Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Giải Toán 8 Kết nối tri thức tập 2

Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

1. Nhân hai phân thức
- HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 2
- Luyện tập 1 trang 20 Toán 8 Tập 2
2. Chia hai phân thức
Bài tập

Giải Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 2, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

1. Nhân hai phân thức

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 2

Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức $\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}} và \frac{{x - 1}}{x}$ $\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}} và \frac{{x - 1}}{x}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}$ $\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\frac{{x - 1}}{x} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}$

Luyện tập 1 trang 20 Toán 8 Tập 2

Làm tính nhân:

$(a)\frac{x}{{x + y}}.\frac{{2{\rm{x}} + 2y}}{{3{\rm{x}}y}}$ $(a)\frac{x}{{x + y}}.\frac{{2{\rm{x}} + 2y}}{{3{\rm{x}}y}}$

$(b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}.\frac{{ - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}}$ $(b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}.\frac{{ - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}}$

Hướng dẫn giải

$(a)\frac{x}{{x + y}}.\frac{{2{\rm{x}} + 2y}}{{3{\rm{x}}y}}$ $(a)\frac{x}{{x + y}}.\frac{{2{\rm{x}} + 2y}}{{3{\rm{x}}y}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}y}}{{3{\rm{x}}y(x + y)}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}(x + y)}}{{3{\rm{x}}y(x + y)}} = \frac{{2}}{{3y}}\end{array}$ $\begin{array}{l} = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}y}}{{3{\rm{x}}y(x + y)}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}(x + y)}}{{3{\rm{x}}y(x + y)}} = \frac{{2}}{{3y}}\end{array}$

$(b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}.\frac{{ - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}}$ $(b)\frac{{3{\rm{x}}}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}.\frac{{ - 2{\rm{x}} + 1}}{{2{{\rm{x}}^2}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{3{\rm{x}}( - 2{\rm{x}} + 1)}}{{2{{\rm{x}}^2}(4{{\rm{x}}^2} - 1)}}\\ = \frac{{ - 3}}{{2{{\rm{x}}}(2{\rm{x}} + 1)}}\end{array}$ $\begin{array}{l} = \frac{{3{\rm{x}}( - 2{\rm{x}} + 1)}}{{2{{\rm{x}}^2}(4{{\rm{x}}^2} - 1)}}\\ = \frac{{ - 3}}{{2{{\rm{x}}}(2{\rm{x}} + 1)}}\end{array}$

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

2. Chia hai phân thức

Luyện tập 2 trang 21 Toán 8 Tập 2

Làm tính chia: $\frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}:\left( {\frac{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}{{12{y^3}}}} \right)$ $\frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}:\left( {\frac{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}{{12{y^3}}}} \right)$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}\frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}:\left( {\frac{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}{{12{y^3}}}} \right)\\ = \frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}.\frac{{12{y^3}}}{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}\\ = \frac{{3{\rm{x}}.12{y^3}}}{{2{y^2}.\left( { - 5{{\rm{x}}^2}} \right)}} = \frac{{36{\rm{x}}{y^3}}}{{ - 10{{\rm{x}}^2}{y^2}}} = \frac{{ - 18y}}{{5y}}\end{array}$ $\begin{array}{l}\frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}:\left( {\frac{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}{{12{y^3}}}} \right)\\ = \frac{{3{\rm{x}}}}{{2{y^2}}}.\frac{{12{y^3}}}{{ - 5{{\rm{x}}^2}}}\\ = \frac{{3{\rm{x}}.12{y^3}}}{{2{y^2}.\left( { - 5{{\rm{x}}^2}} \right)}} = \frac{{36{\rm{x}}{y^3}}}{{ - 10{{\rm{x}}^2}{y^2}}} = \frac{{ - 18y}}{{5y}}\end{array}$

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 2

Kết luận sau là đúng hay sai?

$\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = \frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right)$ $\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = \frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = 1:\frac{1}{x} = 1.\frac{x}{1} = x\\\frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x}:1 = \frac{1}{x}\end{array}$ $\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = 1:\frac{1}{x} = 1.\frac{x}{1} = x\\\frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x}:1 = \frac{1}{x}\end{array}$

Vậy kết luận $\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = \frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right)$ $\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right):\frac{1}{x} = \frac{1}{x}:\left( {\frac{1}{x}:\frac{1}{x}} \right)$ là kết luận sai

Vận dụng trang 22 Toán 8 Tập 2

Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi r là lãi suất năm của khoản vay trả góp này. Tính số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi thàng theo số tháng vay y (tháng) và lãi suất năm r. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm r theo x và y

b) Tính giá trị của r tại x = 30, y = 48 rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng là:

