Giải Toán 8 bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

$x\ne -5$

$\begin{array}{rl}& \frac{2x-5}{x+5}=3\\ & \iff \frac{2x-5}{x+5}=\frac{3(x+5)}{x+5}\\ & \Rightarrow 2x-5=3\left(x+5\right)\\ & \iff 2x-5=3x+15\\ & \iff 2x-3x=15+5\\ & \iff -x=20\\ & \iff x=-20\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-20\}$

b) ĐKXĐ: $x\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2-6}{x}=x+\frac{3}{2}\\ & \iff \frac{2(x^2-6)}{2x}=\frac{2x^2}{2x}+\frac{3x}{2x}\\ & \Rightarrow 2\left(x^2-6\right)=2x^2+3x\\ & \iff 2x^2-12=2x^2+3x\\ & \iff 2x^2-2x^2-3x=12\\ & \iff -3x=12\\ & \iff x=12:\left(-3\right)\\ & \iff x=-4\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-4\}$.

c) ĐKXĐ: $x\ne 3$

$\begin{array}{rl}& \frac{(x^2+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\\ & \Rightarrow (x^2+2x)-(3x+6)=0\\ & \iff x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)=0\\ & \iff \left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x+2=0\\ x-3=0\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=-2\text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)}\\ x=3\text{ (loại)}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{-2\}$

d) ĐKXĐ: $x\ne -{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{5}{3x+2}=2x-1\\ & \iff \frac{5}{3x+2}=\frac{\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)}{3x+2}\\ & \Rightarrow 5=\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)\\ & \iff 5=6x^2+4x-3x-2\\ & \iff 5=6x^2+x-2\\ & \iff -6x^2-x+2+5=0\\ & \iff -6x^2-x+7=0\\ & \iff -6x^2+6x-7x+7=0\\ & \iff -6x\left(x-1\right)-7\left(x-1\right)=0\\ & \iff \left(x-1\right)\left(-6x-7\right)=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x-1=0\\ -6x-7=0\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=1\\ -6x=7\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=1\text{ (thỏa mãn)}\\ x=-{\displaystyle \frac{7}{6}}\text{ (thỏa mãn)}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{1;-{\displaystyle \frac{7}{6}}\right\}$.

$x\ne 1$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2\mathrm{x}-1}{x-1}}+1={\displaystyle \frac{1}{x-1}}\\ \begin{array}{c}\iff {\displaystyle \frac{2\mathrm{x}-1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{x-1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}\\ \Rightarrow 2x-1+x-1=1\end{array}\\ \begin{array}{c}\iff 3\mathrm{x}-2=1\\ \iff 3x=1+2\end{array}\\ \iff 3\mathrm{x}=3\\ \iff \mathrm{x}=3:3\\ \iff \mathrm{x}=1\left(\text{loại}\right)\end{array}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: $x\ne -1$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5\text{x}}{2\text{x}+2}}+1=-{\displaystyle \frac{6}{x+1}}\hfill \\ \iff {\displaystyle \frac{5\text{x}}{2\left(\text{x}+1\right)}}+1=-{\displaystyle \frac{6}{x+1}}\hfill \\ \begin{array}{c}\iff {\displaystyle \frac{5\text{x}}{2\left(\text{x}+1\right)}}+{\displaystyle \frac{2x+2}{2\left(x+1\right)}}=-{\displaystyle \frac{6.2}{2\left(x+1\right)}}\hfill \\ \Rightarrow 5x+2x+2=-12\hfill \end{array}\hfill \\ \iff 7\mathrm{x}+2=-12\hfill \\ \iff 7\mathrm{x}=-12-2\hfill \\ \iff 7\mathrm{x}=-14\hfill \\ \iff x=\left(-14\right):7\hfill \\ \iff \mathrm{x}=-2\left(\text{thỏa mãn}\right)\hfill \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = -2.

c) ĐKXĐ: $x\ne 0$.

