Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề Toán học lớp 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 8 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 8. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

A. 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Ví dụ:

a) Tính (a + 3)2.

b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Hướng dẫn:

a) Ta có: (a + 3)2 = a2 + 2.a.3 + 32 = a2 + 6a + 9.

b) Ta có x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2.

2. Bình phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Ví dụ:

a) Tính (5x -y)2

b) Viết biểu thức 4x2 - 4x + 1 dưới dạng bình phương của một hiệu

Hướng dẫn:

a) Ta có (5x -y)2 = (5x)2 - 2.5x.y + (y)2 = 25x2 - 10xy + y2.

b) Ta có 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 - 2.2x.1 + 1 = (2x - 1)2.

3. Hiệu hai bình phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A2 - B2 = (A - B)(A + B).

Ví dụ:

a) Tính (x - 2)(x + 2).

b) Tính 56.64

Hướng dẫn:

a) Ta có: (x - 2)(x + 2) = (x)2 - 22 = x2 - 4.

b) Ta có: 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602 - 42 = 3600 - 16 = 3584.

4. Lập phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.

Ví dụ:

a) Tính (x + 2)3.

b) Viết biểu thức x3 + 3x2 + 3x + 1 dưới dạng lập phương của một tổng.

Hướng dẫn:

a) Ta có (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

b) Ta có x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3x2.1 + 3x.12 + 13 = (x + 1)3.

5. Lập phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3.

Ví dụ:

a) Tính (2x - 1)3.

b) Viết biểu thức x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.

Hướng dẫn:

a) Ta có: (2x - 1)3 = (2x)3 - 3.( 2x )2.1 + 3(2x).12 - 13 = 8x3 - 12x2 + 6x - 1

b) Ta có : x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x)3 - 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3

6. Tổng hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).

Chú ý: Ta quy ước A2 - AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A - B.

Ví dụ:

a) Tính 33 + 43.

b) Viết biểu thức (x + 1)(x2 - x + 1) dưới dạng tổng hai lập phương.

Hướng dẫn:

a) Ta có: 33 + 43 = (3 + 4)(32 - 3.4 + 42) = 7.13 = 91.

b) Ta có: (x + 1)(x2 - x + 1) = x3 + 13 = x3 + 1.

7. Hiệu hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).

Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A + B.

Ví dụ:

a) Tính 63 - 43.

b) Viết biểu thức (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 63 - 43 = (6 - 4)(62 + 6.4 + 42) = 2.76 = 152.

b) Ta có : (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = (x)3 - (2y)3 = x3 - 8y3.

B. Các dạng Toán thường gặp

1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức A = x2 - 50x + 625 tại x = 25

Lời giải:

Ta có A = x2 - 50x + 625 = (x - 25)2. Thay x = 25 vào A có A = (25 - 25)2 = 0

2. Dạng 2: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

 dụ: Chứng minh biểu thức A = (x - 2)2 + (x - 1)(3 - x) có giá trị không phụ thuộc vào biến

Lời giải: 

Có A = (x - 2)2 + (x - 1)(3 - x) = x2 - 4x + 4 + 3x - x2 - 3 + x = 4

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 - 6x + 10

Lời giải:

A = x2 - 6x + 10 = x2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)2 + 1 

Có (x - 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x - 3)2 + 1 ≥ 1 với mọi x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 3

Vậy min A = 1 khi và chỉ khi x = 3

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2x - x2

Lời giải:

B = 2x - x2 + 1 - 1 = -(x - 1)2 + 1

Có (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x nên -(x - 1)2 ≤ 0 với mọi x. Suy ra -(x - 1)2 + 1 ≤ 1 với mọi x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Vậy max B = 1 khi và chỉ khi x = 1

4. Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng (x + y)3 - (x - y)3 = 2y(3x2 + y2)

Lời giải:

Xét vế trái có: (x + y)3 - (x - y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3

= 2y3 + 6x2y = 2y(3x2 + y2) = VP (đpcm)

5. Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 - 6x2 + 9x

Lời giải:

