Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 học kì 1. Đây là dạng bài thường gặp trong Toán 8, đồng thời cũng là phần toán căn bản các em cần nắm vững để có thể làm các dạng Toán nâng cao. Tài liệu dưới đây, VnDoc sẽ gửi tới các bạn 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, lý thuyết kèm bài tập vận dụng để các em luyện tập. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết. 

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Trong biểu thức bài toán cho, chúng ta cần lựa chọn ra những ẩn số hay hằng của một số biểu thức nhất định là ước chung và chọn chúng làm nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau:

A . B + C . B – B . Q

= B . (A + C – Q)

Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào chúng ta phải đưa được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

a) 2 x^{2}-8 x^{3}+12 x=2. x. x^{3}-2.4. x. x^{2}+2.6 .x\(2 x^{2}-8 x^{3}+12 x=2. x. x^{3}-2.4. x. x^{2}+2.6 .x\)

=2 .x \cdot\left(x^{3}-4 x^{2}+6\right)\(=2 .x \cdot\left(x^{3}-4 x^{2}+6\right)\)

b) x y^{2}-3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}=x y^{2}.(1-3+2 y)\(x y^{2}-3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}=x y^{2}.(1-3+2 y)\)

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ở phương pháp này các bạn cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

a) x^{2}-4 x+4=x^{2}-2 .x \cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2}\(x^{2}-4 x+4=x^{2}-2 .x \cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2}\)

b) x^{3}+9 x^{2}+27 x+27\(x^{3}+9 x^{2}+27 x+27\)

=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^{2}+3^{3}\(=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^{2}+3^{3}\)

=(x+3)^{3}\(=(x+3)^{3}\)

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

x^4+x-4x^2-2=\left(x^4-4x^2\right)+\left(x-2\right)\(x^4+x-4x^2-2=\left(x^4-4x^2\right)+\left(x-2\right)\)

=x^{2}\left(x^{2}-4\right)+(x-2)=x^{2}(x-2)(x+2)+(x-2)\(=x^{2}\left(x^{2}-4\right)+(x-2)=x^{2}(x-2)(x+2)+(x-2)\)

=(x-2)\left[x^{2}(x+2)+1\right]=(x-2)\left(x^{3}+2 x^{2}+1\right)\(=(x-2)\left[x^{2}(x+2)+1\right]=(x-2)\left(x^{3}+2 x^{2}+1\right)\)

4. Phương pháp tách

Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

2 x^{2}-7 x y+5 y^{2}=2 x^{2}-2 x y-5 x y+5 y^{2}\(2 x^{2}-7 x y+5 y^{2}=2 x^{2}-2 x y-5 x y+5 y^{2}\)

=\left(2 x^{2}-2 x y\right)-\left(5 x y-5 y^{2}\right)\(=\left(2 x^{2}-2 x y\right)-\left(5 x y-5 y^{2}\right)\)

=2 x(x-y)-5 y(x-y)\(=2 x(x-y)-5 y(x-y)\)

=(x-y)(2 x-5 y)\(=(x-y)(2 x-5 y)\)

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Ví dụ:

x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}\(x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}\)

=\left(x^{4}+4 x^{2}+4\right)-4 x^{2}\(=\left(x^{4}+4 x^{2}+4\right)-4 x^{2}\)

=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}\(=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}\)

=\left(x^{2}+2-2 x\right)(x+2+2 x)\(=\left(x^{2}+2-2 x\right)(x+2+2 x)\)

6. Phương pháp đặt biến phụ

Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.

Ví dụ: A=\left(x^{2}+2 x+8\right)^{2}+3 x \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)+2 x^{2}\(A=\left(x^{2}+2 x+8\right)^{2}+3 x \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)+2 x^{2}\)

Đặt: y=x^{2}+2 x+8\(y=x^{2}+2 x+8\)

Ta có: A=y^{2}+3 x y+2 x^{2}=y^{2}+x y+2 x y+2 x^{2}\(A=y^{2}+3 x y+2 x^{2}=y^{2}+x y+2 x y+2 x^{2}\)

=\left(y^{2}+x y\right)+\left(2 x y+2 x^{2}\right)=y(x+y)+2 x(x+y)\(=\left(y^{2}+x y\right)+\left(2 x y+2 x^{2}\right)=y(x+y)+2 x(x+y)\)

=(x+y)(2 x+y)\(=(x+y)(2 x+y)\)

7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như là những đa thức có dạng . Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là (a2 + a + 1)

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử B = a5 + a4 + 1

B = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 – a + a2 + a + 1

= a3(a2 + a + 1) – a(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1)

= (a2 + a + 1)(a3 – a + 1)

8. Phương pháp hệ số bất định

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, (ab – 1)2 + (a + b)2

b, x3 + 2x2 + 2x + 1

c, x2 – 2x – 4y2 – 4y

Giải

a) Ta có: (ab – 1)2 + (a + b)2

= a2b2 – 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2

= a2b2 + a2 + b2 + 1

= (a2b2 + a2) + (b2 + 1)

= a2(b2 + 1) + (b2 + 1)

= (a2 + 1)(b2 + 1)

b) Ta có: x3 + 2x2 + 2x + 1

= (x3 + 1) + (2x2 + 2x)

= (x + 1)(x2 – x + 1) + 2x(x + 1)

= (x + 1)(x2 + x + 1)

c) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y

= (x2 – 4y2) – (2x + 4y)

= (x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 2y – 2).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 – 2x4 + x3 + x2 – x, biết x3 – x = 6.

