Toán 8 Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

1. Hệ số góc của đường thẳng

Hoạt động 2 trang 52 Toán 8 Tập 2:

Từ kết quả của Hoạt động 1, em có nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số a của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox?

Hướng dẫn giải

Khi hệ số góc a dương thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc nhọn.

Khi hệ số góc a âm thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tù.

Luyện tập 1 trang 52 Toán 8 Tập 2:

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng –1.

Hướng dẫn giải

Gọi y = ax + b là hàm số bậc nhất cần tìm (a ≠ 0).

Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 nên a = 3. Khi đó y = 3x + b.

Lại có đồ thị này cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 hay giao điểm giữa đồ thị và trục tung có tọa độ (0; – 1) nên thay x = 0 và y = – 1 vào y = 3x + b, ta được:

– 1 = 3 . 0 + b, suy ra b = – 1.

Vậy hàm số cần tìm là y = 3x – 1.

2. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Câu hỏi trang 53 Toán 8 Tập 2:

Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

a) y = 2x + 1; b) y = –1 – 2x; c) y = 2 + 2x; d) y = –1 + 2x.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = 2 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ 2).

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ – 1).

Hai đường thẳng y = 2 + 2x và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 2 ≠ – 1).

Hoạt động 4 trang 53 Toán 8 Tập 2:

Cho hai đường thẳng y = 2x – 1 và y = x – 3. Bằng cách so sánh hai hệ số góc, hãy cho biết hai đường thẳng này có song song hay trùng nhau không.

Hướng dẫn giải

Hệ số góc của đường thẳng y = 2x – 1 là 2.

Hệ số góc của đường thẳng y = x – 2 là 1.

Vì 2 ≠ 1 nên hai đường thẳng này không song song và cũng không trùng nhau.

Câu hỏi trang 53 Toán 8 Tập 2:

Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:

a) y = 2x + 1;

b) y = 2x;

c) y = 2 + 2x;

d) y = 1 – 2x.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x + 1 vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2 + 2x vì – 2 ≠ 2.

Luyện tập 2 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 1 và y = (m – 1)x + 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = 2mx + 1 là hàm số bậc nhất thì 2m ≠ 0, tức là m ≠ 0.

Để hàm số y = (m – 1)x + 2 là hàm số bậc nhất thì m – 1 ≠ 0, tức là m ≠ 1.

Vậy ta có điều kiện là m ≠ 0 và m ≠ 1.

a) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song khi a = a′ và b ≠ b', tức là 2m = m – 1 và 1 ≠ 2 (luôn đúng).

Ta có 2m = m – 1, suy ra m = – 1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy m = – 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ a′, tức là

2m ≠ m – 1 hay m ≠ – 1.

Kết hợp với điều kiện, ta được các giá trị m cần tìm là m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ – 1.

Thử thách nhỏ trang 54 Toán 8 Tập 2:

Liệu hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc có thể có:

a) Cùng giao điểm với trục Ox không?

b) Cùng giao điểm với trục Oy không?

Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc tức là chúng song song với nhau nên không có cùng giao điểm với trục Ox.

b) Tương tự, hai đường thẳng này cũng không có cùng giao điểm với trục Oy.

Vận dụng trang 54 Toán 8 Tập 2:

Em hãy trình bày cách làm của anh Pi để trả lời câu hỏi của bạn Vuông trong tình huống mở đầu.

Hướng dẫn giải

Muốn biết hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song hay cắt nhau ta xét các hệ số a; a’; b; b’.

+ Nếu a = a’; b ≠ b’ thì hai đường thẳng song song với nhau.

+ Nếu a ≠ a’ thì hai đường thẳng cắt nhau.

Giải bài tập trang 54 Toán 8 Tập 2:

Bài 7.30 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1;-2) và có hệ số góc là 3

Hướng dẫn giải

Vì hàm số có hệ số góc là 3 => $y=3x+b$

hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1;-2) , thay $x=1$, $y=-2$ => $b=-5$

Vậy ta có hàm số là $y=3x-5$

Bài 7.31 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là -2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

Hướng dẫn giải

Vì hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là -2 => $y=-2x+b$

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 => Đường thẳng đi qua điểm (3;0)

Thay x=3; y=0 ta có: $0=-2.3+b$ => b= 6

Vậy ta có hàm số $y=-2x+6$

Bài 7.32 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Hãy chỉ ra cặp đường thẳng song song với nhau và các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau

a) $y=-x+1$; $y=-2x+1$

c) $y=-2x+2$ $y=-x$

Hướng dẫn giải

Các cặp song song là: $y=-x+1$ và $y=-x$; $y=-2x+1$ và $y=-2x+2$

Các cặp cắt nhau là: $y=-x+1$ và $y=-2x+2$; $y=-x$ và $y=-2x+1$; $y=-x+1$ và $y=-2x+1$; $y=-x$ và $y=-2x+2$

Bài 7.33 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Cho hàm số bậc nhất $y=mx-5$ và $y=(2m+1)x+3$. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng song song

b) Hai đường thẳng cắt nhau

Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng song song khi $a=a^{\prime }$ => $m=2m+1$ => $m=-1$

b) Hai đường thẳng cắt nhau khi $a\ne a^{\prime }$ => $m\ne 2m+1$ => $m\ne -1$

Bài 7.34 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng $y=-3x+1$ và đi qua điểm (2;6)

Hướng dẫn giải

Vì hàm số song song với đường thẳng $y=-3x+1$ => $a=-3$

Vì hàm số là đường thẳng đi qua điểm (2;6). Thay $x=2$, $y=6$ ta có: $6=-3.2+b$ => $b=12$

Vậy hàm số cần tìm là $y=-3x+12$

Bài 7.35 trang 54 Toán 8 Tập 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $y=x$ và $y=-x+2$

a) Vẽ hai đường thẳng đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm giao điểm A của hai đường thẳng đã cho

c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng $y=-x+2$ và trục Ox. Chứng minh tam giác OAB vuông tại A, tức hai đường thẳng $y=x$ và $y=-x+2$ vuông góc với nhau

d) Có nhận xét gì về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho

Hướng dẫn giải

a)

c) Có AO=AB => Tam giác AOB cân tại A, góc O = góc B = 45° => OAB vuông tại A

d) Tích của hai hệ số góc bằng -1