Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 1 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Hướng dẫn giải

AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)

Mà CD = BC - BD

Suy ra: \(\frac{BD}{BC-BD}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}\)

Do đó: BD = 2.

BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}\)

Mà AE = AC - CE

Suy ra: \(\frac{CE}{AC-CE}=\frac{BC}{AB}\) hay \(\frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}\)

Do đó: CE = \(\frac{10}{3}\).

CF là đường phân giác của góc ACB nên \(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}\)

Mà BF = AB - AF

Suy ra: \(\frac{AF}{AB-AF}=\frac{AC}{BC}\) hay \(\frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}\)

Do đó: AF = \(\frac{24}{11}\).

Bài 2 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh \(\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}\).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có BE là đường phân giác nên \(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AB}\)

Mà M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến) nên BC = 2BM

Suy ra: \(\frac{EC}{EA}=2\frac{BM}{AB}\) (1)

Tam giác ABM có BD là đường phân giác nên \(\frac{DM}{DA}=\frac{BM}{AB}\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}\).

Bài 3 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Quan sát Hình 43 và chứng minh \(\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}\).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Tam giác ABG có AE là đường phân giác nên \(\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}\)

Do đó: \(\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}\).

Bài 4 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O.

Vì ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường cao nên AO cũng là đường phân giác của góc BAD.

Tam giác AMD có AN là đường phân giác của góc MAD nên \(\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{AM}\) (1)

Ta có: AM = \(\frac{1}{3}\)AB mà AD = AB

Suy ra: AM = \(\frac{1}{3}\)AD. (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AD}\) hay \(\frac{ND}{MN}=3\).

Do đó: ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông tại A: \(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\)

Suy ra: BC = \(\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}\) = 5

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà DC = BC - DB

Nên \(\frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}\)

Do đó: DB = \(\frac{15}{7}\); DC = 5 - \(\frac{15}{7}\) = \(\frac{20}{7}\)

b) Từ D kẻ đường thẳng DE vuông góc với AC. DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)

Suy ra: \(\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\) hay \(\frac{DE}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}\)

Do đó: DE = \(\frac{12}{7}\).

c) Vì DE // AB nên \(\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{AC}\) hay \(\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{AE}{4}\)

Suy ra: AE = \(\frac{12}{7}\).

Tam giác ADE vuông tại E: \(AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}\).

Bài 6 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45). Chứng minh AD.BC = AC.BD.

Hướng dẫn giải

Tam giác ACD có AE là đường phân giác của góc CAD.

Suy ra: \(\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AC}\) (1)

Tam giác BCD có BE là đường phân giác của góc CBD.

Suy ra: \(\frac{DE}{EC}=\frac{BD}{BC}\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}\) hay AD.BC = AC.BD.