Toán 8 Cánh diều bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số
Giải Toán 8 Cánh diều bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số hướng dẫn giải các bài tập trong SGK Toán 8 Cánh diều, giúp các em nắm vững kiến thức được học trong bài, luyện giải Toán 8 hiệu quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.
Giải Toán 8 Phép nhân, phép chia phân thức đại số Cánh diều
Khởi động trang 44 Toán 8 Tập 1:
Ở lớp 6, ta đã biết cách nhân, chia các phân số. Làm thế nào để nhân, chia được các phân thức đại số?
Bài giải
Để nhân, chia được các phân thức đại số ta thực hiện như nhân chia các phân số.
I. Phép nhân phân thức đại số
Hoạt động 1 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Nêu quy tắc nhân hai phân số
Bài giải
Quy tắc nhân hai phân số: nhân các tử số với nhau, nhân các mẫu số với nhau.
Luyện tập 1 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Thực hiện phép tính:
\(a. \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2x+1}.\frac{x-1}{x^{2}-x+1}\)
\(b. (x^{2}-4x+4).\frac{2}{3x^{2}-6x}\)
Bài giải
\(a. \frac{x^{3}+1}{x^{2}-2x+1}.\frac{x-1}{x^{2}-x+1} = \frac{(x^{3}+1)(x-1)}{(x^{2}-2x+1)(x^{2}-x+1)}\)
\(=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}(x^{2}-x+1)}=\frac{x+1}{x-1}\)
\(b. (x^{2}-4x+4).\frac{2}{3x^{2}-6x} = \frac{2(x^{2}-4x+4)}{3x^{2}-6x}\)
\(=\frac{2x^{2}-8x+8}{3x^{2}-6x}=\frac{2(x^{2}-4x+2^{2})}{3x(x-2)}\)
\(=\frac{2(x-2)^{2}}{3x(x-2)}=\frac{2(x-2)}{3x}\)
Hoạt động 2 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Hãy nêu các tính chất của phép nhân phân số.
Bài giải
Các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối đối với phép cộng
Luyện tập 2 trang 45 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Tính một cách hợp lí:
\(a. \frac{y+6}{x^{2}-4x+4}.\frac{x^{2}-4}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}\)
\(b. \left ( \frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{x^{2}-8x+16}\right ).\frac{x-4}{2x+1}\)
Bài giải
\(a. \frac{y+6}{x^{2}-4x+4}.\frac{x^{2}-4}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}\)
\(= (\frac{y+6}{(x-2)^{2}}.\frac{x-2}{y+6}).\frac{x^{2}-4}{x+1}\)
\(= \frac{1}{x-2}.\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}=\frac{x+2}{x+1}\)
\(b. \left ( \frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{x^{2}-8x+16}\right ).\frac{x-4}{2x+1}\)
\(= \frac{1}{x-4}.\frac{x-4}{2x+1}+\frac{2x+1}{x^{2}-8x+16}.\frac{x-4}{2x+1}\)
\(= \frac{1}{2x+1}+\frac{x-4}{(x-4)^{2}}\)
\(= \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{x-4}\)
\(= \frac{x-4+2x+1}{(2x+1)(x-4)}\)
\(= \frac{3x-3}{2x^{2}-8x+x-4}\)
\(= \frac{3x-3}{2x^{2}-7x-4}\)
II. Phép chia các phân thức đại số
Hoạt động 3 trang 46 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Nêu quy tắc chia hai phân số.
Bài giải
Quy tắc chia hai phân số: muốn chia phân số a cho phân số b (≠0) ta lấy phân số a nhân vói nghịch đảo của phân số b.
