Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang

Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang cung cấp các phần nội dung quan trọng giúp các em học sinh nắm vững kiến thức để giải các bài toán. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích về chủ đề định lý talet, mời các bạn tham khảo để có thể vận dụng vào giải các bài tập Toán liên quan. 

Tỉ số hai đoạn thẳng

Lý thuyết về tỉ số hai đoạn thẳng

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là _{\(\dfrac{AB}{CD}\)}

Đoạn thẳng tỉ lệ: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức:

\(\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}\) hay \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{CD}{C'D'}\)

Định lý Talet trong tam giác

Định lý Talet thuận trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

\(B'C'//BC\Rightarrow\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC};\frac{BB'}{AB}=\frac{CC'}{AC};\frac{AB'}{BB'}=\frac{AC'}{CC'}\)

Định lý Talet đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC nếu:

\(\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}\)

\(\frac{AB'}{BB'}=\frac{AC'}{CC'}\)

\(\frac{BB'}{AB}=\frac{CC'}{AC}\)

\(\Rightarrow B'C'//BC\)

Hệ quả của định lí Talet

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

\(\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}\)

Định lí Talet trong hình thang

Nếu một đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên thì nó định ra trên hai cạnh bên đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cho hình thang ABCD, điểm E thuộc AD và F thuộc BC

Nếu EF // AB // CD, ta có \(\frac{AE}{DE}=\frac{BF}{CF}\)

Ngược lại, nếu: \(\frac{AE}{DE}=\frac{BF}{CF}\) => EF // AB// CD

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB < CD. Đường thẳng MN // với 2 đáy cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M và N. Biết AD = 2cm, AM = 3cm, BC = 6cm. Tìm độ dài BN.

Giải: Vì hình thang ABCD có AB // CD // MN

Theo định lý Talet trong hình thang ABCD ta có,

\(\Rightarrow\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BC}\Rightarrow BN=\frac{AM.BC}{AD}=\frac{3.6}{2}=9\)

Bài tập tự luyện

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1. Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 6 cm; CD = 10 cm.

b) AB = 2dm; MN = 4cm.

c) MN = 12 cm; PQ = 2dm

Bài 2: Tìm giá trị của x trên hình vẽ.

A. x = 3

B. x = 2,5

B. x = 1

D. x = 3,5

Bài 3: Cho hình vẽ, trong đó DE // BC, AE = 12, DB = 18, CA = 36. Độ dài AB bằng:

A. 30

B. 36

C. 25

D. 27

Câu hỏi tự luận

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. Tính AB, AC, HC biết AH = 4cm, HB = 3cm

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD. Dùng định lý Talet để chứng minh 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD, từ D kẻ DK // BC (K thuộc AB), DK cắt AC tại M. Vẽ CF // AD (F thuộc AB). Qua F kẻ FP // AC (P thuộc BC). Chứng minh MP // AB

Bài tập 4: Cho tam giac ABC có M là trung điểm của AB, Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của AC

Bài tập 5: Áp dụng định lý Talet. Cho tam giác ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Tính AE/AC

Bài tập 6: Trên cạnh BC của hình vuông ABCD, lấy một đoạn BE = 1/3BC. Trên tia đối của tia CD, lấy một điểm F sao cho CF = 1/2BC, M là giao điểm của AE và BF. Chứng minh AM vuông góc với CM.

Bài 7: Hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng: MN = PQ.

Bài 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD theo thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a) MN // AB

b) MN=CD-AB/2

Bài 10: Hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD) cĩ 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB//CD,AB<CD). Gọi M l trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM v AC.

a) Chứng minh: IK // AB.

b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh: EI = IK = KF.

Bài 12: Cho hình thang ABCD có BC // AD. Trên AC kéo dài lấy 1 điểm P tùy ý . Đường thẳng qua P và trung điểm của BC cắt AB tại M và đường thẳng qua P và trung điểm của AD cắt CD tại N. Chứng minh rằng MN // AD.

Bài 13: Tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Gọi G là trọng tâm DABC. Nối GC cắt MN tại O . Chứng minh rằng : OC = 3 OG

Bài 14. Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN// BC

Bài 15. Cho các đoạn thẳng AB = 4 cm; CD = 8cm; MN = 20cm; PQ = x cm. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ?