Hình chóp đều là gì? Hình chóp đều tam giác, hình chóp đều tứ giác
Toán lớp 8: Hình chóp tứ giác đều, hình chóp tam giác đều
Hình chóp đều: Hình chóp đều tam giác, hình chóp đều tứ giác cung cấp các định nghĩa, tính chất hình chóp tam giác đều, phân biệt hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều, cách vẽ hình chóp tam giác đều, công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều.. giúp các em nắm vững kiến thức được học, vận dụng làm bài tập dễ dàng hơn.
1. Hình chóp đều (Hình chóp đa giác đều) là gì?
- Hình chóp đều (hình chóp đa giác đều) là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy ... Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều; các cạnh bên bằng nhau.
a. Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đa giác đều là tâm của đáy.
b. Thể tích hình chóp đều: 
\(V = \frac{1}{3}.S.h\)
Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao
c. Thể tích hình chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {B.B' + \sqrt {B.B'} } \right)\)
Trong đó:
B và B’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt đều.
h là chiều cao (khoảng cách giữa 2 mặt đáy).
2. Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều, các mặt bên (cạnh bên) đều bằng nhau hay hình chiếu của đỉnh chóp xuống đáy trùng với tâm của tam giác đều.
a. Tính chất hình chóp tam giác đều
- Đáy là tam giác đều
- Tất cả các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâm tam giác ABC)
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
Chú ý:
+ Tâm của tam giác đều là giao điểm 3 đường trung tuyến, cũng là đường cao, trung trực và phân giác trong.
+ Tâm của hình vuông chính là giao điểm hai đường chéo.
b. Diện tích hình chóp đều
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d
(với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)
- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây:
Stp = Sxq + S
(với S là diện tích đáy)
Ví dụ :
Cho một hình chóp tam giác đều có chiều dài cạnh đáy là 4cm và trung đoạn của hình chóp tam giác đều là 2cm. Hãy tìm diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó?
Lời giải:
Đầu tiên, theo công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều vừa nêu trên, ta cần xác định được nửa chu vi của đáy hình chóp tam giác đều là bao nhiêu.
Vì là hình chóp tam giác đều nên đáy của hình chóp là một tam giác đều. Từ đó, ta áp dụng công thức tính nửa chu vi hình tam giác đều.
Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:
p = (3 x 4) ÷ 2 = 6 (cm)
→ Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là:
S xung quanh = p * d
=> S xung quanh = 6 x 2 = 12 (cm2)
→ Kết luận: diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là 12 cm2 .
c. Thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO\)
Trong đó: \({S_{ABC}}\) là diện tích đáy tam giác đều ABC
SO là đường cao kẻ từ S xuống tâm O mặt đáy ABC
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC.
Hướng dẫn trả lời
Giải: Dựng SO⊥ ΔABC, Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có: AO = \(\frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác ABC đều nên tam giác SAO vuông, áp dụng Pi - ta - go ta có: \(S{O^2} - O{A^2} = \frac{{11{a^2}}}{3}\)
\(\Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)
d. Cách vẽ hình chóp tam giác đều :
Muốn giải một bài toán hình bất kì nào đó thì việc đầu tiên chúng ta cần làm một cách thật chính xác và kỹ lưỡng chính là vẽ chính xác hình mà đề bài đưa ra.
Và các bài toán về hình chóp tam giác đều cũng vậy, bên cạnh đó, vẽ hình cũng nằm trong danh mục được tính điểm khi đi thi vì vậy các bạn cần lưu ý vấn đề này để tránh bị mất điểm.
Muốn vẽ được hình chóp tam giác đều chính xác và dễ dàng thì các bạn cần thực hiện 3 bước theo thứ tự sau đây:
- Bước 1: vẽ một hình tam giác đều ABC (nhưng không cần nhất thiết ba cạnh phải bằng nhau, có thể vẽ một hình tam giác bình thường vì trong hình học không gian là hình 3D vì thế nhìn theo các góc độ khác nhau thì độ dài các cạnh sẽ có sự thay đổi),
- Bước 2: Lần lược, vẽ 2 đường trung tuyến AI và CF cắt nhau tại điểm O, và điểm O này cũng chính là chân đường cao của đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy (tâm của tam giác đều ABC),
- Bước 3: Từ O, ta dựng 1 đường thẳng đứng, từ đó ta có được đỉnh S của hình chóp. Cuối cùng, lần lượt nối đỉnh S của hình chóp với 3 đỉnh A, B, C của đáy hình chóp (tức tam giác đều ABC).
→ Ta hoàn thành hình vẽ và thu được một hình chóp tam giác đều S.ABC, với SH là đường cao và SA = SB = SC.
3. Hình chóp tứ giác đều
- Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy (giao của 2 đường chéo hình vuông).
a. Tính chất hình chóp tứ giác đều:
- Đáy là hình vuông
- Tất cả các cạnh bên bằng nhau
- Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
- Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
b. Diện tích hình chóp tứ giác đều
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều sẽ bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d
(với p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)
- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây:
Stp = Sxq + S
(với S là diện tích đáy)
c. Thể tích hình chóp tứ giác SABCD là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO\)
Trong đó: SABCD là diện tích hình vuông ABCD
SO là đường cao kẻ từ O xuống tâm đáy ABCD
Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Hướng dẫn trả lời
Giải:
Dựng SO⊥(ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD
=> ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông.
Ta có SA2 + SB2 = AB2 + BC2 = AC2 nên ΔASC vuông tại S
\(\Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{h^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
4. Phân biết hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều:
- Hình chóp tam giác đều theo đình nghĩa là hình chóp đều có đáy là tam giác (mặt bên là tam giác cân, chưa đều).
- Hình chóp tứ giác đều theo định nghĩa là hình chóp đều có đáy là tứ giác (lúc này đáy là hình vuông, mặt bên là tam giác cân).
5. Bài tập trắc nghiệm hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều
Câu 1: Thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao là 9cm, cạnh đáy là 5cm là :
A.75 cm3 .
B. 225 cm3 .
C. 180 cm3 .
D. 60 cm3 .
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là :
A. 6 cm3 .
B. 18 cm3 .
C. 12 cm3 .
D. 9 cm3 .
Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 5cm, độ dài trung đoạn của hình chóp là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là :
A. 40 cm2 .
B. 36 cm2 .
C. 45 cm2 .
D. 50 cm2 .
Câu 3. Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng
A.Tích nửa chu vi đáy và chiều cao của hình chóp.
B.Tích nửa chu vi đáy và trung đoạn .
C.Tích chu vi đáy và trung đoạn .
D.Tổng chu vi đáy và trung đoạn .
5. Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều sách mới
- Bài 1: Hình chóp tam giác đều - Hình chóp tứ giác đều CTST
- Bài 1: Hình chóp tam giác đều Cánh diều
- Bài 2: Hình chóp tứ giác đều Cánh diều