Luyện tập 3 trang 46 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Thực hiện phép tính
\(a. \frac{x+y}{y-x}:\frac{x^{2}+xy}{3x^{2}-3y^{2}}\)
\(b. \frac{x^{3}+y^{3}}{x-y}:(x^{2}-xy+y^{2})\)
Bài giải
\(a. \frac{x+y}{y-x}:\frac{x^{2}+xy}{3x^{2}-3y^{2}}\)
\(= \frac{x+y}{y-x}.\frac{3x^{2}-3y^{2}}{x^{2}+xy}\)
\(=\frac{x+y}{y-x}.\frac{3(x-y)(x+y)}{x(x+y)}\)
\(=\frac{3(x-y)(x+y)}{x(y-x)}=\frac{-3(y-x)(x+y)}{x(y-x)}\)
\(=\frac{-3(x+y)}{x}\)
\(b. \frac{x^{3}+y^{3}}{x-y}:(x^{2}-xy+y^{2})\)
\(= \frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}{x-y}.\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}=\frac{x+y}{x-y}\)
III. Bài tập
Bài tập 1 trang 47 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Thực hiện phép tính:
\(a. \frac{3x+6}{4x-8}.\frac{2x-4}{x+2}\)
\(b. \frac{x^{2}-36}{2x+10}.\frac{x+5}{6-x}\)
\(c. \frac{1-y^{3}}{y+1}.\frac{5y+5}{y^{2}+y+1}\)
\(d. \frac{x+2y}{4x^{2}-4xy+y^{2}}.(2x-y)\)
Bài giải
\(a. \frac{3x+6}{4x-8}.\frac{2x-4}{x+2} = \frac{3(x+2)}{2(2x-4)}.\frac{2x-4}{x+2}=\frac{3}{2}\)
\(b. \frac{x^{2}-36}{2x+10}.\frac{x+5}{6-x} = \frac{-(36-x^{2})}{2x+10}.\frac{x+5}{6-x}\)
\(=\frac{-(6-x)(6+x)}{2(x+5)}.\frac{x+5}{6-x}=\frac{-(6+x)}{2}\)
\(c. \frac{1-y^{3}}{y+1}.\frac{5y+5}{y^{2}+y+1} = \frac{(1-y)(1+y+y^{2}).5(y+1)}{(y+1).(y^{2}+y+1)}\)
\(=(1-y).5=5-5y\)
\(d. \frac{x+2y}{4x^{2}-4xy+y^{2}}.(2x-y) = \frac{(x+2y)(2x-y)}{(2x-y)^{2}}=\frac{x+2y}{2x-y}\)
Bài tập 2 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Thực hiện phép tính:
\(a. \frac{20x}{3y^{2}}:\left ( -\frac{15x^{2}}{6y} \right )\)
\(b. \frac{9x^{2}-y^{2}}{x+y}:\frac{3x+y}{2x+2y}\)
\(c. \frac{x^{3}+y^{3}}{y-x}:\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}\)
\(d. \frac{9-x^{2}}{x}:(x-3)\)
Bài giải
\(a. \frac{20x}{3y^{2}}:\left ( -\frac{15x^{2}}{6y} \right ) = (-1).\frac{20x}{3y^{2}}.\frac{6y}{15x^{2}}=-\frac{8}{3xy}\)
\(b. \frac{9x^{2}-y^{2}}{x+y}:\frac{3x+y}{2x+2y} = \frac{(3x-y)(3x+y)}{x+y}.\frac{2(x+y)}{3x+y}\)
\(=2(3x-y)=6x-2y\)
\(c. \frac{x^{3}+y^{3}}{y-x}:\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}\)
\(= \frac{(x+3)(x^{2}-xy+y^{2})}{y-x}.\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}}\)
\(= \frac{(x+3)(x-y)^{2}}{y-x}=\frac{(x+3)(x-y)^{2}}{(-1)(x-y)}\)
\(=-(x+3)(x-y)=-x^{2}+xy-3x+3y\)
\(d. \frac{9-x^{2}}{x}:(x-3) = \frac{(3-x)(3+x)}{x}.\frac{1}{x-3}=\frac{3+x}{x}\)
Bài tập 3 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Tính một cách hợp lí:
\(a. \frac{x^{2}-49}{x^{2}+5}.\left ( \frac{x^{2}+5}{x-7}-\frac{x^{2}+5}{x+7} \right )\)
\(b. \frac{19x+8}{x+1975}.\frac{2000-x}{x+1945}+\frac{19x+8}{x+1975}.\frac{2x-25}{x+1945}\)
Bài giải
\(a. \frac{x^{2}-49}{x^{2}+5}.\left ( \frac{x^{2}+5}{x-7}-\frac{x^{2}+5}{x+7} \right )\)
\(= \frac{x^{2}-49}{x^{2}+5}.\frac{x^{2}+5}{x-7}-\frac{x^{2}-49}{x^{2}+5}.\frac{x^{2}+5}{x+7}\)
