7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả

Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Hệ Quả là phần nội dung quan trọng được học trong chương trình Toán lớp 8. Sau đây, VnDoc sẽ gửi tới các em phần nội dung quan trọng về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, bao gồm: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương... Bên cạnh đó là các dạng toán liên quan. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em cùng tham khảo nhé.

Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Học thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Trong những hằng đẳng thức này, một bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc lũy thừa. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được in trong sách giáo khoa bậc trung học cơ sở ở Việt Nam và được in rất nhiều trong bìa sau của vở viết cấp II hoặc cấp III của học sinh.

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\)

\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2\)

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

1. Bình phương của một tổng

\({\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}\)

2. Bình phương của một hiệu

\({\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}\)

3. Hiệu hai bình phương

\({\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,} {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}\)

4. Lập phương của một tổng

\({\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,} {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}\)

5. Lập phương của một hiệu

\({\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,} {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}\)

6. Tổng hai lập phương

\({\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)}\)

7. Hiệu hai lập phương

\({\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a-b)^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)}\)

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...

Hệ quả 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

8. Tổng hai bình phương

\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)

9. Tổng hai lập phương

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)

10. Bình phương của tổng 3 số hạng

\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)

11. Lập phương của tổng 3 số hạng

\((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\)

Các hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

\((a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\)

\((a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc\)

\((a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc\)

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

\(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a + b)\)

\(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)

\((a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c)\)

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)

\((a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)\)

\((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2\)

\((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

\((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2\)

\((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

\(a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-a^{n-4}b^{3}+…+a^{2}b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})\) (1) với n là số lẻ thuộc tập N

\(a^n – b^n = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^2 + … + a^2b^{n – 3} + ab^{n – 2} + b^{n – 1} )\)

Nhị thức Newton

\((a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C^{k}_{n}a^{n – k}b^{k}\)

\(Với\ a, b \epsilon \mathbb{R}, n \epsilon \mathbb{N}^{*}\)

9 dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x² – 4x + 4 = A = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x² – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

Mà : (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : C_min = 4 khi x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x²

Giải.

Ta có : D = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 + x² – 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà : -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)² ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : D_max = 4 khi x = 2.

Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Giải.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) ->đpcm.

Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Trên đây, VnDoc đã chia sẻ tới các bạn Toán lớp 8: 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả. Hy vọng thông qua tài liệu này các em sẽ dễ dàng ôn tập các công thức, từ đó áp dụng tốt vào giải bài tập liên quan tới 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8. Chúc các em học tốt, nếu thấy tài liệu hữu ích, hãy chia sẻ cho các bạn cùng tham khảo với nhé.

Ngoài tài liệu trên, mời các em tham khảo thêm tài liệu các môn Toán 8 và các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc, sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt