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
Phương pháp: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1. Đoạn thẳng AB gấp 5 lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’ gấp 7 lần đoạn thẳng CD.
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’.
b) Cho biết đoạn thẳng MN = 55 cm và M’N’ = 77 cm; hỏi hai đoạn thẳng AB và A’B’ có tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M’N’ không?
Lời giải
a) \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{5CD}{7CD}=\frac{5}{7}\)
b) \(\frac{MN}{M'N'}=\frac{55}{77}=\frac{5}{7}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{MN}{M'N'}\). Vậy hai đoạn thẳng AB và A'B' tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M'N'.
2. Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
Phương pháp:
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lí Ta-lét.
Bước 2: Sử đụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 2. Tính x trong trường hợp sau.
Lời giải
\(\frac{PS}{SQ}=\frac{PT}{TR}\) ⇒ \(\frac{4}{x}=\frac{5}{8,5-5}\) ⇒ x = 2,8
3. Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp:
Bước 1: xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Ta-lét.
Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AB = 24 cm, AM = 16 cm, AN = 12 cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng NC
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
⇒ \(AC=\frac{AB.AN}{AM}=\frac{24.12}{16}=18\) (cm)
⇒ NC = AC - AN = 18 - 12 = 6 cm.
4. Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác.
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn thẳng song song
Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD lần lượt là M, N. Chứng minh rằng MN, AB và CD song song với nhau.
Lời giải
Gọi giao điểm của hai đường chéo là O. Vì AB // CD nên \(\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}\)
⇒ \(\frac{OC+OA}{OA}=\frac{OD+OB}{OB}\)
Suy ra \(\frac{AC}{OA}=\frac{BD}{OB}\)
Từ AC = 2AM và BD = 2BN.
Suy ra \(\frac { 2 A M } { O A } = \frac { 2 B N } { O B } \Rightarrow \frac { A M } { O A } = \frac { B N } { O B }\)
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có \({ \cfrac { A M - O A } { O A } } ~ { = } ~ { \frac { B N - O B } { O B } }\) hay \(\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}\)
Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra MN // AB mà AB // CD (do ABCD là hình thang) nên MN // AB // CD.
5. Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp:
Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh
a) \(\frac{MD}{AD}=\frac{CQ}{BC}\).
b) MN = PQ.
Lời giải
a) Ta có \({ \frac { M \! \! D } { A D } } \! = \! { \frac { D \! N } { D B } } \! = \! { \frac { C Q } { C B } }\)
b) Ta có \(\frac{ MN} {A B} = \frac { MD } {A D} = \frac { CQ} { CB} ~ = ~ { \frac { PQ} { AB } }\)
C. Bài tập vận dụng
Bài 1. Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau
a) MN = 25 cm và PQ = 10 dm;
b) EF = 1,2 m và GH = 24 cm.
Bài 2. Tính độ dài x, y trong các hình bên
Bài 3. Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C vẽ hai đường thẳng song song, cắt Ay lần lượt tại D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F.
a) So sánh \(\frac{AB}{AC}\)và \(\frac{AD}{AE}\); \(\frac{AC}{AF}\) và \(\frac{AD}{AE}\).
b) Chứng minh AC2 = AB . AF
Bài 4. Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự tại M, N. Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN.
Bài 5. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Biết rằng MD = 2MO, đáy lớn CD = 5,6 cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Chứng minh \(MN=\frac{CD-AB}{2}\)
Bài 6. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, Q, N, P. Chứng minh
a) \(\frac{DN}{BD}=\frac{CP}{AC}\).
b) MN = PQ
Bài 7. Tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’, H’. Chứng minh
a) \(\frac{AH'}{AH}=\frac{B'C'}{BC}\)
b) \(\frac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}}=\left(\frac{B'C'}{BC}\right)^2\)
---------------------------------------
Mời các bạn tham khảo và tải file để xem chi tiết đáp án
