Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 1 trang 111 Toán 8 Cánh diều

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat{A} = 90^{\circ}\). Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

ABCD là hình thang cân và AB//CD nên:

• 2 góc kề đáy AB là \(\widehat{A} = \widehat{B}=90^{\circ}\)⇒ \(\widehat{C} + \widehat{D}=360^{\circ} -(\widehat{A} + \widehat{B})=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ})=180^{\circ}\)
• 2 góc kề đáy CD là \(\widehat{C} = \widehat{D}\) \(\widehat{C} = \widehat{D}=\frac{1}{2} .180^{0} =90^{0}\)

=> Tứ giác ABCD có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 2 trang 111 Toán 8 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm cúa cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật và AM = \(\frac{1}{2}\) BC

Hướng dẫn giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA=> M là trung điểm của AD. Tứ giác ABCD có 2 đường chéo là AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)

=> 2 đường chéo AD = BC. Mà AM = \(\frac{1}{2}\) AD nên AM = \(\frac{1}{2}\) BC (đpcm )

Bài 3 trang 111 Toán 8 Cánh diều

Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho \(\widehat{AEB}\) = \(78^{\circ}\), \(\widehat{EBC}\) = \(39^{\circ}\). Tính số đo của \(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{EAB}\).

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác EBC có:

\(\widehat{BEC}\)=\(180^{\circ}\)- (\(\widehat{EBC}\)+\(\widehat{BCE}\)) =\(180^{\circ}\)- (\(39^{\circ}\)+\(90^{\circ}\))=\(51^{\circ}\). \(\widehat{ABE}\)=\(\widehat{ABC}\)-\(\widehat{EBC}\)=\(90^{\circ}\)-\(39^{\circ}\)=\(51^{\circ}\)

Trong tam giác ABE có:

\(\widehat{EAB}\)=\(180^{\circ}\)- (\(\widehat{ABE}\)+\(\widehat{AEB}\)) =\(180^{\circ}\)- (\(51^{\circ}\)+\(78^{\circ}\))=

Bài 4 trang 111 Toán 8 Cánh diều

Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông, AB = 400 m, AD = 300 m. Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình 52). Tính khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D.

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABCD có 3 góc A, B, D là góc vuông nên góc C còn lại cũng là góc vuông. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Suy ra:

CB = AD = 300m. Khoảng cách từ C đến B là 300m.

CD = AB = 400m. Khoảng cách từ C đến D là 400m.

Xét tam giác vuông ADC có:

\(AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{300^{2}+400^{2}}=500\). vậy khoảng cách từ C đến A là 500m.

Bài 5 trang 111 Toán 8 Cánh diều

Bạn Linh có một mảnh giấy dạng hình tròn. Bạn Linh đố bạn Bình: Làm thế nào có thể chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật? Bạn Bình đã làm như sau:

Bước 1: Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Sau đó lại gấp tương tự mảnh giấy đó nhưng theo đường kính mới và đánh dấu hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật (Hình 53).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Bình.

Hướng dẫn giải:

Giải thích: Khi gấp như thế thì giao điểm của 2 đường gấp chính là trọng tâm của hình tròn. Khi đó khoảng cách từ giao điểm đó đến các vị trí đầu mút là bằng nhau. Như vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau (đường kính của hình tròn) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.