Bài tập Nhân đa thức với đa thức nâng cao

Nhân đa thức với đa thức là dạng bài tập phổ biến trong chương trình Toán 8. Để giúp các em học tốt phần này, VnDoc gửi tới các bạn Bài tập Nhân đa thức với đa thức nâng cao được VnDoc biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến đơn thức với đa thức và phép nhân đa thức với đa thức. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 8, Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết nhân đa thức với đa thức

1. Tính chất liên hợp giữa phép cộng và phép nhân

+ Trong chương trình Toán học ở các lớp dưới, các bạn học sinh đã được học về tính chất liên hợp giữa phép cộng với phép nhân. Đó là:

A.(B + C) = A.B + A.C

Mở rộng: (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D

+ Nhân đa thức với đa thức ta cũng sẽ sử dụng tính chất mở rộng trên

2. Quy tắc nhân một đa thức với đa thức

+ Muốn nhân một đa thức với một đa thưc, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

3. Ví dụ minh họa nhân đơn thức với đa thức

Ví dụ: Làm tính nhân: \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 7} \right)\)

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 7} \right) = x\left( {{x^2} - 4x + 7} \right) + 3\left( {{x^2} - 4x + 7} \right)\\ = {x^3} - 4{x^2} + 7x + 3{x^2} - 12x + 21\\ = {x^3} - {x^2} - 5x + 21 \end{array}\)

4. Các dạng toán thường gặp

+ Dạng 1: Làm tính nhân đa thức với đa thức

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức

+ Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước

Phương pháp: Thay giá trị \({x_0}\) vào biểu thức \(f\left( x \right)\)

+ Dạng 3: Tìm x

Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để biến đổi biểu thức rồi đưa về các dạng tìm x cơ bản để tìm giá trị của x

B. Bài tập nâng cao nhân đa thức với đa thức

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x + c} \right)\)với a, b, c là các tham số

b, \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\)

c, \(\left( {a + 1} \right)\left( {{a^6} - {a^5} + {a^4} - {a^3} + {a^2} - a + 1} \right)\)

Bài 2: Tìm x, biết:

a, \(\left( {2x + 7} \right)\left( {5x + 6} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {10x + 17} \right) = \left( {x + 2} \right) - \left( {x - 7} \right)\)

b, \(4\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right) - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

c, \(\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right) + \left( {5 - x} \right)\left( {x + 4} \right) = 10\)

Bài 3: Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 0\). Chứng minh rằng A = B = C với

\(A = {a^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\)

\(B = {b^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}} \right)\)

\(C = {c^2}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {b^2}} \right)\)

Bài 4: Cho a + b + c = 2; ab + bc + ca = -5 và abc = 3. Hãy tính giá trị cửa biểu thức:

\(M = \left( {{x^2} + a} \right)\left( {{x^2} + b} \right)\left( {{x^2} + c} \right)\) với \(\left| x \right| = 1\)

Bài 5: Tìm các hệ số a, b, c thỏa mãn \(\left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 2cx + abc} \right) = {x^3} - 4{x^2} + 3x + \frac{9}{5}\) với mọi x

Bài 6: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:

C. Lời giải bài tập nâng cao nhân đa thức với đa thức

Bài 1:

a,

\(\begin{array}{l} \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x + c} \right) = \left( {{x^2} - bx - ac + ab} \right)\left( {x + c} \right)\\ = {x^3} - bcx - a{c^2} + abx + c{x^2} - cbx - a{c^2} + abc\\ = {x^3} + c{x^2} - 2bcx + abx - 2a{c^2} + abc \end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l} \left( {x + y} \right)\left( {{x^4} - {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4}} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left[ {{x^3}\left( {x - y} \right) + x{y^2}\left( {x - y} \right) + {y^4}} \right]\\ = {x^3}\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + x{y^2}\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {y^4}\left( {x + 4} \right)\\ = {x^3}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + x{y^2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {y^4}\left( {x + 4} \right)\\ = {x^5} - {x^3}{y^2} + {x^3}{y^2} - x{y^4} + x{y^4} + 4{y^4}\\ = {x^5} + 4{y^4} \end{array}\)

c,

\(\begin{array}{l} \left( {a + 1} \right)\left( {{a^6} - {a^5} + {a^4} - {a^3} + {a^2} - a + 1} \right)\\ = \left( {a + 1} \right)\left[ {{a^5}\left( {a - 1} \right) + {a^3}\left( {a - 1} \right) + a\left( {a - 1} \right) + 1} \right]\\ = {a^5}\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) + {a^3}\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) + a\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) + a + 1\\ = {a^5}\left( {{a^2} - 1} \right) + {a^3}\left( {{a^2} - 1} \right) + a\left( {{a^2} - 1} \right) + a + 1\\ = {a^7} - {a^5} + {a^5} - {a^3} + {a^3} - a + a + 1\\ = {a^7} + 1 \end{array}\)

