Toán 8 Cánh diều bài 3 trang 18, 19, 20, 21, 22, 23
Giải Toán 8 Cánh diều bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Cánh diều tập 1 trang 18, 19, 20, 21, 22, 23 trang 18, 19, 20, 21, 22, 23. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
Khởi động trang 18 Toán 8 Tập 1:
Diện tích của hình vuông MNPQ (Hình 4) có thể được tính theo những cách nào?
Hướng dẫn giải:
Ta đặt tên các điểm A, B, C, D như hình vẽ:
Diện tích của hình vuông MNPQ có thể được tính theo những cách sau:
Cách 1. Tính theo tổng diện tích của 4 hình AMCE, ANDE, BEDP, BECQ.
Cách 2. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: MNDC, CDPQ.
Cách 3. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: ABQM, ABPN.
Cách 4. Tìm độ dài một cạnh của hình vuông MNPQ rồi tính diện tích.
I. Hằng đẳng thức
Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Xét hai biểu thức: P = 2(x+y) và Q = 2x+2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:
a. Tại x = 1; y = - 1.
b. Tại x = 2; y = - 3
Bài giải
a. Tại x = 1; y = - 1
P = 2(1-1) = 0
Q = 2.1-2.1 = 0
=> P = Q
b. Tại x = 2; y = - 3
P = 2(2-3) = -2
Q = 2.2+2.(-3) = -2
=> P = Q
Luyện tập 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh rằng: 
\(x(xy^{2}+y)-y(x^{2}y+x)=0\)
Bài giải
Ta có: \(x(xy^{2}+y)-y(x^{2}y+x)\)
\(= x.xy^{2}+xy-x^{2}y.y-xy\)
\(= x^{2}y^{2}+xy-x^{2}y^{2}-xy = 0 (đpcm)\)
II. Hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng, một hiệu
Hoạt động 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính:
a. (a+b)(a+b)
b. (a-b)(a-b)
Bài giải
\(a. (a+b)(a+b) = a.a+a.b+b.a+b.b = a^{2}+2ab+b^{2}\)
\(b. (a-b)(a-b) = a.a-a.b-b.a+b.b = a^{2}-2ab+b^{2}\)
Luyện tập 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
\(a. (x+\frac{1}{2})^{2}\)
\(b. (2x+y)^{2}\)
\(c. (3-x)^{2}\)
\(d. (x-4y)^{2}\)
Bài giải
\(a. (x+\frac{1}{2})^{2} = x^{2}+2.\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^{2}\)
\(= x^{2}+x+\frac{1}{4}\)
\(b. (2x+y)^{2} = (2x)^{2}+2.2x.y+y^{2}\)
\(= 4x^{2}+4xy+y^{2}\)
\(c. (3-x)^{2} = 3^{2}-2.3.x+x^{2}\)
\(= 3^{2}-6x+x^{2}\)
\(d. (x-4y)^{2} = x^{2}-2.x.4y+(4y)^{2}\)
\(= x^{2}-8xy+16y^{2}\)
Luyện tập 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
\(a. y^{2}+y+\frac{1}{4}\)
\(b. y^{2}+49-14y\)
Bài giải
\(a. y^{2}+y+\frac{1}{4} = y^{2}+2.y.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}\)
\(= (y+\frac{1}{2})^{2}\)
\(b. y^{2}+49-14y = y^{2}-14y+49\)
\(= y^{2}-2.y.7+7^{2} = (y-7)^{2}\)
Luyện tập 4 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh \(49^{2}\)
Bài giải
\(49^{2}= (50-1)^{2}\)
\(= 50^{2}-2.50.1+1^{2}\)
\(= 2 500 - 100+ 1 = 2401\)
Luyện tập 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng tích:
\(a. 9x^{2}-16\)
\(b. 25-16y^{2}\)
Bài giải
\(a. 9x^{2}-16 = (3x)^{2}-4^{2}\)
\(= (3x-4)(3x+4)\)
\(b. 25-16y^{2} = 5^{2}-(4y)^{2}\)
\(= (5-4y)(5+4y)\)
Luyện tập 6 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
\(a. (a-3b) (a+3b)\)
\(b. (2x-5) (2x+5)\)
\(c. (4y-1) (4y+1)\)
Bài giải
\(a. (a-3b) (a+3b) = a^{2}-(3b)^{2} = a^{2}-9b^{2}\)
\(b. (2x-5) (2x+5) = (2x)^{2}-5^{2} = 4x^{2}-25\)
\(c. (4y-1) (4y+1) = (4y)^{2}-1^{2} = 16y^{2}-1\)
Luyện tập 7 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh 48.52
Bài giải
\(48 . 52 = (50-2)(50+2) = 50^{2}-2^{2} = 2 500 - 4 = 2496\)
3. Lập phương của một tổng, một hiệu
Hoạt động 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là 2 số thực bát kì, thực hiện phép tính:
\(a. (a+b)(a+b)^{2}.\)
\(b. (a-b)(a-b)^{2}.\)
