VnDoc.com

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

Giải Toán 8 Chương 1 Đại số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Bài tập nâng cao Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Lý thuyết cần nhớ về phân tích đa thức thành nhân tử
B. Bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử
C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao được VnDoc biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến các cách phân tích đa thức thành nhân tử. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 8, Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết cần nhớ về phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

– Tìm nhân tử chung là các đơn thức, đa thức có mặt trong các hạng tử

– Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kèm dấu của chúng)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

– Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung

3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

– Kết hợp các hạng tử thích hợp (có nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức) thành một nhóm

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc tách hạng tử

– Vận dụng thêm bớt hạng tử một cách linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

– Sử dụng các phương pháp theo thứ tự ưu tiên: đặt nhân tử chung → dùng hằng đẳng thức → nhóm nhiều hạng tử

B. Bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a, ${\left( {xy - 1} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}$ ${(x y - 1)}^{2} + {(x + y)}^{2}$

b, ${a^3} + 2{a^2} + 2a + 1$ $a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1$

c, $\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a} \right) - a\left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right)$ $(1 + 2 a) (1 - 2 a) - a (a + 2) (a - 2)$

d, ${a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + ab - a - b$ $a^{2} + b^{2} - a^{2} b^{2} + a b - a - b$

e, $xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x - z} \right)$ $x y (x + y) - y z (y + z) + x z (x - z)$

f, $xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) + \left( {x + y + z} \right) - 1$ $x y z - (x y + y z + z x) + (x + y + z) - 1$

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức dưới đây, biết : ${x^2} - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$

$A = {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1$ $A = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

Bài 3: Tìm x biết:

a, $3{x^2} + 10x + 2 = 10$ $3 x^{2} + 10 x + 2 = 10$

b, ${x^4} + 2{x^3} - 4x = 4$ $x^{4} + 2 x^{3} - 4 x = 4$

Bài 4: Chứng minh rằng nếu ${a^2} + {b^2} = 2ab$ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ thì $a = b$

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, $\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) - 12$ $(a^{2} + a + 1) (a^{2} + a + 2) - 12$

b, $\left( {a - 2} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right)\left( {a - 8} \right) + 16$ $(a - 2) (a - 4) (a - 6) (a - 8) + 16$

Bài 6: Tính hợp lí

a) A = 75 . 20,9 + 5² . 20,9

b) B = 86 . 15 + 150 . 1,4

c) C = 93 . 92 + 14 . 16

d) D = 98,6 . 199 - 990 . 9,86

e) 0,78 . 1 300 + 50 . 6,5 - 39

f) D = 0,12 . 90 - 110 . 0,6 + 36 - 25 . 6

Bài 7: Chứng minh rằng:

a) A = n²(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

b) B = (4n + 3)² – 25 luôn chia hết cho 8

c) C = 50^{n + 2} – 50^{n + 1} chia hết cho 245 với mọi số nguyên n.

Bài 8: Tìm tất cả các số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:

A = 5n³ – 9n² + 15n – 27

Bài 9: a) Chứng minh rằng 3¹⁵ + 3¹⁶ + 3¹⁷ chia hết cho 13.

b) Chứng minh rằng hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1:

a,

$\begin{array}{l} {\left( {xy - 1} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2}{y^2} - 2xy + 1 + {x^2} + 2xy + {y^2} = {x^2}{y^2} + 1 + {x^2} + {y^2}\\ = \left( {{x^2}{y^2} + {x^2}} \right) + \left( {{y^2} + 1} \right) = {x^2}\left( {{y^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} + 1} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} {(x y - 1)}^{2} + {(x + y)}^{2} = x^{2} y^{2} - 2 x y + 1 + x^{2} + 2 x y + y^{2} = x^{2} y^{2} + 1 + x^{2} + y^{2} \\ = (x^{2} y^{2} + x^{2}) + (y^{2} + 1) = x^{2} (y^{2} + 1) + (y^{2} + 1) = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1) \end{array}$

b,

$\begin{array}{l} {a^3} + 2{a^2} + 2a + 1 = \left( {{a^3} + 1} \right) + \left( {2{a^2} + 2a} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right) + 2a\left( {a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1 + 2a} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 1 = (a^{3} + 1) + (2 a^{2} + 2 a) \\ = (a + 1) (a^{2} - a + 1) + 2 a (a + 1) = (a + 1) (a^{2} - a + 1 + 2 a) \\ = (a + 1) (a^{2} + a + 1) \end{array}$