$\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\\ \iff {\displaystyle \frac{x^3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{x}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\\ \Rightarrow x^3+x=x^4+1\\ \iff x^4-x^3-x+1=0\\ \iff x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x^3-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}x-1=0\\ x^3-1=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=1\\ x^3=1\end{array}\\ \iff x=1\left(\text{thỏa mãn}\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

d) ĐKXĐ: $x\ne 0;x\ne -1$.

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}+{\displaystyle \frac{x-2}{x}}=2\\ \iff {\displaystyle \frac{x\left(x+3\right)}{x\left(x+1\right)}}+{\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}}={\displaystyle \frac{2x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}}\\ \Rightarrow x\left(x+3\right)+\left(x-2\right)\left(x+1\right)=2x\left(x+1\right)\\ \iff x^2+3\mathrm{x}+x^2-2\mathrm{x}+x-2=2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\\ \iff 2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-2-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}=0\\ \iff 0x=2\left(\text{Vô nghiệm}\right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

a) ĐKXĐ: $x\ne 2$

MTC: x - 2

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

${\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{3\left(x-2\right)}{x-2}}=-{\displaystyle \frac{x-3}{x-2}}$

Khử mẫu ta được: $1+3\left(x-2\right)=-\left(x-3\right)$

$\iff 1+3x-6=-x+3$

$\iff 3x+x=3+6-1$

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) ĐKXĐ: $x\ne -3$

MTC: 7(x + 3)

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

${\displaystyle \frac{2x.7.\left(x+3\right)}{7.\left(x+3\right)}}-{\displaystyle \frac{2.7.x^2}{7.\left(x+3\right)}}={\displaystyle \frac{7.4.x}{7.\left(x+3\right)}}+{\displaystyle \frac{2\left(x+3\right)}{7\left(x+3\right)}}$

Khử mẫu ta được:

$14x\left(x+3\right)-14x^2=28x+2\left(x+3\right)$

$\iff 14x^2+42x-14x^2=28x+2x+6$

⇔ $42x-30x=6$

⇔ 12x = 6

⇔ $x={\displaystyle \frac{6}{12}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

c) ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$

MTC: $x^2-1$

Quy đồng mẫu hai vế ta được:

${\displaystyle \frac{\left(x+1\right).\left(x+1\right)}{x^2-1}}-{\displaystyle \frac{\left(x-1\right).\left(x-1\right)}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{4}{x^2-1}}$

Khử mẫu ta được: ${\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=4$

$\iff x^2+2x+1-\left(x^2-2x+1\right)=4$

$\iff x^2+2x+1-x^2+2x-1=4$

⇔4x = 4

$\iff x=4:4$

⇔x = 1 (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) ĐKXĐ: $x\ne -7$ và $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$

MTC: $(x+7)(2x-3)$

Quy đồng mẫu hai vế phương trình ta được:

${\displaystyle \frac{\left(3x-2\right)\left(2x-3\right)}{\left(x+7\right)\left(2x-3\right)}}={\displaystyle \frac{\left(6x+1\right)\left(x+7\right)}{\left(x+7\right)\left(2x-3\right)}}$

Khử mẫu ta được: $\left(3x-2\right)\left(2x-3\right)=\left(6x+1\right)\left(x+7\right)$

$\iff 6x^2-9x-4x+6=6x^2+42x+x+7$

$\iff 6x^2-13x+6=6x^2+43x+7$

$\iff 6x^2-13x-6x^2-43x=7-6$

⇔ - 56x = 1

$\iff x={\displaystyle \frac{-1}{56}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm $x={\displaystyle \frac{-1}{56}}$ .

a) ${\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{2x}{x^2+x+1}}$

Ta có: x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1 và $x^3-1\ne 0$ khi $x^3\ne 1$ hay $x\ne 1$

$x^2+x+1=x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$=x^2+2.x.{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

$={\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

Ta có: ${\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2⩾0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên ${\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Do đó:

