Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 5: Hình chữ nhật - Hình vuông

Sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 5: Hình chữ nhật - Hình vuông hướng dẫn giải cho các câu hỏi trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo, giúp các em luyện giải Toán 8 hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Giải Toán 8 CTST bài 5: Hình chữ nhật - Hình vuông

1. Hình chữ nhật
2. Hình vuông

1. Hình chữ nhật

Hoạt động 1

Dùng thước đo góc để đo số đo các góc $\widehat {\rm{A}}, \widehat {\rm{B}}, \widehat {\rm{C}}, \widehat {\rm{D}}$ $\widehat {\rm{A}}, \widehat {\rm{B}}, \widehat {\rm{C}}, \widehat {\rm{D}}$ ở Hình 1 và rút ra nhận xét và số đo của chúng.

Bài giải

Sau khi đo, ta thấy bốn góc $\widehat {\rm{A}}, \widehat {\rm{B}}, \widehat {\rm{C}}, \widehat {\rm{D}}$ $\widehat {\rm{A}}, \widehat {\rm{B}}, \widehat {\rm{C}}, \widehat {\rm{D}}$ có số đo bằng nhau và bằng 90^\circ

Hoạt động 2

Cho ABCD là hình chữ nhật.

a) Chứng minh AB // CD và AD // BC

b) Tam giác ABD và tam giác BAC có bằng nhau không? Vì sao?

Bài giải

a) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)

Suy ra AB = CD ; AD = BC , $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {DCB} = \widehat {ADC} = 90^\circ$ $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {DCB} = \widehat {ADC} = 90^\circ$

Xét $\Delta ABC$ $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$ $\Delta CDA$ ta có:

AB = CD (gt)

$\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ADC}}}$ $\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ADC}}}$ (cmt)

BC = AD (gt)

Suy ra $\Delta ABC = \Delta CDA (c-g-c)$ $\Delta ABC = \Delta CDA (c-g-c)$

Suy ra $\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}$ $\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}$ và $\widehat {{\rm{ACB}}} = \widehat {{\rm{CAD}}}$ $\widehat {{\rm{ACB}}} = \widehat {{\rm{CAD}}}$ (hai cạnh tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra AB // CD ; BC // AD

b) Xét $\Delta ABD$ $\Delta ABD$ và $\Delta BAC$ $\Delta BAC$ ta có:

AB chung

$\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{ABC}}}$ $\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{ABC}}}$ (cmt)

AD = BC (cmt)

Suy ra $\Delta ABD = \Delta BAC (c-g-c)$ $\Delta ABD = \Delta BAC (c-g-c)$

Thực hành 1 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho biết a, b, d lần lượt là độ dài các cạnh và đường chéo của một hình chữ nhật. Thay dấu ? trong bảng sau bằng giá trị thích hợp

a	8	$\sqrt{15}$ $\sqrt{15}$	?
b	6	?	5
d	?	$\sqrt{24}$ $\sqrt{24}$	13

Bài giải

a	8	$\sqrt{15}$ $\sqrt{15}$	12
b	6	3	5
d	10	$\sqrt{24}$ $\sqrt{24}$	13

Vận dụng 1 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế.

Bài giải

mặt bàn học hình chữ nhật, mặt chiếc đồng hồ hình chữ nhật, cửa sổ hình chữ nhật, cái chiếu hình chữ nhật

Thực hành 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Chỉ được sử dụng compa, hãy kiểm tra tứ giác ở Hình 6 có phải là hình chữ nhật hay không.

Giải Thực hành 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

- Ta kiểm tra các cặp cạnh đối xem chúng có bằng nhau không

Nếu các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành

- Sau đó: Kiểm tra hai đường chéo xem chúng bằng nhau không

Nếu hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Vận dụng 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

a) Hãy sử dụng eke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không.

b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không

Giải Vận dụng 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

a) Ta dùng eke kiểm tra xem ba góc của khung cửa sổ có vuông hay không, nếu có 3 góc vuông thì góc còn lại cũng sẽ vuông, do đó khung cửa sổ là hình chữ nhật

b) Ta dùng cuộn dây kiểm tra xem các cặp cạnh đối của khung cửa sổ có bằng nhau hay không, nếu bằng nhau thì khung cửa sổ là hình bình hành

Ta tiếp tục kiểm tra xem độ dài hai đường chéo của khung cửa sổ có bằng nhau không, nếu bằng nhau thì đó là hình chữ nhật

2. Hình vuông

Thực hành 3 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm hình vuông trong hai hình sau:

Giải Thực hành 3 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

Xét tứ giác MNPQ có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , suy ra MNPQ là hình bình hành. Ta lại có MP vông góc với NQ nên MNPQ là hình thoi suy ra AB = BC = CD = AD (1)

Mặt khác, No là đường trung tuyến ứng với cạnh MP, $NO=\frac{1}{2}MP$ $NO=\frac{1}{2}MP$ nên tam giác MNP vuông tại N hay $\widehat{MNP}=90^{\circ}$ $\widehat{MNP}=90^{\circ}$

Tương tự ta có: $\widehat{NPQ}=\widehat{MQP}=\widehat{NMQ}=\widehat{MNP}=90^{\circ}$ $\widehat{NPQ}=\widehat{MQP}=\widehat{NMQ}=\widehat{MNP}=90^{\circ}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác URST có: UR = RS = ST = UT, $\widehat{URS}=90^{\circ}$ $\widehat{URS}=90^{\circ}$ suy ra URST là hình vuông

