Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Hoạt động 1 trang 66 Toán 8 Tập 2:

Trong Hình 38, tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC. Giả sử mỗi ô vuông của lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.

c) So sánh các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}},\,\,\frac{{AB}}{{AC}}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy mỗi ô vuông có độ dài cạnh bằng 1cm.

Đoạn thẳng BD có độ dài bằng độ dài cạnh của 2 ô vuông nên BD dài 2 cm.

Đoạn thẳng DC có độ dài bằng độ dài cạnh của 3 ô vuông nên BD dài 3 cm.

b) Ta thấy AB là bán kính đường tròn tâm B. Mà bán kính đường tròn tâm B có độ dài 4 ô vuông, tương ứng với 4 cm nên AB dài 4 cm.

Ta thấy AC là bán kính đường tròn tâm C. Mà bán kính đường tròn tâm C có độ dài 6 ô vuông, tương ứng với 6 cm nên AB dài 6 cm.

c) Ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vậy \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Luyện tập 1 trang 67 Toán 8 Tập 2

Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

Bài toán: Hình 37 minh họa một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức \(\frac{CM}{CN} = \frac{AM}{AN}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên góc DAC bằng góc CAB.

Hay góc NAC bằng góc MAC.

Suy ra: AC là đường phân giác của góc MAN.

Theo định lí đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{CM}{CN} = \frac{AM}{AN}\)

Luyện tập 2 trang 67 Toán 8 Tập 2

Cho tam giác ABC có \(AB < AC\), AD là đường phân giác. Chứng minh \(DB < DC\).

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\)

Mà \(AB < AC\)\(\Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} < 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} < 1 \Rightarrow DB < DC\).

Luyện tập 3 trang 68 Toán 8 Tập 2

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh \(\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = 1\)

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF, ta có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}};\,\,\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{EC}}{{EA}};\,\,\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{FA}}{{FB}}\) (Tính chất đường phân giác)

\(\Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\frac{{BC}}{{BA}}.\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AB.BC.CA}}{{CA.AB.BC}} = 1\) (đpcm).

Luyện tập 4 trang 68 Toán 8 Tập 2

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn giải:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại K.

Vì \(BK//AC\) nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có: \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{BK}}{{AC}}\)

Mà \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) nên \(\frac{{BK}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = BK\)

Khi đó tam giác ABK cân tại B nên \(\widehat {BAK} = \widehat {BKA}\)

Mà \(BK//AC\) nên \(\widehat {BKA} = \widehat {KAC}\)

\(\Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {KAC}\)

Vậy AD là đường phân giác trong tam giác ABC.

Bài 1 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Hướng dẫn giải

AD là đường phân giác của góc BAC nên \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)

Mà CD = BC - BD

Suy ra: \(\frac{BD}{BC-BD}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}\)

Do đó: BD = 2.

BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AB}\)

Mà AE = AC - CE

Suy ra: \(\frac{CE}{AC-CE}=\frac{BC}{AB}\) hay \(\frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}\)

Do đó: CE = \(\frac{10}{3}\).

CF là đường phân giác của góc ACB nên \(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}\)

Mà BF = AB - AF

Suy ra: \(\frac{AF}{AB-AF}=\frac{AC}{BC}\) hay \(\frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}\)

Do đó: AF = \(\frac{24}{11}\).

Bài 2 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh \(\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}\).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có BE là đường phân giác nên \(\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AB}\)

Mà M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến) nên BC = 2BM

Suy ra: \(\frac{EC}{EA}=2\frac{BM}{AB}\) (1)

Tam giác ABM có BD là đường phân giác nên \(\frac{DM}{DA}=\frac{BM}{AB}\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}\).

Bài 3 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Quan sát Hình 43 và chứng minh \(\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}\).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Tam giác ABG có AE là đường phân giác nên \(\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}\)

Do đó: \(\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}\).

Bài 4 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm hai đường chéo AC và BD là O.

Vì ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường cao nên AO cũng là đường phân giác của góc BAD.

Tam giác AMD có AN là đường phân giác của góc MAD nên \(\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{AM}\) (1)

Ta có: AM = \(\frac{1}{3}\)AB mà AD = AB

Suy ra: AM = \(\frac{1}{3}\)AD. (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{ND}{MN}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AD}\) hay \(\frac{ND}{MN}=3\).

Do đó: ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông tại A: \(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\)

Suy ra: BC = \(\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}\) = 5

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà DC = BC - DB

Nên \(\frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}\)

Do đó: DB = \(\frac{15}{7}\); DC = 5 - \(\frac{15}{7}\) = \(\frac{20}{7}\)

b) Từ D kẻ đường thẳng DE vuông góc với AC. DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: DE // AB (cùng vuông góc với AC)

Suy ra: \(\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}\) hay \(\frac{DE}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}\)

Do đó: DE = \(\frac{12}{7}\).

c) Vì DE // AB nên \(\frac{BD}{BC}=\frac{AE}{AC}\) hay \(\frac{\frac{15}{7}}{5}=\frac{AE}{4}\)

Suy ra: AE = \(\frac{12}{7}\).

Tam giác ADE vuông tại E: \(AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}\).

Bài 6 trang 69 Toán 8 Tập 2 Cánh diều

Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45). Chứng minh AD.BC = AC.BD.

Hướng dẫn giải

Tam giác ACD có AE là đường phân giác của góc CAD.

Suy ra: \(\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{AC}\) (1)

Tam giác BCD có BE là đường phân giác của góc CBD.

Suy ra: \(\frac{DE}{EC}=\frac{BD}{BC}\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}\) hay AD.BC = AC.BD.