$\begin{array}{l}x = \frac{{1200}}{y} + \left( {1200.\frac{r}{{12}}} \right)\\ \Rightarrow x = \frac{{1200}}{y} + 100{\rm{r}}\\ \Rightarrow r = \frac{{xy - 1200}}{{100y}}\end{array}$ $\begin{array}{l}x = \frac{{1200}}{y} + \left( {1200.\frac{r}{{12}}} \right)\\ \Rightarrow x = \frac{{1200}}{y} + 100{\rm{r}}\\ \Rightarrow r = \frac{{xy - 1200}}{{100y}}\end{array}$

b) Thay x = 30, y = 48, ta có: r = 0.05

Lãi suất năm của khoản vay khi mỗi tháng trả góp 30 triệu đồng trong vòng 4 năm là:

$r = \frac{{30.48 - 1200}}{{100.48}} = 0,05 = 5(\% )$ $r = \frac{{30.48 - 1200}}{{100.48}} = 0,05 = 5(\% )$

Bài tập

Bài 6.26 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT

Làm tính nhân phân thức:

a) $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$ $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

b) $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$ $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$

Hướng dẫn giải

a) $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$ $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

$=\frac{15xy^{2}}{60x^{2}y^{3}}=\frac{1}{4xy}$ $=\frac{15xy^{2}}{60x^{2}y^{3}}=\frac{1}{4xy}$

b) $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$ $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$

$=\frac{x(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)}$ $=\frac{x(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$=\frac{x(2x-1)}{x^{2}+x+1)}$ $=\frac{x(2x-1)}{x^{2}+x+1)}$

Bài 6.27 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT

a) $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\: \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$ $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\: \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

b) $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$ $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$

Hướng dẫn giải

a) $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right ): \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$ $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right ): \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

$=\frac{-3x}{5xy^{2}}\cdot \frac{-12xy}{5y^{2}}$ $=\frac{-3x}{5xy^{2}}\cdot \frac{-12xy}{5y^{2}}$

$=\frac{36x^{2}y}{25xy^{4}}$ $=\frac{36x^{2}y}{25xy^{4}}$

b) $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$ $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$

$=\frac{(4x^{2}-1)(4x^{2}+2x+1)}{(8x^{3}-1)(4x^{2}+4x+1)}$ $=\frac{(4x^{2}-1)(4x^{2}+2x+1)}{(8x^{3}-1)(4x^{2}+4x+1)}$

$=\frac{(2x-1)(2x+1)(4x^{2}+2x+1)}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)(2x+1)^{2}}$ $=\frac{(2x-1)(2x+1)(4x^{2}+2x+1)}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)(2x+1)^{2}}$

$=\frac{1}{2x+1}$ $=\frac{1}{2x+1}$

Bài 6.28 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT

Tìm hai phân thức P và Q thỏa mãn:

a) $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$ $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$

b) $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$ $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$

Hướng dẫn giải

a) $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$ $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$

=> $P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}:\frac{x+1}{2x+1}$ $P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}:\frac{x+1}{2x+1}$

$P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}\cdot \frac{2x+1}{x+1}$ $P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}\cdot \frac{2x+1}{x+1}$

$P=\frac{x(x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)(x+1)}=\frac{x}{2x-1}$ $P=\frac{x(x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)(x+1)}=\frac{x}{2x-1}$

b) $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$ $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$

=> $Q=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}\cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}$ $Q=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}\cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}$

$Q=\frac{(x+1)(x+2)x^{2}}{x(x-2)(x+2)^{2}}=\frac{x(x+1)}{x^{2}-4}$ $Q=\frac{(x+1)(x+2)x^{2}}{x(x-2)(x+2)^{2}}=\frac{x(x+1)}{x^{2}-4}$

Bài 6.29 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT

Cho hai phân thức $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}$ $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}$ và $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}$ $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}$

a) Rút gọn P và Q

b) Sử dụng kết quả câu a, Tính P.Q và P:Q

Hướng dẫn giải

a) Có $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}=\frac{(x+3)^{2}}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$ $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}=\frac{(x+3)^{2}}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$

Có $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$ $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$

b) Có $P.Q=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x}{x-3}=\frac{x(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$ $P.Q=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x}{x-3}=\frac{x(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$

Có $P:Q=\frac{x+3}{x}:\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-9}{x^{2}}$ $P:Q=\frac{x+3}{x}:\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-9}{x^{2}}$

Bài 6.30 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT

Trở lại tình huống trong Vận dụng

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng

b) Trong công thức tĩnh lãi suất năm nói trên, hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện x>0, y>0, xy>1200. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này

Hướng dẫn giải

a) Lãi suất năm nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm:

$r=\frac{15.120-1200}{100.120}=0.05$ $r=\frac{15.120-1200}{100.120}=0.05$= 5(%). Tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch 600 triệu đồng so với khoản vay 1,2 tỉ đồng

b) Điều kiện để thỏa mãn điều kiện của một phân thức.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

1.454

Bài trước

Bài sau