Bài 2:

a,

\(\begin{array}{l} \left( {2x + 7} \right)\left( {5x + 6} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {10x + 17} \right) = \left( {x + 2} \right) - \left( {x - 7} \right)\\ \Leftrightarrow 10{x^2} + 12x + 35x + 42 - \left( {10{x^2} + 17x + 10x + 17} \right) = x + 2 - x + 7\\ \Leftrightarrow 10{x^2} + 12x + 35x + 42 - 10{x^2} - 17x - 10x - 17 = 9\\ \Leftrightarrow 20x = - 16 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{5}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - 4}}{5}} \right\}\)

b,

\(\begin{array}{l} 4\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right) - 8\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4x + 10} \right)\left( {2x - 3} \right) - \left( {8x - 8} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 12x + 20x - 30 - \left( {8{x^2} + 32x - 8x - 32} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 12x + 20x - 30 - 8{x^2} - 32x + 8x + 32 = 0\\ \Leftrightarrow - 16x = - 2 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{8}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{8}} \right\}\)

c,

\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right) + \left( {5 - x} \right)\left( {x + 4} \right) = 10\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 3x - 21 + \left( {5x + 20 - {x^2} - 4x} \right) = 10\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 + x + 20 - {x^2} = 10\\ \Leftrightarrow - 3x = 11 \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{ - 11}}{3}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - 11}}{3}} \right\}\)

Bài 3:

\(\begin{array}{l} A = {a^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^4} + {a^2}{b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\\ = {a^6} + {a^4}{c^2} + {a^4}{b^2} + {a^2}{b^2}{c^2}\\ = {a^4}\left( {{a^2} + {c^2} + {b^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2} = {a^2}{b^2}{c^2}\left( 1 \right) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} B = {b^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}} \right) = \left( {{b^4} + {b^2}{c^2}} \right)\left( {{b^2} + {a^2}} \right)\\ = {b^6} + {a^2}{b^4} + {b^4}{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2}\\ = {b^4}\left( {{b^2} + {a^2} + {c^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2} = {a^2}{b^2}{c^2}\left( 2 \right) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} C = {c^2}\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {b^2}} \right) = \left( {{c^4} + {a^2}{c^2}} \right)\left( {{c^2} + {b^2}} \right)\\ = {c^6} + {c^4}{b^2} + {a^2}{c^4} + {a^2}{b^2}{c^2}\\ = {c^4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {a^2}{b^2}{c^2} = {a^2}{b^2}{c^2}\left( 3 \right) \end{array}\)

Từ (1), (2), (3) suy ra A = B = C

Bài 4:

\(\begin{array}{l} M = \left( {{x^2} + a} \right)\left( {{x^2} + b} \right)\left( {{x^2} + c} \right) = \left( {{x^4} + b{x^2} + a{x^2} + ab} \right)\left( {{x^2} + c} \right)\\ = {x^6} + c{x^4} + b{x^4} + bc{x^2} + a{x^4} + ac{x^2} + ab{x^2} + abc\\ = {\left( {{x^2}} \right)^3} + \left( {a + b + c} \right){x^4} + \left( {ab + bc + ca} \right){x^2} + abc \end{array}\)

Có \(\left| x \right| = 1 \Rightarrow {\left( {{x^2}} \right)^3} = 1\)

Vậy M = 1 + 1.2 + 1. (-5) + 3 = 1

Bài 5:

\(\begin{array}{l} \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 2cx + abc} \right)\\ = a{x^3} - 2ac{x^2} + {a^2}bcx - 2bcx + a{b^2}c\\ = a{x^3} + \left( {{a^2}bc - 2ac} \right){x^2} - 2bcx + a{b^2}c \end{array}\)

Để \(\left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 2cx + abc} \right) = {x^3} - 4{x^2} + 3x + \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ {a^2}bc - 2ac = - 4\\ - 2bc = 3\\ a{b^2}c = \frac{9}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = \frac{{ - 6}}{5}\\ c = \frac{5}{4} \end{array} \right.\)

Bài 6.

Ta có:

T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 4x² + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x² + 3x + 1

= (4x²−4x²) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9)

= -8

Vậy giá trị của biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x

----------

Trên đây là tài liệu về bài tập nâng cao Toán 8: Nhân đa thức với đa thức, ngoài ra các em học sinh hoặc quý phụ huynh còn có thể tham khảo thêm đề thi học kì 1 lớp 8 và đề thi học kì 2 lớp 8... Những đề thi này được VnDoc.com sưu tầm và chọn lọc từ các trường tiểu học trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 8 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.