Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao được VnDoc biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến các cách phân tích đa thức thành nhân tử. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 8, Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết cần nhớ về phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

+ Tìm nhân tử chung là các đơn thức, đa thức có mặt trong các hạng tử

+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kèm dấu của chúng)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

+ Kết hợp các hạng tử thích hợp (có nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức) thành một nhóm

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc tách hạng tử

+ Vận dụng thêm bớt hạng tử một cách linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

+ Sự dụng các phương pháp theo thứ tự ưu tiên: đặt nhân tử chung -> dùng hằng đẳng thức - > nhóm nhiều hạng tử

B. Bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a, \({\left( {xy - 1} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}\)

b, \({a^3} + 2{a^2} + 2a + 1\)

c, \(\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a} \right) - a\left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right)\)

d, \({a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + ab - a - b\)

e, \(xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\)

f,  \(xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) + \left( {x + y + z} \right) - 1\)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức dưới đây, biết : \({x^2} - x - 6 = 0\)

\(A = {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1\)

Bài 3: Tìm x biết:

a, \(3{x^2} + 10x + 2 = 10\)

b, \({x^4} + 2{x^3} - 4x = 4\)

Bài 4: Chứng minh rằng nếu \({a^2} + {b^2} = 2ab\) thì \(a = b\)

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, \(\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) - 12\)

b, \(\left( {a - 2} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right)\left( {a - 8} \right) + 16\)

C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1:

a,

\(\begin{array}{l} {\left( {xy - 1} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2}{y^2} - 2xy + 1 + {x^2} + 2xy + {y^2} = {x^2}{y^2} + 1 + {x^2} + {y^2}\\ = \left( {{x^2}{y^2} + {x^2}} \right) + \left( {{y^2} + 1} \right) = {x^2}\left( {{y^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} + 1} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l} {a^3} + 2{a^2} + 2a + 1 = \left( {{a^3} + 1} \right) + \left( {2{a^2} + 2a} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right) + 2a\left( {a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1 + 2a} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) \end{array}\)

c,

\(\begin{array}{l} \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a} \right) - a\left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right) = 1 - 4{a^2} - a\left( {{a^2} - 4} \right)\\ = 1 - 4{a^2} - {a^3} + 4a = \left( {4a - 4{a^2}} \right) + \left( {1 - {a^3}} \right)\\ = 4a\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - a} \right)\left( {1 + a + {a^2}} \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {{a^2} + 5a + 1} \right) \end{array}\)

d,

\(\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + ab - a - b = \left( {{a^2} - {a^2}{b^2}} \right) - \left( {b - {b^2}} \right) - \left( {a - ab} \right)\\ = {a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) - b\left( {1 - b} \right) - a\left( {1 - b} \right) = \left( {1 - b} \right)\left( {{a^2} + {a^2}b - b - a} \right)\\ = \left( {1 - b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - a} \right) + \left( {{a^2}b - b} \right)} \right] = \left( {1 - b} \right)\left[ {a\left( {a - 1} \right) + b\left( {{a^2} - 1} \right)} \right]\\ = \left( {1 - b} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + ab + b} \right) \end{array}\)

e,

\(\begin{array}{l} xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x - z} \right) = {x^2}y + x{y^2} - {y^2}z - y{z^2} + {x^2}z - x{z^2}\\ = \left( {{x^2}y - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {{x^2}z - x{z^2}} \right)\\ = y\left( {x - z} \right)\left( {x + z} \right) + {y^2}\left( {x - z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\\ = \left( {x - z} \right)\left( {xy + yz + {y^2} + xz} \right) = \left( {x - z} \right)\left[ {y\left( {y + z} \right) + x\left( {y + z} \right)} \right]\\ = \left( {x - z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) \end{array}\)

f,

\(\begin{array}{l} xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) + \left( {x + y + z} \right) - 1\\ = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1\\ = \left( {xyz - xy} \right) - \left( {zx - x} \right) - \left( {yz - y} \right) + \left( {z - 1} \right)\\ = xy\left( {z - 1} \right) - x\left( {z - 1} \right) - y\left( {z - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\\ = \left( {z - 1} \right)\left( {xy - x - y + 1} \right) = \left( {z - 1} \right)\left[ {x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) \end{array}\)

Bài 2:

Có \({x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Lại có

\(\begin{array}{l} A = {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1 = \left( {{x^4} + {x^2}} \right) + \left( {2{x^3} + 2x} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\\ = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\\ = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \end{array}\)

Với x = -2 thì A = 5

Với x = 3 thì A = 160

Bài 3:

a,

\(\begin{array}{l} 3{x^2} + 10x + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 10x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x - 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 4} \right) - 2\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ x = - 4 \end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 4;\frac{2}{3}} \right\}\)

b,

\(\begin{array}{l} {x^4} + 2{x^3} - 4x = 4\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + {x^2} - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x - x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = - \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)

Bài 4:

Có \({a^2} + {b^2} = 2ab \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b\)

Bài 5:

a, \(\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) - 12\)

Đặt \(t = {a^2} + a\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) - 12 = {t^2} + 2t + t + 2 - 12 = {t^2} + 3t - 10\\ = {t^2} - 2t + 5t - 10 = t\left( {t - 2} \right) + 5\left( {t - 2} \right) = \left( {t + 5} \right)\left( {t - 2} \right)\\ = \left( {{a^2} + a + 5} \right)\left( {{a^2} + a - 2} \right) \end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l} \left( {a - 2} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right)\left( {a - 8} \right) + 16\\ = \left( {a - 2} \right)\left( {a - 8} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right) + 16\\ = \left( {{a^2} - 8a - 2a + 16} \right)\left( {{a^2} - 6a - 4a + 24} \right) + 16\\ = \left( {{a^2} - 10a + 16} \right)\left( {{a^2} - 10a + 24} \right) + 16 \end{array}\)

Đặt \(t = {a^2} - 10a\). Khi đó ra có:

\(\begin{array}{l} \left( {t + 16} \right)\left( {t + 26} \right) + 16 = {t^2} + 26t + 16t + 416 + 16\\ = {t^2} + 42t + 432 = {t^2} + 18t + 24t + 432\\ = t\left( {t + 18} \right) + 24\left( {t + 18} \right)\\ = \left( {t + 24} \right)\left( {t + 18} \right)\\ = \left( {{a^2} - 10a + 24} \right)\left( {{a^2} - 10a + 18} \right) \end{array}\)

----------

Trên đây là tài liệu về bài tập nâng cao Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài ra các em học sinh hoặc quý phụ huynh còn có thể tham khảo thêm đề thi học kì 1 lớp 8 và đề thi học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh,.... Những đề thi này được VnDoc.com sưu tầm và chọn lọc từ các trường tiểu học trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 8 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.