Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Thực hiện các phép tính

a) \(\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}\)

b) \(\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}\)

c) \(\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}\)

\(=\frac{x^{2}-3x+1+5x-1-x^{2}}{2x^{2}}\)

\(=\frac{2x}{2x^{2}}\)

b) \(\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}\)

\(=\frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)}\)

\(=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}\)

c) \(\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}\)

\(=\frac{x}{2(x-3)}-\frac{9}{2x(x-3)}\)

\(=\frac{x^{2}-9}{2x(x-3)}\)

\(=\frac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)}\)

\(=\frac{x+3}{2x}\)

Bài 6.21 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)\(\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}\)

b)\(\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}\)

c)\(\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}\)

\(=\frac{5-3x+2-5x}{x+1}=\frac{7-8x}{x+1}\)

b)\(\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x+y)-y(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}\)

c)\(\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}\)

\(=\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\)

\(=\frac{3(x^{2}-x+1)-2-3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\)

\(=\frac{3x^{2}-6x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\)

Bài 6.22 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)\(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\)

b)\(\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\)

=\(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\)

=\(\frac{2x-2-2x-2}{(x+1)(x-1)}=\frac{-4}{(x+1)(x-1)}\)

b)\(\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}\)

=\(\frac{2x-1}{x}+\frac{1-2x}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{x-1}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}\)

=\(\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}\)

=\(\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{3}{x+3}\)

=\(\frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}\)

=\(\frac{12-3x}{(x-3)(x+3)}\)

Bài 6.23 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)\(\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}\)

b)\(\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]\)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}\)

\(=\frac{(x+2)^{2}}{(x-2)(x+2)}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}\)

\(=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}\)

\(=\frac{5(x+2)-5x+4-x}{5(x-2)}\)

\(=\frac{-x+14}{5(x-2)}\)

b) \(\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]\)

\(=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x-2}{x+4}\)

\(=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\)

\(=\frac{x-1}{x^{2}+1}\)

Bài 6.24 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

a)\(\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}\)

b)\(\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}\)

=\(\frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{xyz}\)

=\(\frac{zx-zy+xy-xz+yz-xy}{xyz}=0\)

b)\(\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}\)

\(=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}}\)

\(=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\)

\(=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}\)

\(=\frac{x^{2}+xy-xy+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}\)

\(=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}\)

Bài 6.25 trang 19 Toán 8 Kết nối tri thức Tập 2

Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h)

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2km/h

Hướng dẫn giải

a) Thời gian xuôi dòng là: \(t1=\frac{15}{10+x}\)

Thời gian ngược dòng là \(t2=\frac{15}{10-x}\)

b) Tổng thời gian tàu chạy là: \(t1+t2=\frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x}\)

Thay x=2 (km/h), ta có: \(t1+t2=\frac{5}{4}+\frac{15}{8}=\frac{25}{8}\) (giờ)