Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 1 trang 57 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho tam giác ABC có AB = 4,5 cm, AC = 6 cm. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC thỏa mãn AM = 3 cm và MN // BC. Tính độ dài đoạn thẳng AN.

Hướng dẫn giải

Vì MN // BC nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\) hay \(\frac{3}{4,5}=\frac{AN}{6}\)

Suy ra: AN = 4.

Bài 2 trang 57 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho hình thang ABCD (AB //CD) có AB = 4cm, CD = 6 cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a) Chứng minh \(\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}\);

b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ACD có MP // CD: \(\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}\) (1)

Tam giác ABC có PN // AB: \(\frac{BN}{NC}=\frac{AP}{PC}\) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}\).

b) Ta có: MD = 2MA nên \(\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}\) hay \(\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{MP}{CD}=\frac{AM}{AD}\) (MP // CD)

Suy ra: \(\frac{MP}{CD}=\frac{1}{3}\) mà CD = 6 nên MP = 2.

Vì \(\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}\) (câu a) nên \(\frac{BN}{NC}=\frac{1}{2}\) hay \(\frac{CN}{BC}=\frac{2}{3}\)

Mà \(\frac{PN}{AB}=\frac{CN}{BC}\)

Suy ra: \(\frac{PN}{AB}=\frac{2}{3}\) mà AB = 4 nên PN = \(\frac{8}{3}\)

Do đó: MN = MP + PN = 2 + \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{14}{3}\)

Bài 3 trang 57 Toán 8 Cánh diều tập 2

Trong Hình 15, cho MN //AB, NP // BC. Chứng minh MP // AC.

Hướng dẫn giải

MN // AB nên \(\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}\)

NP // BC nên \(\frac{OP}{OC}=\frac{ON}{OB}\)

Do đó: \(\frac{OM}{OA}=\frac{OP}{OC}\)

Suy ra: MP // AC (định lí Thalès).

Bài 4 trang 57 Toán 8 Cánh diều tập 2

Trong Hình 16, độ dài đoạn thẳng A'C' mô tả chiều cao của một cái cây, đoạn thẳng AC mô tả chiều cao của một cái cọc (cây và cọc cùng vuông góc với đường thẳng đi qua ba điểm A', A', B). Giả sử AC = 2m, AB = 1,5 m, A'B = 4,5 m. Tính chiều cao của cây.

Hướng dẫn giải

Do AC // A'C' (cùng vuông góc với A'B) nên \(\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B}\)

Suy ra: \(\frac{2}{A'C'}=\frac{1,5}{4,5}\). Do đó A'C' = 6.

Vậy chiều cao của cây là 6 cm.

Bài 5 trang 57 Toán 8 Cánh diều tập 2

Cho đoạn thẳng AB. Hãy trình bày cách chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau mà không dùng thước để đo.

Hướng dẫn giải

- Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.

- E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và AQ.

- Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C, D.

- Theo hệ quả định lí Thalès ta có:

Tam giác OAC có FQ // AC (F \(\in\) OC, Q \(\in\) OA)

Suy ra: \(\frac{AC}{FQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac{OC}{OF}\) (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{CD}{EF}=\frac{OC}{OF}=\frac{OD}{OE}\) (2)

\(\frac{BD}{PE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OB}{OP}\) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra: \(\frac{AC}{FQ}=\frac{CD}{EF}=\frac{BD}{PE}\)

Mà PE = EF = FQ = 1. Do đó: AC = CD = BD. (đpcm)