c,

$\begin{array}{l} \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a} \right) - a\left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right) = 1 - 4{a^2} - a\left( {{a^2} - 4} \right)\\ = 1 - 4{a^2} - {a^3} + 4a = \left( {4a - 4{a^2}} \right) + \left( {1 - {a^3}} \right)\\ = 4a\left( {1 - a} \right) + \left( {1 - a} \right)\left( {1 + a + {a^2}} \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {{a^2} + 5a + 1} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} (1 + 2 a) (1 - 2 a) - a (a + 2) (a - 2) = 1 - 4 a^{2} - a (a^{2} - 4) \\ = 1 - 4 a^{2} - a^{3} + 4 a = (4 a - 4 a^{2}) + (1 - a^{3}) \\ = 4 a (1 - a) + (1 - a) (1 + a + a^{2}) = (1 - a) (a^{2} + 5 a + 1) \end{array}$

d,

$\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - {a^2}{b^2} + ab - a - b = \left( {{a^2} - {a^2}{b^2}} \right) - \left( {b - {b^2}} \right) - \left( {a - ab} \right)\\ = {a^2}\left( {1 - {b^2}} \right) - b\left( {1 - b} \right) - a\left( {1 - b} \right) = \left( {1 - b} \right)\left( {{a^2} + {a^2}b - b - a} \right)\\ = \left( {1 - b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - a} \right) + \left( {{a^2}b - b} \right)} \right] = \left( {1 - b} \right)\left[ {a\left( {a - 1} \right) + b\left( {{a^2} - 1} \right)} \right]\\ = \left( {1 - b} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + ab + b} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} - a^{2} b^{2} + a b - a - b = (a^{2} - a^{2} b^{2}) - (b - b^{2}) - (a - a b) \\ = a^{2} (1 - b^{2}) - b (1 - b) - a (1 - b) = (1 - b) (a^{2} + a^{2} b - b - a) \\ = (1 - b) [(a^{2} - a) + (a^{2} b - b)] = (1 - b) [a (a - 1) + b (a^{2} - 1)] \\ = (1 - b) (a - 1) (a + a b + b) \end{array}$

e,

$\begin{array}{l} xy\left( {x + y} \right) - yz\left( {y + z} \right) + xz\left( {x - z} \right) = {x^2}y + x{y^2} - {y^2}z - y{z^2} + {x^2}z - x{z^2}\\ = \left( {{x^2}y - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {{x^2}z - x{z^2}} \right)\\ = y\left( {x - z} \right)\left( {x + z} \right) + {y^2}\left( {x - z} \right) + xz\left( {x - z} \right)\\ = \left( {x - z} \right)\left( {xy + yz + {y^2} + xz} \right) = \left( {x - z} \right)\left[ {y\left( {y + z} \right) + x\left( {y + z} \right)} \right]\\ = \left( {x - z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} x y (x + y) - y z (y + z) + x z (x - z) = x^{2} y + x y^{2} - y^{2} z - y z^{2} + x^{2} z - x z^{2} \\ = (x^{2} y - y z^{2}) + (x y^{2} - y^{2} z) + (x^{2} z - x z^{2}) \\ = y (x - z) (x + z) + y^{2} (x - z) + x z (x - z) \\ = (x - z) (x y + y z + y^{2} + x z) = (x - z) [y (y + z) + x (y + z)] \\ = (x - z) (x + y) (y + z) \end{array}$

f,

$\begin{array}{l} xyz - \left( {xy + yz + zx} \right) + \left( {x + y + z} \right) - 1\\ = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1\\ = \left( {xyz - xy} \right) - \left( {zx - x} \right) - \left( {yz - y} \right) + \left( {z - 1} \right)\\ = xy\left( {z - 1} \right) - x\left( {z - 1} \right) - y\left( {z - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\\ = \left( {z - 1} \right)\left( {xy - x - y + 1} \right) = \left( {z - 1} \right)\left[ {x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right)} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} x y z - (x y + y z + z x) + (x + y + z) - 1 \\ = x y z - x y - y z - z x + x + y + z - 1 \\ = (x y z - x y) - (z x - x) - (y z - y) + (z - 1) \\ = x y (z - 1) - x (z - 1) - y (z - 1) + (z - 1) \\ = (z - 1) (x y - x - y + 1) = (z - 1) [x (y - 1) - (y - 1)] \\ = (x - 1) (y - 1) (z - 1) \end{array}$

Bài 2:

Có ${x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 3 \end{array} \right.$ $x^{2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 x - 6 = 0 \Leftrightarrow (x + 2) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 3 \end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l} A = {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1 = \left( {{x^4} + {x^2}} \right) + \left( {2{x^3} + 2x} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\\ = {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\\ = \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} \end{array}$ $\begin{array}{l} A = x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 = (x^{4} + x^{2}) + (2 x^{3} + 2 x) + (x^{2} + 1) \\ = x^{2} (x^{2} + 1) + 2 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) \\ = (x^{2} + 1) {(x + 1)}^{2} \end{array}$

