Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng
Giải Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 2, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng
1. Định lí Pythagora
Mở đầu trang 93 Toán 8 Tập 2:
Bạn Lan vẽ một hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 1; 3 (đơn vị độ dài). Sau đó Lan đặt lên trục số đoạn OM có độ dài bằng độ dài của đường chéo hình chữ nhật vừa vẽ (trục số nằm ngang và M nằm bên phải gốc O). Hỏi điểm M biểu diễn số thực nào? Biết rằng đơn vị độ dài trên trục số và đơn vị độ dài đo kích thước hình chữ nhật là như nhau.
Hướng dẫn giải:
Để biết được điểm M biểu diễn số thực nào, ta cần tính độ dài đoạn thẳng OM, hay chính là tính độ dài đường chéo OB của hình chữ nhật OABC khi biết chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó, điều này dẫn đến việc cần tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh góc vuông. Để làm được điều này, ta sẽ sử dụng kiến thức của bài học hôm nay.
Hoạt động 1 trang 93 Toán 8 Tập 2:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3 cm, AC = 4 cm (H.9.31). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng AB^2 + AC^2 với BC^2.
Hướng dẫn giải:
+ Đo độ dài BC ta được BC = 5 cm, vậy BC2 = 25.
+ Ta có AB2 = 32 = 9; AC2 = 42 = 16. Vậy AB2 + AC2 = 25.
Vậy AB2 + AC2 = BC2.
Hoạt động 2 trang 93 Toán 8 Tập 2:
Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài a + b. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32.
- Dùng ê ke kiểm tra phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c.
- Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu?
- Diện tích cả tấm bìa hình vuông cạnh a + b bằng bao nhiêu?
- So sánh c2 + 2ab với (a + b)2 để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai đại lượng c2 và a2 + b2.
Hướng dẫn giải:
+ Phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c. Diện tích của hình vuông là c2.
+ Tổng diện tích bốn tam giác vuông: 4. 
\(\frac{1}{2}\).a.b = 2ab.
+ Diện tích tấm bìa hình vuông có cạnh bằng a + b là: (a + b)2.
+ Khi đó (a + b)2 = c2 + 2ab, tức là a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab. Suy ra c2 = a2 + b2.
2. Ứng dụng định lí Pythagora
Vận dụng 2 trang 96 Toán 8 Tập 2:
Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3 km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3 km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1 km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.38). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là bao nhiêu kilômét?
Hướng dẫn giải:
Có BC = AM = AB = CM = 3 km (do AMCB là hình vuông).
Suy ra MD = CM + CD = 3 + 1 = 4 (km).
Xét tam giác AMD vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:
AD2 = AM2 + MD2 = 32 + 42 = 25. Suy ra AD = 5 km.
Vậy lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là 5 km.
Câu hỏi trang 96 Toán 8 Tập 2:
Cho Hình 9.40, trong các đoạn thẳng AC, AD, AE đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H có:
AD2 = AH2 + HD2 (1)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H có:
AC2 = AH2 + HC2 (2)
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHE vuông tại H có:
AE2 = AH2 + HE2 (3)
Vì HE > HC > HD suy ra HE2 > HC2 > HD2. (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AE2 > AC2 > AD2 ⇒ AE > AC > AD.
Vậy đoạn AE là lớn nhất, đoạn AD là nhỏ nhất.
Luyện tập 3 trang 96 Toán 8 Tập 2:
Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: “Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”. Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh định lí trên.
Hướng dẫn giải:
- Xét tam giác ABC vuông tại A, có
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pythagore) (1)
- Xét tam giác A'B'C' vuông tại A' có:
B′C′2 = A′B′2 + A′C′2 (định lí Pythagore) (2)
Mà AB = A′B′, BC = B′C′ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra AC = A′C′.
Suy ra hai tam giác đã cho bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.
Bài tập
Bài 9.17 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai
a) \(AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\)
b) \(BC^{2}-AC^{2}=AB^{2}\)
c) \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\)
d) \(BC^{2}-AB^{2}=AC^{2}\)
Đáp án:
Khẳng định b, d đúng
Khẳng định a, c sai
Bài 9.18 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông
a) \(1 cm, 1cm, 2cm\)
b) \(2 cm, 4 cm, 20 cm\)
c) \(5 cm, 4 cm, 3 cm\)
d) \(2 cm, 2 cm, 2\sqrt{2} cm\)
Đáp án: c và d
Bài 9.19 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Tính độ dài x, y, z, t trong Hình 9.43
Hướng dẫn giải
- \(x^{2}=4^{2}+2^{2}=20\) => \(x=2\sqrt{5}\)
- \(y^{2}=5^{2}-4^{2}=9\) => \(y=3\)
- \(z^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=25\) => \(z=5\)
- \(t^{2}=1^{2}+2^{2}=5\) => \(t=\sqrt{5}\)
Bài 9.20 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao \(AH=3cm\) và cạnh đáy \(BC=10cm\). Hãy tính độ dài các cạnh bên AB, AC
Hướng dẫn giải
Vì tam giác ABC cân tại A => \(AB=AC\), \(HB=HC=5cm\)
Xét tam giác AHB vuông tại H có
\(AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=3^{2}+5^{2}=34\)
=> \(AB=\sqrt{34}cm\)
Bài 9.21 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8cm và đường chéo dài 17cm
Hướng dẫn giải
Theo đề bài, ta có hình vẽ:
Xét tam giác ABC vuông tại B, có
\(BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=17^{2}-8^{2}=225\)
=> \(BC=15(cm)\)
=> Diện tích của hình chữ nhật là: \(AB.BC=8.15=120(cm^{2})\)
Bài 9.22 trang 97 Toán 8 Tập 2:
Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình vuông ABCD có cạnh 5m như Hình 9.44. Đầu xích buộc cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không
Hướng dẫn giải
- Xét tam giác ABE vuông tại B, có
\(AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=5^{2}+3^{2}=34\)
=> \(AE=\sqrt{34}(m)\)
=> Chú chó có thể chạy đến điểm E do khoảng cách AE ngắn hơn sợi dây
- Xét tam giác ADF vuông tại D, có
\(AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=5^{2}+4^{2}=41\)
=> \(AE=\sqrt{41}(m)\)
=> Chú chó không thể chạy đến điểm F do khoảng cách AF dài hơn sợi dây
- Xét tam giác ADC vuông tại D, có
\(AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=5^{2}+5^{2}=50\)
=> \(AE=5\sqrt{2}(m)\)
=> Chú chó không thể chạy đến điểm C do khoảng cách AC dài hơn sợi dây
Vậy chú chó không thể chạy hết tất cả các điểm của mảnh vườn. Chú chó chỉ có thể chạy đến điểm B, D, E.