Bài giải
\(a. (a+b)(a+b)^{2}\)
\(= (a+b)(a^{2}+2ab+b^{2})\)
\(= a.a^{2}+2.a.ab+a.b^{2}+b.a^{2}+b.2ab+b.b^{2}\)
\(= a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}\)
\(= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\(b. (a-b)(a-b)^{2}\)
\(= (a-b)(a^{2}-2ab+b^{2})\)
\(= a.a^{2}-2.a.ab+a.b^{2}-b.a^{2}+b.2ab-b.b^{2}\)
\(= a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b+2ab^{2}-b^{3}\)
\(= a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)
Luyện tập 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
\(a. (3+x)^{3}\)
\(b. (a+2b)^{3}\)
\(c. (2x-y)^{3}\)
Bài giải
\(a. (3+x)^{3}\)
\(= 3^{3}+3.3^{2}x+3.3.x^{2}+x^{3}\)
\(= x^{3}+9x^{2}+27x+27\)
\(b. (a+2b)^{3}\)
\(= a^{3}+3.a^{2}.2b+3.a.(2b)^{2}+(2b)^{3}\)
\(= a^{3}+6a^{2}b+12ab^{2}+8b^{3}\)
\(c. (2x-y)^{3}\)
\(=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.y+3.2x.y^{2}-b^{3}\)
\(= 8x^{3}-3.4x^{2}.y+6x.y^{2}-b^{3}\)
\(= 8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-b^{3}\)
Luyện tập 9 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: \(8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}\)
Bài giải
\(8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}\)
\(= (2x)^{3}-3.(2x)^{2}.3y+3.2x.(3y)^{2}-(3y)^{3}\)
\(= (2x-3y)^{3}\)
Luyện tập 10 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh: \(101^{3}-3.101^{2}+3.101-1\)
Bài giải
\(101^{3}-3.101^{2}+3.101-1\)
\(= 101^{3}-3.101^{2}.1+3.101.1^{2}-1^{3}\)
\(= (101-1)^{3} = 100^{3}\)
= 1 000 000
4. Tổng, hiệu hai lập phương
Hoạt động 5 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:
\(a. (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).\)
\(b. (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\)
Bài giải
\(a. (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)
\(= a.a^{2}-a.ab+a.b^{2}+b.a^{2}-b.ab+b^{3}\)
\(= a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\)
\(= a^{3}+b^{3}\)
\(b. (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
\(= a.a^{2}+a.ab+a.b^{2}-b.a^{2}-b.ab-b^{3}\)
\(= a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\)
\(= a^{3}-b^{3}\)
Luyện tập 11 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
\(a. 27x^{3}+1\)
\(b. 64-8y^{3}\)
Bài giải
Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
\(a. 27x^{3}+1 = (3x)^{3}+1^{3}=(3x+1)((3x)^{2}-3x.1+1^{2})\)
\(=(3x+1)(9x^{2}-3x+1)\)
\(b. 64-8y^{3} = 4^{3}-8y^{3}\)
\(= (4-8y)(4^{2}+4.8y+(8y)^{2}) = (4-8y)(16+32y+64y^{2})\)
III. Bài tập
Bài tập 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
\(a. 4x^{2}+28x+49\)
\(b. 4a^{2}+20ab+25b^{2}\)
\(c. 16^{2}-8y+1\)
\(d. 9x^{2}-6xy+y^{2}\)
Bài giải
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
\(a. 4x^{2}+28x+49 = (2x)^{2}+2.2x.7+7^{2} = (2x+7)^{2}\)
\(b. 4a^{2}+20ab+25b^{2} = (2a)^{2}+2.2a.5b+(5b)^{2}=(2a+5b)^{2}\)
\(c. 16^{2}-8y+1 = (4y)^{2}-2.4y.1+1^{2}=(4y-1)^{2}\)
\(d. 9x^{2}-6xy+y^{2} = (3x)^{2}-2.3x.y+y^{2}=(3x-y)^{2}\)
Bài tập 2 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu
\(a. a^{3}+12a^{2}+48a+64\)
\(b. 27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}\)
\(c. x^{3}-9x^{2}y+27x-27\)
\(d. 8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}\)
Bài giải
\(a. a^{3}+12a^{2}+48a+64\)
\(= a^{3}+3.a^{2}.4+3.a.4^{2}+4^{3}\)
\(= (a+4)^{3}\)
\(b. 27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}\)
\(= (3x)^{3}+3.(3x)^{2}.2y+3.3x.(2y)^{2}+(2y)^{3}\)
\(= (3x+2y)^{3}\)
\(c. x^{3}-9x^{2}y+27x-27\)
\(= x^{3}-3.x^{2}.3+3.x.3^{2}+3^{3}\)
\(= (x-3)^{3}\)
