7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả

Toán lớp 8: Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Hệ Quả được VnDoc tổng hợp và chia sẻ. Trong suốt quá trình học từ Toán THCS đến đại học, người học toán thường xuyên sử dụng 7 hằng đẳng thức sau, gọi là hằng đẳng thức đáng nhớ (học sinh được học trong chương trình Toán lớp 8 ở THCS). Để hiểu thêm các em tham khảo nội dung chi tiết dưới đây nhé

Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Học thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Trong những hằng đẳng thức này, một bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc lũy thừa. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được in trong sách giáo khoa bậc trung học cơ sở ở Việt Nam và được in rất nhiều trong bìa sau của vở viết cấp II hoặc cấp III của học sinh.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

1. Bình phương của một tổng

{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}

2. Bình phương của một hiệu

{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}

3. Hiệu hai bình phương

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,} {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}

4. Lập phương của một tổng

{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,} {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}

5. Lập phương của một hiệu

{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,} {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}

6. Tổng hai lập phương

{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)}

7. Hiệu hai lập phương

{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a-b)^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)}

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...

Hệ quả 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

8. Tổng hai bình phương

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

9. Tổng hai lập phương

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

10. Bình phương của tổng 3 số hạng

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

11. Lập phương của tổng 3 số hạng

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Các hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc

(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a + b)

a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)

(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c)

a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)

(a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2

(a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2

(a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-a^{n-4}b^{3}+…+a^{2}b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1}) (1) với n là số lẻ thuộc tập N

a^n – b^n = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^2 + … + a^2b^{n – 3} + ab^{n – 2} + b^{n – 1} )

Nhị thức Newton

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C^{k}_{n}a^{n – k}b^{k}

Với\ a, b \epsilon \mathbb{R}, n \epsilon \mathbb{N}^{*}

9 dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x2 – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : Cmin = 4 khi x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x2

Giải.

Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2

Mà : -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : Dmax = 4 khi x = 2.

Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức

(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Giải.

VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.

Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x2 – 4x + 4 – y2

Giải.

Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2

= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]

= (x – 2)2 – y2 [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Bài 1: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Bài 2: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8 : Tìm x. biết :

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

Giải.

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0

( x – 3 ) (x2 – 4) = 0

( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0

( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0

x = 3 hay x = 2 hay x = –2

vậy : x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

Tính giá trị của phân thức M = \frac{x^3-1}{x^2 -2x+1} tại x = –1

Giải.

ta có : M = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}

= \frac{x^2+x+1}{x -1}

Khi x = -1 : M = \frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =\frac{-1}{2}

Vậy : M = =\frac{-1}{2} tại x = -1 .

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả được VnDoc chia sẻ trên đây là tài liệu hữu ích cho các em tham khảo trong chương trình Toán THCS khi lên các cấp cao hơn. Với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ này còn thể hiện vai trò là công cụ đem lại nhiều lợi ích khi áp dụng vào môn Toán và việc nắm chắc kiến thức này sẽ giúp các em giải toán một cách dễ dàng hơn.

....................................

Ngoài Toán lớp 8: 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 8 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
50 44.245
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán 8 - Giải Toán 8 Xem thêm