Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Bài 6.7 trang 11 Toán 8 KNTT tập 2

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.

a) \(\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x}\)

b) \(\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}\)

Hướng dẫn giải

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{(x-2)^{2}}{x}\) với \(x-2\) ta có:

\(\frac{(x-2)^{2}}{x}\)= \(\frac{(x-2)(x-2)^{2}}{x(x-2)}\)= \(\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x(x-2)}\)=\(\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}\)

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{1-x}{-5x+1}\) với -1, ta có \(\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}\)

Bài 6.8 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?"

\(\frac{y-x}{4-x}=\frac{?}{x-4}\)

Hướng dẫn giải

Có \(\frac{y-x}{4-x}=\frac{x-y}{x-4}\)

Bài 6.9 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Rút gọn các phân thức sau

a) \(\frac{5x+10}{25x^{2}+50}\)

b) \(\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}\)

c) \(\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{5x+10}{25x^{2}+50}=\frac{5(x+2)}{25(x^{2}+2)}=\frac{x+2}{5(x^{2}+2)}\)

b) \(\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}=\frac{3(3-x)}{(x-3)^{3}}\)

c) \(\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}-1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-x+1}\)

Bài 6.10 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Cho phân thức \(P=\frac{x+1}{x^{2}-1}\)

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.

b) Tính giá trị của P và Q tại x=11. So sánh hai kết quả đó.

Hướng dẫn giải

a) \(P=\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{x-1}\)

=> \(Q=\frac{x+1}{x-1}\)

b) Thay x=11 vào P ta có \(P=\frac{1}{10}\)

Thay x=11 vào Q ta có \(Q=\frac{1}{10}\)

=> Hai kết quả bằng nhau

Bài 6.11 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

\(\frac{5x}{x+1}\) và \(\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}\)

Hướng dẫn giải

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{5x}{x+1}\) với \(1-x\), ta có: \(\frac{5x(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-5x(x-1)}{(1-x)(x+1)}\)

Vậy \(a=-5\)

Bài 6.12 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{x^{3}-8}\) và \(\frac{3}{4-2x}\)

b) \(\frac{x}{x^{2}-1}\) và \(\frac{1}{x^{2}+2x+1}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)\)

\(4-2x=2(2-x)=-2(x-2)\)

MTC\(=-2(x-2)(x^{2}+2x+4)\)

Nhân tử phụ của \(x^{3}-8\) là -2

Nhân tử phụ của \(4-2x\) là \(x^{2}+2x+4\)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

\(\frac{1}{x^{3}-8}=\frac{-2}{-2(x^{3}-8)}\) và \(\frac{3}{4-2x}\)=\(\frac{3(x^{2}+2x+4)}{(4-2x)(x^{2}+2x+4)}\)= \(\frac{3(x^{2}+2x+4)}{-2(x^{3}-8)}\)

Bài 6.13 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\frac{1}{x+2}\);\(\frac{x+1}{x^{2}-4x-4}\) và \(\frac{5}{2-x}\)

b) \(\frac{1}{3x+3y}\); \(\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\) và \(\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}\)

Bài 6.14 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2

Cho hai phân thức: \(\frac{9x^{2}+3x+1}{27x^{3}-1}\) và \(\frac{x^{2}-4x}{16-x^{2}}\)

a) Rút gọn hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a