\(d. 8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}\)
\(= (2a)^{3}-3.(2a)^{2}b+3.2a.b^{2}-b^{3}\)
\(= (2a-b)^{3}\)
Bài tập 3 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
\(a. 25x^{2}-16\)
\(b. 16a^{2}-9b^{2}\)
\(c. 8x^{3}+1\)
\(d. 125x^{3}+27y^{3}\)
\(e. 8x^{3}-125\)
\(g. 27x^{3}-y^{3}\)
Bài giải
\(a. 25x^{2}-16\)
\(=(5x)^{2}-4^{2}\)
\(=(5x-4)(5x+4)\)
\(b. 16a^{2}-9b^{2}\)
\(= (4a)^{2}-(3b)^{2}\)
\(= (4a-3b)(4a+3b)\)
\(c. 8x^{3}+1\)
\(= (2x)^{3}+1^{3}\)
\(= (2x+1)((2x)^{2}-2x.1+1^{2})\)
\(= (2x+1)(4x^{2}-2x+1)\)
\(d. 125x^{3}+27y^{3}\)
\(= (5x)^{3}+(3y)^{3}\)
\(= (5x+3y)((5x)^{2}-5x.3y+(3y)^{2})\)
\(= (5x+3y)(25x^{2}-15xy+9y^{2})\)
\(e. 8x^{3}-125\)
\(= (2x)^{3}-5^{3}\)
\(=(2x-5)((2x)^{2}+2x.5+5^{2})\)
\(=(2x-5)(4x^{2}+10x+25)\)
\(g. 27x^{3}-y^{3}\)
\(= (3x)^{3}-y^{3}\)
\(= (3x-y)((3x)^{2}+3x.y+y^{2})\)
\(= (3x-y)(9x^{2}+3xy+y^{2})\)
Bài tập 4 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của mỗi biểu thức:
\(a. A = x^{2}+6x+10\). tại x = -103
\(b. B = x^{3}+6x^{2}+12x+12\) tại x = 8
Bài giải
\(a. A = x^{2}+6x+10 = x^{2}+2.x.3+3^{2}+1=(x+3)^{2}+1\)
Tại x = -103 thì \(A = (x+3)^{2}+1 = (-103+3)^{2}+1 = (-100)^{2}+1 = 10 001\)
\(b. B = x^{3}+6x^{2}+12x+12 = x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3}+4=(x+2)^{3}+4\)
Tại x = 8 thì \(B = (x+2)^{3}+4 = (8+2)^{3}+4 = 1 004\)
Bài tập 5 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
\(a. C= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)\)
\(b. D = (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)\)
\(c. E = (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)\)
\(d. G = (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)\)
Bài giải
a.
\(C= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)\)
\(= (3x-1)^{2}+(3x+1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)\)
\(=(3x-1)^{2}-2(3x-1)(3x+1)+(3x+1)^{2}\)
\(= (3x-1-3x-1)^{2}\)
\(= (-2)^{2}\)
=4.
Giá trị của biểu thức C luôn luôn bằng 4 với mọi x
b.
\(D = (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)\)
\(= (x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)\)
\(= (x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3})-(x^{3}-3.x^{2}.2+3.x.2^{2}-2^{3})-12x^{2}-12\)
\(= x^{3}+6x^{2}+12.x+2^{3}-x^{3}+6x^{2}-12x+8-12x^{2}-12=-4\)
Giá trị của biểu thức D luôn luôn bằng -4 với mọi x
c.
\(E = (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)\)
\(= (x+3)(x^{2}-3x+9)-(x-2)(x^{2}+2x+4)\)
\(= (x.x^{2}-x.3x+9x+3x^{2}-9x+27)-(x.x^{2}+x.2x+4x-2x^{2}-2.2x-2.4)\)
\(= (x^{3}-3x^{2}+9x+3x^{2}-9x+27)-(x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8)\)
\(=(x^{3}+27)-(x^{3}-8)\)
\(= x^{3}+27-x^{3}+8\)
= 35
Giá trị của biểu thức E luôn luôn bằng 35 với mọi x
d.
\(G = (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)\)
\(= (2x-1)(4x^{2}+2x+1)-8(x+2)(x^{2}-2x+4)\)
\(=(8x^{3}+4x^{2}+2x-4.x^{2}-2x-1)-(8x^{3}-16x^{2}+32x+16x^{2}-32x+64)\)
\(=(8x^{3}-1)-(8x^{3}+64)\)
\(=8x^{3}-1-8x^{3}-64\)
= 65.
Giá trị của biểu thức G luôn luôn bằng -65 với mọi x
Bài tập 6 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh: \((0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24\)
Bài giải
\((0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24\)
\(= (0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24\)
\(= (1-0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.(1-0,24).0,24\)
\(= 1-3.1.0,24+3.1.0,24^{2}-(0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,24-3.(0,24)^{2}\)
= 1