Với x = – 2 thì A = 5

Với x = 3 thì A = 160

Bài 3:

a,

$\begin{array}{l} 3{x^2} + 10x + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 10x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x - 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 4} \right) - 2\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} 3 x^{2} + 10 x + 2 = 10 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 10 x - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 12 x - 2 x - 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x (x + 4) - 2 (x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (3 x - 2) (x + 4) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{2}{3}\\ x = - 4 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2}{3} \\ x = - 4 \end{array}$

Vậy $S = \left\{ { - 4;\frac{2}{3}} \right\}$ $S = {- 4; \frac{2}{3}}$

b,

$\begin{array}{l} {x^4} + 2{x^3} - 4x = 4\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + {x^2} - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x - x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 2 \\ x = - \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} x^{4} + 2 x^{3} - 4 x = 4 \\ \Leftrightarrow x^{4} + 2 x^{3} - 4 x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} - (x^{2} + 4 x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow {(x^{2} + x)}^{2} - {(x + 2)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{2} + x - x - 2) (x^{2} + x + x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (x^{2} - 2) (x^{2} + 2 x + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{matrix} \end{array}$

Vậy $S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}$ $S = {- \sqrt{2}; \sqrt{2}}$

Bài 4:

Có ${a^2} + {b^2} = 2ab \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b$ $a^{2} + b^{2} = 2 a b \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} = 0 \Leftrightarrow {(a - b)}^{2} = 0 \Leftrightarrow a = b$

Bài 5:

a, $\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 2} \right) - 12$ $(a^{2} + a + 1) (a^{2} + a + 2) - 12$

Đặt $t = {a^2} + a$ $t = a^{2} + a$ . Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) - 12 = {t^2} + 2t + t + 2 - 12 = {t^2} + 3t - 10\\ = {t^2} - 2t + 5t - 10 = t\left( {t - 2} \right) + 5\left( {t - 2} \right) = \left( {t + 5} \right)\left( {t - 2} \right)\\ = \left( {{a^2} + a + 5} \right)\left( {{a^2} + a - 2} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} (t + 1) (t + 2) - 12 = t^{2} + 2 t + t + 2 - 12 = t^{2} + 3 t - 10 \\ = t^{2} - 2 t + 5 t - 10 = t (t - 2) + 5 (t - 2) = (t + 5) (t - 2) \\ = (a^{2} + a + 5) (a^{2} + a - 2) \end{array}$

b,

$\begin{array}{l} \left( {a - 2} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right)\left( {a - 8} \right) + 16\\ = \left( {a - 2} \right)\left( {a - 8} \right)\left( {a - 4} \right)\left( {a - 6} \right) + 16\\ = \left( {{a^2} - 8a - 2a + 16} \right)\left( {{a^2} - 6a - 4a + 24} \right) + 16\\ = \left( {{a^2} - 10a + 16} \right)\left( {{a^2} - 10a + 24} \right) + 16 \end{array}$ $\begin{array}{l} (a - 2) (a - 4) (a - 6) (a - 8) + 16 \\ = (a - 2) (a - 8) (a - 4) (a - 6) + 16 \\ = (a^{2} - 8 a - 2 a + 16) (a^{2} - 6 a - 4 a + 24) + 16 \\ = (a^{2} - 10 a + 16) (a^{2} - 10 a + 24) + 16 \end{array}$

Đặt $t = {a^2} - 10a$ $t = a^{2} - 10 a$ . Khi đó ra có:

$\begin{array}{l} \left( {t + 16} \right)\left( {t + 26} \right) + 16 = {t^2} + 26t + 16t + 416 + 16\\ = {t^2} + 42t + 432 = {t^2} + 18t + 24t + 432\\ = t\left( {t + 18} \right) + 24\left( {t + 18} \right)\\ = \left( {t + 24} \right)\left( {t + 18} \right)\\ = \left( {{a^2} - 10a + 24} \right)\left( {{a^2} - 10a + 18} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} (t + 16) (t + 26) + 16 = t^{2} + 26 t + 16 t + 416 + 16 \\ = t^{2} + 42 t + 432 = t^{2} + 18 t + 24 t + 432 \\ = t (t + 18) + 24 (t + 18) \\ = (t + 24) (t + 18) \\ = (a^{2} - 10 a + 24) (a^{2} - 10 a + 18) \end{array}$

----------

Chia sẻ, đánh giá bài viết

22

52.495

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

314 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
149 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

1 Bình luận

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

nếu như ngày nào đó em có đc anh
cái bài 1d ý hình như tính sai ý dêm dấu trừ ra ngoài phải đổi dấu chứ , nếu sai thì cho xl

Thích Phản hồi 0 08/01/24