ĐKXĐ: x ≠ 1

MTC: $(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

$\iff {\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-1}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{2x\left(x-1\right)}{x^3-1}}$

$\Rightarrow x^2+x+1-3x^2=2x\left(x-1\right)$

$\iff -2x^2+x+1=2x^2-2x$

$\iff 0=2x^2-2x+2x^2-x-1$

$\iff 0=4x^2-3x-1$

$\iff 4x^2-3x-1=0$

$\iff 4x^2-4x+x-1=0$

$\iff 4x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(4x+1\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x-1=0\\ 4x+1=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=1\\ 4x=-1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=1\text{( loại)}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

b) ${\displaystyle \frac{3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}}+{\displaystyle \frac{2}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}}={\displaystyle \frac{1}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}}$

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3

MTC: (x-1)(x-2)(x-3)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3(x-3)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}}+{\displaystyle \frac{2(x-2)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}}={\displaystyle \frac{(x-1)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}}$

$\Rightarrow 3\left(x-3\right)+2\left(x-2\right)=x-1$

$\iff 3x-9+2x-4=x-1$

$\iff 5x-13=x-1$

$\iff 5x-x=-1+13$

⇔ 4x = 12

$\iff x=12:4$

⇔ x = 3 (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $1+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}={\displaystyle \frac{12}{8+x^3}}$

Ta có: $8+x^3\ne 0\iff x^3\ne -8\iff x\ne -2$

ĐKXĐ: x ≠ -2

MTC: $8+x^3=(x+2)(x^2-2x+4)$

$\iff {\displaystyle \frac{8+x^3}{8+x^3}}+{\displaystyle \frac{x^2-2x+4}{8+x^3}}={\displaystyle \frac{12}{8+x^3}}$

$\Rightarrow x^3+8+x^2-2x+4=12$

$\iff x^3+x^2-2x=12-8-4$

$\iff x^3+x^2-2x=0$

$\iff x\left(x^2+x-2\right)=0$

$\iff x\left[x^2+2x-x-2\right]=0$

⇔ $x[x(x+2)-(x+2)]=0$

⇔ $x(x+2)(x-1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x+2=0\\ x-1=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\left(\text{ thỏa mãn}\right)\\ x=-2\left(\text{ loại}\right)\\ x=1\left(\text{ thỏa mãn}\right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{0;1\right\}$.

d) ${\displaystyle \frac{13}{\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+7}}={\displaystyle \frac{6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}}$

ĐKXĐ: $(x\ne 3,x\ne -3,x\ne -{\displaystyle \frac{7}{2}}$

MTC: $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(2x+7\right)$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{13(x+3)}{(x+3)\left(x-3\right)\left(2x+7\right)}}+{\displaystyle \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(2x+7)}}={\displaystyle \frac{6(2x+7)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)(2x+7)}}$

$\Rightarrow 13\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x+3\right)=6\left(2x+7\right)$

$\iff 13x+39+x^2-9=12x+42$

$\iff x^2+13x+30=12x+42$

$\iff x^2+13x+30-12x-42=0$

$\iff x^2+x-12=0$

$\iff x^2+4x-3x-12=0$

$\iff x\left(x+4\right)-3\left(x+4\right)=0$

$\iff \left(x-3\right)\left(x+4\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x-3=0\\ x+4=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=3\left(\text{không thỏa mãn}\right)\\ x=-4\left(\text{thỏa mãn}\right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\{-4\}$.

a) ${\displaystyle \frac{1}{x}}+2=\left({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\right)\left(x^2+1\right)$ (1)

ĐKXĐ: $x\ne 0$

(1) $\iff \left({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\right)\left(x^2+1\right)=0$

$\iff \left({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\right)\left(1-x^2-1\right)=0$

$\iff \left({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\right)\left(-x^2\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}}+2=0\\ -x^2=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}}=-2\\ x^2=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\text{thỏa mãn})\\ x=0(\text{loại})\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

b) ${\left(x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2={\left(x-1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2$ (2)

