Toán 8 Kết nối tri thức bài 12: Hình bình hành
Giải Toán 8 Kết nối tri thức bài 12: Hình bình hành hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập 1 trang 57, 58, 59, 60, 62. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Bài 12: Hình bình hành
Mở đầu trang 57 Toán 8 Tập 1
Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo thành một góc. Bên trong góc đó có một điểm dân cư O. Phải mở một con đường thẳng đi qua O cắt a tại A, cắt b tại B như thế nào để hai đoạn đường OA và OB bằng nhau (các con đường đều là đường thẳng) (H.3.27)?
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm C.
– Vẽ tia Cx đi qua điểm O. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho OC = OD (hay O là trung điểm của CD).
– Qua D vẽ tia Dy // a cắt tia b tại B; vẽ Dz // b cắt a tại A.
Khi đó tứ giác ACBD có AC // BD; AD // BC nên là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AB, CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm CD nên O là trung điểm của AB, hay OA = OB.
Vậy con đường đi qua O sao cho OA = OB được mở như trên.
1. Hình bình hành và tính chất
Hoạt động 1 trang 57 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Trong hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?
Hướng dẫn giải:
Hình c) là hình bình hành, bởi có các cặp cạnh song song
Thực hành 1 trang 58 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng 60o. Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Giả sử hình bình hành ABCD có AD = 3cm, AB = 4 cm và \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o}
Cách vẽ:
- Vẽ cạnh AB = 4 cm.
- Vẽ 
\(\widehat {{\rm{BAx}}} = {60^o}\). Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3cm.
- Kẻ By // AD, Dz // BC. Hai tia By và Dz cắt nhau tại C, ta được hình bình hành ABCD.
Hình vẽ được là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song (AB // CD, AD // BC).
Hoạt động 2 trang 58 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em biết
Hướng dẫn giải:
Các cạnh đối song song và bằng nhau.
Các góc đối bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hoạt động 3 trang 58 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho hình bình hành ABCD (H.3.30)
a) Chứng minh \(\Delta ABC=\Delta CDA\). Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và \(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\)
b) Chứng minh \(\Delta ABD=\Delta CDB\). Từ đó suy ra \(\widehat{DAB}=\widehat{BCD}\)
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O. Chứng minh \(\Delta AOB=\Delta COD\). Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD
Hướng dẫn giải:
a) Xét tam giác ABC và CDA ta có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}\) (hai góc so le trong, AB // CD)
AC chung
\(\widehat{ACB}=\widehat{CAB}\) (hai góc so le trong, AD // BC)
Suy ra, \(\Delta ABC=\Delta CDA\) (g.c.g)
Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và \(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\)
b) Xét tam giác ABD và CDB ta có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{CDB}\) (hai góc so le trong, AB // DC)
BD chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\) (hai góc so le trong, AD // BC)
Suy ra \(\Delta ABD=\Delta CDB\) (g.c.g)
Từ đó suy ra \(\widehat{DAB}=\widehat{BCD}\)
c) Xét tam giác AOB và COD ta có:
\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB // DC)
AB = CD (cmt)
\(\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\) (hai góc so le trong, AB // DC)
Suy ra \(\Delta AOB=\Delta COD\) (g.c.g)
Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD
Luyện tập 1 trang 58 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn AM.
Hướng dẫn giải:
Xét tứ giác ANMP ta có: AN // MP, AP // PM suy ra ANMP là hình bình hành
AM và PN là hai đường chéo của hình bình hành ANMP, I là trung điểm của PN, suy ra I cũng là trung điểm của AM
2. Dấu hiệu nhận biết
Luyện tập 2 trang 60 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32)
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{EDC}\) (DE là phân giác góc D)
\(\widehat{AED}=\widehat{EDC}\) (so le trong)
Suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ADE}\Rightarrow\) tam giác ADE là tam giác cân
Tương tự, ta chứng minh được tam giác CBF là tam giác cân
b) Xét tam giác ADE và CBF ta có:
AD = CB
\(\widehat{A}=\widehat{B}\)
AE = CF
Suy ra \(\Delta ADE=\Delta CBF\) (c.g.c) \(\Rightarrow DE =BF\) (1)
Ta có: \(\widehat{EDF}=\widehat{CBF},\widehat{CBF}=\widehat{CFB}\)
\(\Rightarrow \widehat{EDF}=\widehat{CFB}\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra DE // BF (2)
Từ (1) và (2) suy ra BEBF là hình bình hành
Thực hành 2 trang 60 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
Đoạn dây xích được chia thành:
• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là AB = CD;
• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là AD = BC.
Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Luyện tập 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A', B' là các điểm sao cho O là trung điểm của AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.
Hướng dẫn giải:
Xét tứ giác ABA'B' ta có: AA' và BB' là hai đường chéo của tứ giác; O là trung điểm của mỗi đường, suy ra ABA'B' là hình bình hành
Từ đó suy ra A'B' = AB và A'B' // AB.
Vận dụng trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Trở lại bài toán mở đầu . Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở.
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm C.
– Vẽ tia Cx đi qua điểm O. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho OC = OD (hay O là trung điểm của CD).
– Qua D vẽ tia Dy // a cắt tia b tại B; vẽ Dz // b cắt a tại A.
Khi đó tứ giác ACBD có AC // BD; AD // BC nên là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AB, CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm CD nên O là trung điểm của AB, hay OA = OB.
Vậy con đường đi qua O sao cho OA = OB được mở như trên.
3. Giải bài tập trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Bài tập 3.13 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành
Hướng dẫn giải:
a) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa)
b) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành.
c) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa)
Bài tập 3.14 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.
Hướng dẫn giải:
\(\widehat{C}=\widehat{A}=100^{\circ}\)
\(\widehat{D}=\widehat{B}=180^{\circ}-\widehat{A}=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}\)
Bài tập 3.15 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh BF = DE.
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)
EB = \(\frac{1}{2}\) AB (gt)
FD = \(\frac{1}{2}\) CD (gt)
Suy ra: EB = FD (1)
Mà AB // CD (gt)
⇒ BE // FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)
Bài tập 3.16 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
a) \(\widehat{D}=80^{\circ}\), ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.
b) \(\widehat{B}=120^{\circ}\), ABCD không là hình bình hành vì có cặp góc đối không bằng nhau.
c) \(\widehat{C}=70^{\circ}\), ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau.
Bài tập 3.17 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành
b) EF = AD, AF = EC
Hướng dẫn giải:
a) Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
Xét tứ giác AEFD có
AE//DF
AE=DF
Do đó: AEFD là hình bình hành
b) EF = AD do AEFD là hình bình hành
AF = EC do AECF là hình bình hành
Bài tập 3.18 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh \(\Delta OAM=\Delta OCN\). Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác OAM và OCN ta có:
\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\) (đối đỉnh)
OA = ON
\(\widehat{OAM}=\widehat{OCN}\) (so le trong)
Suy ra, \(\Delta OAM=\Delta OCN\) (g.c.g) do đó AM = CN
Lại có AB = CD, suy ra MB = ND
Ta có : MB = ND, MB// ND \(\Rightarrow\) tứ giác MBND là hình bình hành