\(=\frac{(x-7)(x+7)}{x^{2}+5}.\frac{x^{2}+5}{x-7}-\frac{(x-7)(x+7)}{x^{2}+5}.\frac{x^{2}+5}{x+7}\)
\(=(x+7)-(x-7)=14\)
\(b. \frac{19x+8}{x+1975}.\frac{2000-x}{x+1945}+\frac{19x+8}{x+1975}.\frac{2x-25}{x+1945}\)
\(= \frac{19x+8}{x+1975}\left ( \frac{2000-x}{x+1945}+ \frac{2x-25}{x+1945}\right )\)
\(= \frac{19x+8}{x+1975}.\frac{2000-x+2x-25}{x+1945}\)
\(=\frac{19x+8}{x+1975}.\frac{1975+x}{x+1945}=\frac{19x+8}{x+1945}\)
Bài tập 4 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
\(a. A = \left ( \frac{x}{xy-y^{2}}+\frac{2x-y}{xy-x^{2}} \right ).\frac{x^{2}y-xy^{2}}{(x-y)^{2}}\)
\(b. B = \left ( \frac{1}{x^{2}+4x+4}-\frac{1}{x^{2}-4x+4} \right ):\left ( \frac{1}{x+2} +\frac{1}{x-2}\right ).(x^{2}-4)\)
Bài giải
\(a. A = \left ( \frac{x}{xy-y^{2}}+\frac{2x-y}{xy-x^{2}} \right ).\frac{x^{2}y-xy^{2}}{(x-y)^{2}}\)
\(= \left ( \frac{x.x}{y(x-y).x}-\frac{(2x-y).y}{x(x-y)y} \right ).\frac{xy}{x-y}\)
\(= \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{y(x-y).x}.\frac{xy}{x-y}\)
\(= \frac{(x-y)^{2}.xy}{(x-y)^{2}.xy}=1\)
Vậy giá trị của A luôn =1 với mọi biến x,y.
\(b. B= \left ( \frac{1}{x^{2}+4x+4}-\frac{1}{x^{2}-4x+4} \right ):\left ( \frac{1}{x+2} +\frac{1}{x-2}\right ).(x^{2}-4)\)
\(= \left (\frac{x^{2}-4x+4}{(x+2)^{2}.(x-2)^{2}}-\frac{x^{2}+4x+4}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}} \right ):\left ( \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}+ \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}\right ).(x^{2}-4)\)
\(= \left ( -\frac{8x}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}} \right ):\left ( \frac{2x}{(x+2)(x-2)} \right ).(x-2)(x+2)\)
\(= -\frac{8x.(x+2)(x-2)}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}.2x}.(x-2)(x+2)= - 4\)
Vậy giá trị của B luôn = - 4 với mọi biến x,y
Bài tập 5 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo dự định. Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;
b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;
c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.
Bài giải
a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;
b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;
c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.
Bài tập 6 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD:
Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x-1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:
a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B;
b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A;
c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.
Bài giải
a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B: \(v_{1}=\frac{160}{x}\)
b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A: \(v_{2}=\frac{160}{x-1}\)
c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A:
\(\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{160}{x}:\frac{160}{x-1}=\frac{x-1}{x}\)