Giải

Ta có: A = x6 – 2x4 + x3 + x2 – x

= (x6 – 2x4 + x2) + (x3 – x)

= (x3 – x)2 + (x3 – x)

Với x3 – x = 6 = (x3 – x)2 + (x3 – x), ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

III. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

1. Trắc nghiệm

Bài 1: Đa thức 4x(2y – z) + 7y(z – 2y) được phân tích thành nhân tử là ?

A. (2y + z)(4x + 7y)

B. (2y – z)(4x – 7y)

C. (2y + z)(4x – 7y)

D. (2y – z)(4x + 7y)

Lời giải:

Ta có: 4x(2y – z) + 7y(z – 2y)

= 4x(2y – z) – 7y(2y – z)

= (2y – z)(4x – 7y).

Chọn đáp án B.

Bài 2: Đa thức x3(x2 – 1) – (x2 – 1) được phân tích thành nhân tử là ?

A. (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

B. (x3 – 1)(x2 – 1)

C. (x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)

D. (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

Lời giải:

Ta có: x3(x2 – 1) – (x2 – 1)

= (x2 – 1)(x3 – 1)

= (x – 1)(x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)

= (x – 1)2(x + 1)(x2 + x + 1)

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = x2 – y2 + 2y – 1 với x = 3 và y = 1.

A. A = – 9.

B. A = 0.

C. A = 9.

D. A = – 1.

Lời giải:

Ta có A = x2 – y2 + 2y – 1 = x2 – (y2 – 2y + 1)

= x2 – (y – 1)2

= (x – y + 1)(x + y – 1)

(hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b)).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = (3 – 1 + 1)(3 + 1 – 1) = 3 . 3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy

A. (x + y).(x2 – xy + y2 + x)

B. (x – y).(x2 + xy + y2 – x)

C. (x + y).(x2 + xy + y2 – x)

D. (x – y).(x2 + xy – y2 + x)

Lời giải:

Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)

= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)

= (x + y). (x2 – xy + y2 + x)

Chọn đáp án A

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2

A. x. (x – y + 3).(x + y – 3)

B. x. (x + y + 3).(x + y – 3)

C. x. (x – y + 3).(x – y – 1)

D. x. (x + y + 1).(x – y – 3)

Lời giải:

Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2

= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)

= x.[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x.[(x + y)2 – 32]

= x.(x + y + 3).(x + y – 3)

Chọn đáp án B

2. Tự luận

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 – y2 – 2x + 2y

2) 2x + 2y – x2 – xy

3) x2 – 25 + y2 + 2xy

4) x2 – 2x – 4y2 – 4y

5) x2y – x3 – 9y + 9x

6) x2(x – 1) + 16(1 – x)

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) x3 + x2y – 4x – 4y

3) 3(x+ 4) – x2 – 4x

4) x3 – 3x2 + 1 – 3x

5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

7) x2 – xy + x – y

8) x2 – 2x – 15

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 2x2 + 3x – 5

2) x2 + 4x – y2 + 4

3) 2x2 – 18

4) x3 – x2 – x + 1

5) x2 – 7xy + 10y2

6) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

7) x3 – 2x2 + x – xy2

8) ax – bx – a2 + 2ab – b2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x4y4 + 4 

3) x4y4 + 64 

5) x8 + x7 + 1 

7) x8 + 3x4 + 1 

9) x10 + x5 + 1

2) x7 + x2 + 1

4) x8 + x + 1

6) 32x4 + 1

8) x4 + 4y4

 

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

7) x4 – 13x2 + 36

8) x4 + 3x2 – 2x + 3

9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12

8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8

9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

9) 4(x2 + 15x + 50) – (x2 + 18x + 74) – 3x2

Xem thêm:

Chia sẻ, đánh giá bài viết
208
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
3 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Bọ Cạp
    Bọ Cạp

    chuyên đề này khó nhưng thực sự rất hay

    Thích Phản hồi 04/11/22
  • Bé Heo
    Bé Heo

    rất hay gặp trong đề thi

    Thích Phản hồi 04/11/22
  • Bánh Quy
    Bánh Quy

    tài liệu hay

    Thích Phản hồi 04/11/22
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Bài tập Toán 8

Xem thêm