Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao

VnDoc gửi tới các bạn Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao bao gồm những bài tập toán lớp 8 nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ, kèm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh tham khảo, luyện tập các dạng bài tập liên quan. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức được học trong chương trình Toán 8. Sau đây, mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

A. Lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Với A và B là hai biểu thức bất kì, ta có:

1.	Bình phương của một tổng	\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
2.	Bình phương của một hiệu	\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
3.	Hiệu hai bình phương	\({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
4.	Lập phương của một tổng	\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
5.	Lập phương của một hiệu	\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
6.	Tổng hai lập phương	\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)\)
7.	Hiệu hai lập phương	\({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

2. Các dạng toán thường gặp

– Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

– Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

– Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

– Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

– Dạng 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

– Dạng 6: Tìm x

B. Bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a, (2a – 3b + 4c)(2a – 3b – 4c) 

b, (3x + 4y – 5z)(3x – 4y + 5z) 

c, (3a – 1)² + 2(9a² – 1) + (3a + 1)²  

d, (3x – 4)² – 2(3x – 4)(x – 4) + (4 – x)²  

Bài 2: Chứng minh rằng:

(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x)

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn: 

x² + 5x + y² – 2y + 11 + (3z – 6)² = 0

Bài 4: Tìm x, biết: 

(x – 4)(x² + 4x + 16) + x(x + 5)(5 – x) = 12

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = x² + 5x + 196

b, B = (x + 1)² + (3x – 4)² 

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = 5x – x² 

b, B = – x² + 2x + 9

C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

a,

\(\begin{array}{l} \left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)\\ = {\left( {2a - 3b} \right)^2} - {\left( {4c} \right)^2}\\ = 4{a^2} - 12ab + 9{b^2} - 16{c^2} \end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l} \left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)\\ = {\left( {3x} \right)^2} - {\left( {4y - 5z} \right)^2}\\ = 9{x^2} - \left( {16{y^2} - 40yz + 25{z^2}} \right)\\ = 9{x^2} - 16{y^2} + 40yz - 25{z^2} \end{array}\)

c,

\(\begin{array}{l} {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2.\left( {3a - 1} \right)\left( {3a + 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {3a - 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {6a} \right)^2} = 36{a^2} \end{array}\)

d,

\(\begin{array}{l} {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4 - x + 4} \right)^2}\\ = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2} \end{array}\)

Bài 2:

a, \({\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\)

Xét vế trái có:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right)z + 3x{z^2} + 3y{z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 6xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 3xyz + 3xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xy\left( {x + z} \right) + 3xy\left( {y + z} \right) + 3xz\left( {x + z} \right) + 3yz\left( {y + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + \left( {x + z} \right)\left( {3xy + 3xz} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {3xy + 3yz} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3x\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) + 3y\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = VP \end{array}\)

Bài 3:

\(\begin{array}{l} {x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 5 = 0\\ y - 1 = 0\\ 3x - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5\\ y = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Bài 4:

\(\begin{array}{l} \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - {4^3} + x\left( {{5^2} - {x^2}} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - 64 + 25x - {x^3} = 12\\ \Leftrightarrow 25x = 76 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{76}}{{25}}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{76}}{{25}}} \right\}\)

Bài 5:

a, \(A = {x^2} + 5x + 196 = \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + 186 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 186\)

Có \({\left( {x + 5} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + 186 \ge 186\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = - 5\)

Vậy minA = 186 khi x = -5

b,

\(\begin{array}{l} B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1 + 9{x^2} - 24x + 16\\ = 10{x^2} - 22x + 17 = 10\left( {{x^2} - 2.\frac{{11}}{{10}}.x + \frac{{121}}{{100}}} \right) + \frac{{49}}{{10}}\\ = 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \end{array}\)

Có \({\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \ge \frac{{49}}{{10}}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}\)

Vậy \(\min B = \frac{{49}}{{10}} \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}\)

Bài 6:

a, \(A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}\)

Có \(- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Vậy \(\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

b, \(B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10\)

Có \(- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x = 1\)

Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1

-------------------------------