Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao

Giải Toán 8 Chương 1 Đại số

Bài tập Toán 8 nâng cao: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
B. Bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ
C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ là phần nội dung quan trọng được học trong chương trình Toán 8. Để giúp các em nắm vững phần này, VnDoc gửi tới các bạn Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao bao gồm những bài tập toán lớp 8 nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ, kèm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh tham khảo, luyện tập các dạng bài tập liên quan đến đơn thức với đa thức và phép nhân đa thức với đa thức. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố kiến thức được học trong chương trình Toán 8. Sau đây, mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Với A và B là hai biểu thức bất kì, ta có:

1.	Bình phương của một tổng	${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
2.	Bình phương của một hiệu	${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$
3.	Hiệu hai bình phương	${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$
4.	Lập phương của một tổng	${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$ ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$
5.	Lập phương của một hiệu	${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$ ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$
6.	Tổng hai lập phương	${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)$ ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)$
7.	Hiệu hai lập phương	${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ ${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

2. Các dạng toán thường gặp

+ Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

+ Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

+ Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

+ Dạng 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

+ Dạng 6: Tìm x

B. Bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a, $\left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)$ $\left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)$

b, $\left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)$ $\left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)$

c, ${\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}$ ${\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}$

d, ${\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}$ ${\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}$

Bài 2: Chứng minh rằng: ${\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$ ${\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn: ${x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0$ ${x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0$

Bài 4: Tìm x, biết: $\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12$ $\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12$

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, $A = {x^2} + 5x + 196$ $A = {x^2} + 5x + 196$

b, $B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2}$ $B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2}$

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

a, $A = 5x - {x^2}$ $A = 5x - {x^2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9$ $B = - {x^2} + 2x + 9$

C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

a,

$\begin{array}{l} \left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)\\ = {\left( {2a - 3b} \right)^2} - {\left( {4c} \right)^2}\\ = 4{a^2} - 12ab + 9{b^2} - 16{c^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} \left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)\\ = {\left( {2a - 3b} \right)^2} - {\left( {4c} \right)^2}\\ = 4{a^2} - 12ab + 9{b^2} - 16{c^2} \end{array}$

b,

$\begin{array}{l} \left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)\\ = {\left( {3x} \right)^2} - {\left( {4y - 5z} \right)^2}\\ = 9{x^2} - \left( {16{y^2} - 40yz + 25{z^2}} \right)\\ = 9{x^2} - 16{y^2} + 40yz - 25{z^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} \left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)\\ = {\left( {3x} \right)^2} - {\left( {4y - 5z} \right)^2}\\ = 9{x^2} - \left( {16{y^2} - 40yz + 25{z^2}} \right)\\ = 9{x^2} - 16{y^2} + 40yz - 25{z^2} \end{array}$

c,

$\begin{array}{l} {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2.\left( {3a - 1} \right)\left( {3a + 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {3a - 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {6a} \right)^2} = 36{a^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2.\left( {3a - 1} \right)\left( {3a + 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {3a - 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {6a} \right)^2} = 36{a^2} \end{array}$

d,

$\begin{array}{l} {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4 - x + 4} \right)^2}\\ = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4 - x + 4} \right)^2}\\ = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2} \end{array}$

Bài 2:

a, ${\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$ ${\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)$

Xét vế trái có:

$\begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right)z + 3x{z^2} + 3y{z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 6xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 3xyz + 3xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xy\left( {x + z} \right) + 3xy\left( {y + z} \right) + 3xz\left( {x + z} \right) + 3yz\left( {y + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + \left( {x + z} \right)\left( {3xy + 3xz} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {3xy + 3yz} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3x\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) + 3y\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = VP \end{array}$ $\begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right)z + 3x{z^2} + 3y{z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 6xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 3xyz + 3xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xy\left( {x + z} \right) + 3xy\left( {y + z} \right) + 3xz\left( {x + z} \right) + 3yz\left( {y + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + \left( {x + z} \right)\left( {3xy + 3xz} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {3xy + 3yz} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3x\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) + 3y\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = VP \end{array}$

Bài 3:

$\begin{array}{l} {x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 5 = 0\\ y - 1 = 0\\ 3x - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5\\ y = 1\\ x = 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 5 = 0\\ y - 1 = 0\\ 3x - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5\\ y = 1\\ x = 2 \end{array} \right.$

Bài 4:

$\begin{array}{l} \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - {4^3} + x\left( {{5^2} - {x^2}} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - 64 + 25x - {x^3} = 12\\ \Leftrightarrow 25x = 76 \end{array}$ $\begin{array}{l} \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - {4^3} + x\left( {{5^2} - {x^2}} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - 64 + 25x - {x^3} = 12\\ \Leftrightarrow 25x = 76 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{{76}}{{25}}$ $\Leftrightarrow x = \frac{{76}}{{25}}$

Vậy $S = \left\{ {\frac{{76}}{{25}}} \right\}$ $S = \left\{ {\frac{{76}}{{25}}} \right\}$

Bài 5:

a, $A = {x^2} + 5x + 196 = \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + 186 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 186$ $A = {x^2} + 5x + 196 = \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + 186 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 186$

Có ${\left( {x + 5} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + 186 \ge 186$ ${\left( {x + 5} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + 186 \ge 186$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = - 5$ $\Leftrightarrow x = - 5$

Vậy minA = 186 khi x = -5

b,

$\begin{array}{l} B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1 + 9{x^2} - 24x + 16\\ = 10{x^2} - 22x + 17 = 10\left( {{x^2} - 2.\frac{{11}}{{10}}.x + \frac{{121}}{{100}}} \right) + \frac{{49}}{{10}}\\ = 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \end{array}$ $\begin{array}{l} B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1 + 9{x^2} - 24x + 16\\ = 10{x^2} - 22x + 17 = 10\left( {{x^2} - 2.\frac{{11}}{{10}}.x + \frac{{121}}{{100}}} \right) + \frac{{49}}{{10}}\\ = 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \end{array}$

Có ${\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \ge \frac{{49}}{{10}}$ ${\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \ge \frac{{49}}{{10}}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$ $\Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$

Vậy $\min B = \frac{{49}}{{10}} \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$ $\min B = \frac{{49}}{{10}} \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$

Bài 6:

a, $A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}$ $A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}$

Có $- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$ $- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Vậy $\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ $\max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

b, $B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10$ $B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10$

Có $- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10$ $- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$ $\Leftrightarrow x = 1$

Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1

----------

Những hằng đẳng thức đáng nhớ là phần nội dung quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 8 học kỳ 1. Để có thể nắm vững phần này, ngoài việc ôn luyện các dạng Toán cơ bản thì các em học sinh cũng cần luyện tập những dạng toán nâng cao để luyện giải Toán 8 hiệu quả. Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao do VnDoc biên soạn không chỉ là tài liệu hay cho các em học sinh luyện tập mà còn là tài liệu hữu ích cho thầy cô giáo tham khảo ra bài cho học sinh. Hy vọng thông qua tài liệu mà VnDoc cung cấp ở trên, các em sẽ nắm chắc các dạng bài về Những hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình Toán lớp 8.

Ngoài bài tập nâng cao Toán 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu Toán 8 và đề thi học kì 1 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 8. Những đề thi này được VnDoc.com biên soạn hoặc sưu tầm và chọn lọc từ các trường THCS trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 8 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 8 . Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

65

66.507

Bài trước

Bài sau