ĐKXĐ: $x\ne 0$

(2) $\iff [\begin{array}{c}x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}=x-1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\\ x+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\left(x-1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x+1+\frac{1}{x}=x-1-\frac{1}{x}\\ x+1+\frac{1}{x}=-x+1+\frac{1}{x}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x+\frac{1}{x}-x+\frac{1}{x}=-1-1\\ x+\frac{1}{x}+x-\frac{1}{x}=1-1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{x}}=-2\\ 2x=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-1(\text{thỏa mãn})\\ x=0\text{ (loại)}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

a) Ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{3a-1}{3a+1}}+{\displaystyle \frac{a-3}{a+3}}=2$;

ĐKXĐ: $a\ne -{\displaystyle \frac{1}{3}},a\ne -3$

Quy đồng hai vế phương trình ta được:

${\displaystyle \frac{\left(3a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(3a+1\right)\left(a+3\right)}}+{\displaystyle \frac{\left(a-3\right)\left(3a+1\right)}{\left(3a+1\right)\left(a+3\right)}}={\displaystyle \frac{2\left(3a+1\right)\left(a+3\right)}{\left(3a+1\right)\left(a+3\right)}}$

Khử mẫu ta được :

$\left(3a-1\right)\left(a+3\right)+\left(a-3\right)\left(3a+1\right)=2\left(3a+1\right)\left(a+3\right)$

⇔ $3a^2+9a-a-3+3a^2-9a+a-3=6a^2+18a+2a+6$

⇔ $6a^2-6=6a^2+20a+6$

$\iff 6a^2-6a^2-20a=6+6$

$\iff -20a=12$

⇔ $(a=12:(-20)$

⇔ $a=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ (thỏa mãn)

Vậy $a=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ thì biểu thức ${\displaystyle \frac{3a-1}{3a+1}}+{\displaystyle \frac{a-3}{a+3}}$ có giá trị bằng 2.

b) Ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{3a-1}{4a+12}}-{\displaystyle \frac{7a+2}{6a+18}}=2$

ĐKXĐ: $a\ne -3$

${\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{3a-1}{4a+12}}-{\displaystyle \frac{7a+2}{6a+18}}=2$

$\iff {\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{3a-1}{4(a+3)}}-{\displaystyle \frac{7a+2}{6(a+3)}}=2$

$\iff {\displaystyle \frac{4.10\left(a+3\right)}{12\left(a+3\right)}}-{\displaystyle \frac{3\left(3a-1\right)}{12\left(a+3\right)}}-{\displaystyle \frac{2\left(7a+2\right)}{12\left(a+3\right)}}={\displaystyle \frac{2.12\left(a+3\right)}{12\left(a+3\right)}}$

Khử mẫu ta được:

$40\left(a+3\right)-3\left(3a-1\right)-2\left(7a+2\right)=24\left(a+3\right)$

⇔ $40a+120-9a+3-14a-4=24a+72$

⇔ $17a+119=24a+72$

$\iff 17a-24a=72-119$

⇔ $-7a=-47$

⇔ $a={\displaystyle \frac{47}{7}}$ (thỏa mãn)

Vậy $a={\displaystyle \frac{47}{7}}$ thì biểu thức ${\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{3a-1}{4a+12}}-{\displaystyle \frac{7a+2}{6a+18}}$ có giá trị bằng 2.

.............................

Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn Giải Toán 8 bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Trong quá trình học môn Toán lớp 8, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã sưu tầm và chọn lọc thêm phần Giải Toán 8 hay Giải Vở BT Toán 8 để giúp các bạn học sinh học tốt hơn.

Ngoài bài tập cơ bản môn Toán lớp 8 chuyên đề này, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm các đề thi học kì 2 môn Toán, môn Ngữ Văn, chuẩn bị tốt kiến thức cho kì thi học kì 2 sắp tới.