Có A = x3 - 6x2 + 9x = x(x2 - 6x + 9) = x(x - 3)2

6. Dạng 6: Tìm giá trị của x

Ví dụ: Tìm x, biết: x2 - 6x - 7= 0

Lời giải:

x2 - 6x - 7 = 0

x2 - 6x + 9 - 16 = 0

(x - 3)2 = (±4)2

TH1: x - 3 = 4

x = 7

TH2: x - 3 = -4

x = -1

C. Trắc nghiệm & Tự luận Toán 8

1. Trắc nghiệm 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Điền vào chỗ trống: A = (1/2x - y)2 = 1/4x2 - ... + y2

A. 2xy B. xy C. - 2xy D. 1/2 xy

Hướng dẫn:

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Khi đó ta có A = (1/2x - y)2 = 1/4x2 - 2.1/2x.y + y2 = 1/4x2 - xy + y2.

Suy ra chỗ trống cần điền là xy.

Chọn đáp án B.

Bài 2: Điều vào chỗ trống: ... = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1):

A. 1 - 8x3 B. 1 - 4x3 C. x3 - 8 D. 8x3 - 1

Hướng dẫn:

Áp dụng hằng đẳng thức a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Khi đó ta có (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) = (2x - 1)[(2x)2 + 2x.1 + 1] = (2x)3 - 1 = 8x3 - 1.

Suy ra chỗ trống cần điền là 8x3 - 1.

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 tại x = 2 và y = -1.

A. 1 B. 8 C. 27 D. -1

→ Hướng dẫn:

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Khi đó ta có:

A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.(2x).y2 + y3 = (2x + y)3

Với x = 2 và y = -1 ta có A = (2.2 - 1)3 = 33 = 27.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A = 352 - 700 + 102.

A. 252 B. 152 C. 452 D. 202

→ Hướng dẫn:

Ta có A = 352 - 700 + 102 = 352 - 2.35.10 + 102

Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Khi đó A = (35 - 10)2 = 252.

Chọn đáp án A.

Bài 5: Giá trị của x thỏa mãn 2x2 - 4x + 2 = 0 là?

A. x = 1 B. x = - 1 C. x = 2 D. x = - 2

Hướng dẫn:

Ta có 2x2 - 4x + 2 = 0 ⇔ 2(x2 - 2x + 1) = 0 (1)

Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Khi đó ta có (1) ⇔ 2(x - 1)2 = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.

Chọn đáp án A.

2. Tự luận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A=\frac{{35}^2-{15}^2}{{57}^2-{37}^2} b) B=\frac{4^2+6^2+48}{{20}^2+{10}^2-400}

Hướng dẫn:

a) Ta có:

A=\frac{{35}^2-{15}^2}{{57}^2-{37}^2} =\frac{(35-15)(35+15)}{(57-37)(57+37)}=\frac{20.50}{20.94}=\frac{25}{47}

(áp dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a + b)(a - b))

Vậy A = 25/47

b) Ta có:

B=\frac{4^2+6^2+48}{{20}^2+{10}^2-400} =\frac{4^2+2.4.6+6^2}{{20}^2-2.20.10+{10}^2}=\frac{(4+6)^2}{(20 - 10)^2}=\frac{10^2}{10^2}=1

(áp dụng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2)

Vậy B = 1

Bài 2: Tìm x biết

a) (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 0.

b) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = - 10.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng các hằng đẳng thức (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3.

(a - b)(a + b) = a2 - b2.

Khi đó ta có (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 0.

⇔ x3 - 33 + x(22 - x2) = 0 ⇔ x3 - 27 + x(4 - x2) = 0

⇔ x3 - x3 + 4x - 27 = 0

⇔ 4x - 27 = 0 ⇔ x = 27/4.

Vậy giá trị x cần tìm là x= 27/4 .

b) Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Khi đó ta có: (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = - 10.

⇔ (x3 + 3x2 + 3x + 1) - (x3 - 3x2 + 3x - 1) - 6(x2 - 2x + 1) = - 10

⇔ 6x2 + 2 - 6x2 + 12x - 6 = - 10

⇔ 12x = - 6 ⇔ x = - 1/2.

Vậy giá trị x cần tìm là x= - 1/2

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 8, Giải bài tập Toán lớp 8, Giải VBT Toán lớp 8VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc

Đánh giá bài viết
2 1.104
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Chuyên đề Toán 8 Xem thêm