8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay
Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 học kì 1. Đây là dạng bài thường gặp trong Toán 8, đồng thời cũng là phần toán căn bản các em cần nắm vững để có thể làm các dạng Toán nâng cao. Tài liệu dưới đây, VnDoc sẽ gửi tới các bạn 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, lý thuyết kèm bài tập vận dụng để các em luyện tập. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.
I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Trong biểu thức bài toán cho, chúng ta cần lựa chọn ra những ẩn số hay hằng của một số biểu thức nhất định là ước chung và chọn chúng làm nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau:
A . B + C . B – B . Q
= B . (A + C – Q)
Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào chúng ta phải đưa được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
a) 
\(2 x^{2}-8 x^{3}+12 x=2. x. x^{3}-2.4. x. x^{2}+2.6 .x\)
\(=2 .x \cdot\left(x^{3}-4 x^{2}+6\right)\)
b) \(x y^{2}-3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}=x y^{2}.(1-3+2 y)\)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ở phương pháp này các bạn cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a) \(x^{2}-4 x+4=x^{2}-2 .x \cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2}\)
b) \(x^{3}+9 x^{2}+27 x+27\)
\(=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^{2}+3^{3}\)
\(=(x+3)^{3}\)
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
\(x^4+x-4x^2-2=\left(x^4-4x^2\right)+\left(x-2\right)\)
\(=x^{2}\left(x^{2}-4\right)+(x-2)=x^{2}(x-2)(x+2)+(x-2)\)
\(=(x-2)\left[x^{2}(x+2)+1\right]=(x-2)\left(x^{3}+2 x^{2}+1\right)\)
4. Phương pháp tách
Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.
\(2 x^{2}-7 x y+5 y^{2}=2 x^{2}-2 x y-5 x y+5 y^{2}\)
\(=\left(2 x^{2}-2 x y\right)-\left(5 x y-5 y^{2}\right)\)
\(=2 x(x-y)-5 y(x-y)\)
\(=(x-y)(2 x-5 y)\)
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
Ví dụ:
\(x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}\)
\(=\left(x^{4}+4 x^{2}+4\right)-4 x^{2}\)
\(=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}\)
\(=\left(x^{2}+2-2 x\right)(x+2+2 x)\)
6. Phương pháp đặt biến phụ
Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.
Ví dụ: \(A=\left(x^{2}+2 x+8\right)^{2}+3 x \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)+2 x^{2}\)
Đặt: \(y=x^{2}+2 x+8\)
Ta có: \(A=y^{2}+3 x y+2 x^{2}=y^{2}+x y+2 x y+2 x^{2}\)
\(=\left(y^{2}+x y\right)+\left(2 x y+2 x^{2}\right)=y(x+y)+2 x(x+y)\)
\(=(x+y)(2 x+y)\)
7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như 
là những đa thức có dạng 
. Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là (a2 + a + 1)
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử B = a5 + a4 + 1
B = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 – a + a2 + a + 1
= a3(a2 + a + 1) – a(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)
= (a2 + a + 1)(a3 – a + 1)
8. Phương pháp hệ số bất định
II. Ví dụ minh họa
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, (ab – 1)2 + (a + b)2
b, x3 + 2x2 + 2x + 1
c, x2 – 2x – 4y2 – 4y
Giải
a) Ta có: (ab – 1)2 + (a + b)2
= a2b2 – 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2
= a2b2 + a2 + b2 + 1
= (a2b2 + a2) + (b2 + 1)
= a2(b2 + 1) + (b2 + 1)
= (a2 + 1)(b2 + 1)
b) Ta có: x3 + 2x2 + 2x + 1
= (x3 + 1) + (2x2 + 2x)
= (x + 1)(x2 – x + 1) + 2x(x + 1)
= (x + 1)(x2 + x + 1)
c) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2) – (2x + 4y)
= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2).
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 – 2x4 + x3 + x2 – x, biết x3 – x = 6.
