7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức giải toán 8

Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Công thức Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8. Bộ tài liệu tổng hợp các công thức khai triển hằng đẳng thức và các bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết giúp bạn đọc củng cố và nâng cao kiến thức Đại số 8. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Bình phương của một tổng

${{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$ ${{\left( A+B \right)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}$

Phát biểu thành lời: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích hai số và cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa:

$a. {{x}^{2}}+6x+9={{x}^{2}}+2.x.3+{{3}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}$ $a. {{x}^{2}}+6x+9={{x}^{2}}+2.x.3+{{3}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}$

$b. 4{{x}^{2}}+20x+25={{\left( 2x \right)}^{2}}+2.2x.5+{{5}^{2}}={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}$ $b. 4{{x}^{2}}+20x+25={{\left( 2x \right)}^{2}}+2.2x.5+{{5}^{2}}={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}$

$c. {{\left( 3x+1 \right)}^{2}}={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.1+{{1}^{2}}=9{{x}^{2}}+6x+1$ $c. {{\left( 3x+1 \right)}^{2}}={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.1+{{1}^{2}}=9{{x}^{2}}+6x+1$

$d. {{\left( 1+2x \right)}^{2}}={{1}^{2}}+2.1.2x+{{\left( 2x \right)}^{2}}=1+4x+4{{x}^{2}}$ $d. {{\left( 1+2x \right)}^{2}}={{1}^{2}}+2.1.2x+{{\left( 2x \right)}^{2}}=1+4x+4{{x}^{2}}$

2. Bình phương của một hiệu

${{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$ ${{\left( A-B \right)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}$

Phát biểu thành lời: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích hai số và cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa:

$a. {{\left( 3-2x \right)}^{2}}={{3}^{2}}-3.2.2x+{{\left( 2x \right)}^{2}}=9-12x+4{{x}^{2}}$ $a. {{\left( 3-2x \right)}^{2}}={{3}^{2}}-3.2.2x+{{\left( 2x \right)}^{2}}=9-12x+4{{x}^{2}}$

$b. {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}}={{x}^{2}}-4x+4$ $b. {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}}={{x}^{2}}-4x+4$

$c. {{x}^{2}}{{y}^{2}}-16x{{y}^{2}}+64{{y}^{2}}={{\left( xy \right)}^{2}}-2.\left( xy \right).8y+{{\left( 8y \right)}^{2}}={{\left( xy-8y \right)}^{2}}$ $c. {{x}^{2}}{{y}^{2}}-16x{{y}^{2}}+64{{y}^{2}}={{\left( xy \right)}^{2}}-2.\left( xy \right).8y+{{\left( 8y \right)}^{2}}={{\left( xy-8y \right)}^{2}}$

3. Hiệu hai bình phương

${{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A-B \right)\left( A+B \right)$ ${{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A-B \right)\left( A+B \right)$

Phát biểu thành lời: Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu của hai số đó.

Ví dụ minh họa

$a. 25-4{{x}^{2}}={{\left( 5 \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}=\left( 5-2x \right)\left( 5+2x \right)$ $a. 25-4{{x}^{2}}={{\left( 5 \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}=\left( 5-2x \right)\left( 5+2x \right)$

$b. \left( 2x+y \right)\left( y-2x \right)=\left( y-2x \right)\left( y+2x \right)={{y}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}={{y}^{2}}-4{{x}^{2}}$ $b. \left( 2x+y \right)\left( y-2x \right)=\left( y-2x \right)\left( y+2x \right)={{y}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}={{y}^{2}}-4{{x}^{2}}$

4. Lập phương của một tổng

${{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}$ ${{\left( A+B \right)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}$

Phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai rồi cộng với lập phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa

$a. {{\left( x+2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2y+3.x.{{\left( 2y \right)}^{2}}+{{\left( 2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}+8{{y}^{3}}$ $a. {{\left( x+2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2y+3.x.{{\left( 2y \right)}^{2}}+{{\left( 2y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}+8{{y}^{3}}$

$b. {{\left( 1+y \right)}^{3}}={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}.y+3.1.{{y}^{2}}+{{y}^{3}}=1+3y+3{{y}^{2}}+{{y}^{3}}$ $b. {{\left( 1+y \right)}^{3}}={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}.y+3.1.{{y}^{2}}+{{y}^{3}}=1+3y+3{{y}^{2}}+{{y}^{3}}$

$c. {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2+3.x{{.2}^{2}}+{{2}^{3}}={{\left( x+2 \right)}^{3}}$ $c. {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+8={{x}^{3}}+3.{{x}^{2}}.2+3.x{{.2}^{2}}+{{2}^{3}}={{\left( x+2 \right)}^{3}}$

5. Lập phương của một hiệu

${{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$ ${{\left( A-B \right)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}$

Phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai rồi trừ với lập phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa

$a. {{\left( x-y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}$ $a. {{\left( x-y \right)}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}$

$b. (2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}})-({{y}^{3}}{{x}^{3}}+1)=2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}-1=1-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}$ $b. (2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}})-({{y}^{3}}{{x}^{3}}+1)=2-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}-1=1-3xy+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{3}}{{y}^{3}}$

$=1-{{3.1}^{2}}.xy+3.1.{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( xy \right)}^{3}}={{\left( 1-xy \right)}^{3}}$ $=1-{{3.1}^{2}}.xy+3.1.{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( xy \right)}^{3}}={{\left( 1-xy \right)}^{3}}$

6. Tổng của hai lập phương

${{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)$ ${{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)$

Phát biểu thành lời: Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.

Ví dụ minh họa

$a. {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)$ $a. {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)$

$b. {{\left( 2x-1 \right)}^{3}}=\left( 2x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)$ $b. {{\left( 2x-1 \right)}^{3}}=\left( 2x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)$

7. Hiệu của hai lập phương

${{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$ ${{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)$

Phát biểu thành lời: Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.

Ví dụ minh họa

$1-8{{x}^{3}}={{1}^{3}}-{{\left( 2x \right)}^{3}}=\left( 1-2x \right)\left( 1+2x+4{{x}^{2}} \right)$ $1-8{{x}^{3}}={{1}^{3}}-{{\left( 2x \right)}^{3}}=\left( 1-2x \right)\left( 1+2x+4{{x}^{2}} \right)$

8. Hằng đẳng thức mở rộng:

${{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC$ ${{\left( A+B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}+2AB+2BC+2AC$
${{\left( A-B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-2AB-2BC+2AC$ ${{\left( A-B+C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-2AB-2BC+2AC$
${{\left( A-B-C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-2AB+2BC+2AC$ ${{\left( A-B-C \right)}^{2}}={{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-2AB+2BC+2AC$

--------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức Những hằng đẳng thức đáng nhớ thuộc môn Toán 8.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

1.075

Bài trước

Bài sau