Vận dụng 3 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế

Bài giải

một mặt của khối rubik, gạch lát nền, cái đĩa hình vuông, khung ảnh hình vuông

Thực hành 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Trong Hình 12, cho biết ABCD là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có ba góc vuông

b) HE = HG

c) Tứ giác EFGH là một hình vuông

Giải Thực hành 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

a) Có ABCD là hình vuông (gt)

=> $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$ $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$

AB = BC = DC =AD mà AE = BF = CG = HD (gt)

=> EB = CF = DG = AH

Xét tam giác AEH và tam giác BFE

có AE = BF(gt)

$\widehat{A}=\widehat{B}$ $\widehat{A}=\widehat{B}$(cmt)

EB = AH(cmt)

=> $\Delta AEH = \Delta BFE$ $\Delta AEH = \Delta BFE$ (c-g-c)

=> HE = FE (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự ta có:

$\Delta AHE = \Delta DGH$ $\Delta AHE = \Delta DGH$ (c-g-c)=> HE = HG(2 cạnh tương ứng) (2)

$\Delta DHG = \Delta CGF$ $\Delta DHG = \Delta CGF$ (c-g-c)=> HG = GF (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) => HE = EF = GF = HG

=> EFGH là hình thoi (vì là tứ giác có 4 cạnh = nhau)

$\Delta AHE = \Delta BEF (cmt) => \widehat{BEF}=\widehat{AHE}$ $\Delta AHE = \Delta BEF (cmt) => \widehat{BEF}=\widehat{AHE}$ (2 góc tương ứng)

mà $\widehat{AHE}+\widehat{AEH}=90^{\circ}$ $\widehat{AHE}+\widehat{AEH}=90^{\circ}$ (vì tam giác AHE vuông tại A)

=> $\widehat{BEF}+\widehat{AEH}=90^{\circ}$ $\widehat{BEF}+\widehat{AEH}=90^{\circ}$

có $\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^{\circ}=> \widehat{HEF}=90^{\circ}$ $\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^{\circ}=> \widehat{HEF}=90^{\circ}$

Hình thoi EFGH có $\widehat{HEF}=90^{\circ}$ $\widehat{HEF}=90^{\circ}$

=> EFGH là hình vuông

Vận dụng 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Giải Vận dụng 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

Mặt đồng hồ có ba góc vuông suy ra mặt đồng hồ là hình chữ nhật

Lại có, hai cạnh kề bằng nhau suy ra mặt đồng hồ là hình vuông

3. Bài tập

Bài tập 1 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình 14. Tìm x

Giải Bài tâp 1 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

ΔABC vuông tại A có: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ (định lí Pytago)

⇒ $BC^{2}=6^{2}+8^{2}⇒BC^{2}=100$ $BC^{2}=6^{2}+8^{2}⇒BC^{2}=100$ hay BC = 10 (cm)

Mà AM= $\frac{1}{2}BC$ $\frac{1}{2}BC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Nên AM= $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ x 10=5(cm)

Vậy x=5cm

Bài tập 2 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải Bài tâp 2 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Bài giải

Giải Bài tâp 2 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Cách vẽ:

Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho HP=HM

Chứng minh:

Tứ giác MNQP có QN và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác $\widehat{NMQ}=90^{\circ}$ $\widehat{NMQ}=90^{\circ}$ (gt) ⇒ Tứ giác MNQP là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Bài tập 3 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Bài giải

Giải Bài tâp 3 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)

I là trung điểm của AC (gt);

Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)

Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà $\widehat{AHC}=90^{\circ}$ $\widehat{AHC}=90^{\circ}$ (AH là đường cao của tam giác ABC)

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) MAHC có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)

Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)

Mà HI cắt AM tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC ⇒ $HG=\frac{2}{3}HI; GI=\frac{1}{3}HI$ $HG=\frac{2}{3}HI; GI=\frac{1}{3}HI$ (1)

ΔAEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

⇒K là trọng tâm của tam giác AEC ⇒ $KE=\frac{2}{3}IE;KI=\frac{1}{3}IE$ $KE=\frac{2}{3}IE;KI=\frac{1}{3}IE$ (2)

HI=IE (E đối xứng với H qua I) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HG=KE= $\frac{2}{3}IE$ $\frac{2}{3}IE$

Ta có: $GK=GI+IK=\frac{1}{3}IE+\frac{1}{3}IE=\frac{2}{3}IE\Rightarrow HG=KE=GK(=\frac{2}{3}IE)$ $GK=GI+IK=\frac{1}{3}IE+\frac{1}{3}IE=\frac{2}{3}IE\Rightarrow HG=KE=GK(=\frac{2}{3}IE)$

Bài tập 4 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E∈AC,F∈AB).

a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.

b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.

Bài giải

Giải Bài tập 4 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

a) Tứ giác AEDF có:

AE // DF (AC // FD, E∈AC)

AF // DE (AB // DE, F∈AB)

⇒AEDF là hình bình hành.

Mà $\widehat{FAE}=90^{\circ}$ $\widehat{FAE}=90^{\circ}$ (ΔABC vuông tại A)

Nên AEDF là hình chữ nhật.

b) ΔABC có D là trung điểm của BC và FD // AC ⇒F là trung điểm của AB.

ΔABC có D là trung điểm của BC và DE // AB ⇒E là trung điểm của AC

⇒ EFlà đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF//BC và EF= $\frac{1}{2}BC$ $\frac{1}{2}BC$

Lại có BD= $\frac{1}{2}BC$ $\frac{1}{2}BC$ (Vì D là trung điểm của BC)

⇒ EF//BD và EF=BD

Vậy tứ giác BFED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài tập 5 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác.

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Giải Bài tập 5 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời