Toán 8 Bài 6: Hình thoi

Bài 1 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1

Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi.

Hướng dẫn giải

ABCD là hình bình hành nên:

AD = BC; AB = DC (1)

Xét 2 tam giác ADC và CBA có:

• AC chung
• Kết hợp với (1)

=> 2 tam giác ADC và CBA bằng nhau (c-c-c)=> 2 góc tương ứng $\widehat{DCA}=\widehat{BAC}$ (2)

Mà AC là tia phân giác của góc DAB => $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$. Kết hợp với (2) => $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}$

=> Tam giác DAC cân tại D => DA = DC. Kết hợp với (1) => AD = BC = AB = DC => ABCD có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài 2 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh: $A{C}^2+B{D}^2=4(O{A}^2+O{B}^2)=4A{B}^2$

Hướng dẫn giải

ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => OA = OC, OB = OD.

$=>A{C}^2+B{D}^2=(OA+OC{)}^2+(OB+OD{)}^2=(2OA{)}^2+(2OB{)}^2$

= $4O{A}^2+4O{B}^2=4(O{A}^2+O{B}^2)$ (1)

Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$ (2)

Từ (1) và (2) => $A{C}^2+B{D}^2=4(O{A}^2+O{B}^2)=4A{B}^2$ (đpcm)

Bài 3 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{CDB}={40}^{\circ }$. Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.

Hướng dẫn giải

ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc D => $\hat{D}=2.\widehat{CDB}$= $2.{40}^{\circ }={80}^{\circ }$

ABCD là hình thoi nên nó cũng là một hình bình hành. Suy ra:

$\hat{D}=\hat{B}={80}^{\circ }$ (2 góc đối nhau)

$\hat{A}=\hat{C}=\frac{1}{2}({360}^{\circ }-\hat{D}-\hat{B})=\frac{1}{2}({360}^{\circ }-{80}^{\circ }-{80}^{\circ })={100}^{\circ }$ (2 góc đối nhau)

Bài 4 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1

Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hướng dẫn giải

Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là:

$\sqrt{{\left(\frac{1}{2}.45\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}.90\right)}^2}=50,3$ (mm)

Bài 6 trang 115 Toán 8 Cánh diều tập 1

Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có AB = BC (2 cạnh của hình thoi) nên là tam giác cân tại B. Lại có góc B = ${60}^{\circ }$ nên ABC là tam giác đều => AC = 40cm.

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Khi đó: OA = $\frac{1}{2}$AC = 20cm.

Trong tam giác AOB có OB = $\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{{40}^2-{20}^2}=34,6$ cm

Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2}.OB.AC=\frac{1}{2}.34,6.40=692$ $c{m}^2$

=> Diện tích viên gạch có dạng hình thoi như trên sẽ là: 2. 692 = 1 384$c{m}^2$