Giải
Ta có: A = x6 – 2x4 + x3 + x2 – x
= (x6 – 2x4 + x2) + (x3 – x)
= (x3 – x)2 + (x3 – x)
Với x3 – x = 6 = (x3 – x)2 + (x3 – x), ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.
Vậy A = 42.
III. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
1. Trắc nghiệm
Bài 1: Đa thức 4x(2y – z) + 7y(z – 2y) được phân tích thành nhân tử là ?
A. (2y + z)(4x + 7y)
B. (2y – z)(4x – 7y)
C. (2y + z)(4x – 7y)
D. (2y – z)(4x + 7y)
Lời giải:
Ta có: 4x(2y – z) + 7y(z – 2y)
= 4x(2y – z) – 7y(2y – z)
= (2y – z)(4x – 7y).
Chọn đáp án B.
Bài 2: Đa thức x3(x2 – 1) – (x2 – 1) được phân tích thành nhân tử là ?
A. (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)
B. (x3 – 1)(x2 – 1)
C. (x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
D. (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)
Lời giải:
Ta có: x3(x2 – 1) – (x2 – 1)
= (x2 – 1)(x3 – 1)
= (x – 1)(x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)
= (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)
Chọn đáp án D.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = x2 – y2 + 2y – 1 với x = 3 và y = 1.
A. A = – 9.
B. A = 0.
C. A = 9.
D. A = – 1.
Lời giải:
Ta có A = x2 – y2 + 2y – 1 = x2 – (y2 – 2y + 1)
= x2 – (y – 1)2
= (x – y + 1)(x + y – 1)
(hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b)).
Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = (3 – 1 + 1)(3 + 1 – 1) = 3 . 3 = 9.
Chọn đáp án C.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy
A. (x + y).(x2 – xy + y2 + x)
B. (x – y).(x2 + xy + y2 – x)
C. (x + y).(x2 + xy + y2 – x)
D. (x – y).(x2 + xy – y2 + x)
Lời giải:
Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)
= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)
= (x + y). (x2 – xy + y2 + x)
Chọn đáp án A
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2
A. x. (x – y + 3).(x + y – 3)
B. x. (x + y + 3).(x + y – 3)
C. x. (x – y + 3).(x – y – 1)
D. x. (x + y + 1).(x – y – 3)
Lời giải:
Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2
= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)
= x.[(x2 + 2xy + y2) – 9]
= x.[(x + y)2 – 32]
= x.(x + y + 3).(x + y – 3)
Chọn đáp án B
2. Tự luận
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x2 – y2 – 2x + 2y
2) 2x + 2y – x2 – xy
3) x2 – 25 + y2 + 2xy
4) x2 – 2x – 4y2 – 4y
5) x2y – x3 – 9y + 9x
6) x2(x – 1) + 16(1 – x)
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)
2) x3 + x2y – 4x – 4y
3) 3(x+ 4) – x2 – 4x
4) x3 – 3x2 + 1 – 3x
5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y
6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2
7) x2 – xy + x – y
8) x2 – 2x – 15
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) 2x2 + 3x – 5
2) x2 + 4x – y2 + 4
3) 2x2 – 18
4) x3 – x2 – x + 1
5) x2 – 7xy + 10y2
6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1
7) x3 – 2x2 + x – xy2
8) ax – bx – a2 + 2ab – b2
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
|
1) x4y4 + 4 3) x4y4 + 64 5) x8 + x7 + 1 7) x8 + 3x4 + 1 9) x10 + x5 + 1 |
2) x7 + x2 + 1 4) x8 + x + 1 6) 32x4 + 1 8) x4 + 4y4
|
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7) x4 – 13x2 + 36
8) x4 + 3x2 – 2x + 3
9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9) x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2
Xem thêm:
- Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
- Giải Toán 8 bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
- Giải bài tập SGK trang 19 Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- Giải bài tập trang 22, 23 SGK Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
