Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 1: Định lí Pythagore

Sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 1: Định lí Pythagore hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 58, 59, 60, 61, 62, giúp các em nắm vững kiến thức trong bài, luyện giải Toán 8 hiệu quả.

Giải Toán 8 CTST bài 1: Định lí Pythagore

Khởi động trang 58 Toán 8 Tập 1:
1. Định lí Pythagore
2. Định lí Pythagore đảo
3. Vận dụng định lí Pythagore
- Thực hành 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
- Vận dụng 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
4. Giải bài tập trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Trắc nghiệm Toán 8 CTST bài 1

Khởi động trang 58 Toán 8 Tập 1:

Hãy so sánh diện tích hình vuông màu xanh với tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng.

Khởi động trang 58 Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

Hướng dẫn giải:

Hình vuông màu xanh có diện tích là: 5² = 25 (đơn vị diện tích).

Hình vuông màu đỏ có diện tích là: 4² = 16 (đơn vị diện tích).

Hình vuông màu vàng có diện tích là: 3² = 9 (đơn vị diện tích).

Tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng là: 16 + 9 = 25 (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích hình vuông màu xanh bằng tổng diện tích của hai hình vuông màu đỏ và màu vàng.

1. Định lí Pythagore

Khám phá 1 trang 58 Toán 8 Tập 1:

Cho một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c.

‒ Lấy một tờ bìa lớn, cắt tám hình tam giác vuông bằng tam giác vuông đã cho và cắt hai hình vuông lớn cùng có cạnh bằng a + b.

‒ Đặt bốn tam giác vuông lên hình vuông thứ nhất như trong Hình 1a. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh lần lượt là a và b. Tính diện tích phần bìa đó theo a và b.

‒ Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên hình vuông thứ hai như trong Hình 1b. Phần bìa không bị che lấp là hình vuông có cạnh là c. Tính diện tích phần bìa đó theo c.

‒ Rút ra kết luận về quan hệ giữa a² + b² và c².

Khám phá 1 trang 58 Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

Hướng dẫn giải:

• Diện tích hình vuông có cạnh bằng a là: a² (đơn vị diện tích).

Diện tích hình vuông có cạnh bằng b là: b² (đơn vị diện tích).

Diện tích phần bìa không bị che lấp trong hình vuông lớn ở Hình 1a là:

a² + b² (đơn vị diện tích).

• Diện tích phần bìa không bị che lấp trong hình vuông lớn ở Hình 1b chính là diện tích hình vuông có cạnh bằng c, và bằng: c² (đơn vị diện tích).

• Trong cả hai hình đều đặt bốn tam giác vuông lên hai hình vuông lớn có cạnh bằng a + b.

Khi đó diện tích phần bìa không bị che lấp của cả hai hình sẽ bằng nhau.

Do đó a² + b² = c².

Thực hành 1 trang 59 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tính độ dài cạnh EF, MN của các tam vuông trong Hình 3

Giải Thực hành 1 trang 59 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DEF vuông tại D ta có:

$EF^{2}=DF^{2}+DE^{2}=12^{2}+5^{2}=169$ $EF^{2}=DF^{2}+DE^{2}=12^{2}+5^{2}=169$

Vậy EF = 13 cm

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MNP vuông tại M ta có:

$NP^{2}=MN^{2}+MP^{2} \Rightarrow MN^{2}=NP^{2}-MP^{2}=4^{2}-3^{2}=7$ $NP^{2}=MN^{2}+MP^{2} \Rightarrow MN^{2}=NP^{2}-MP^{2}=4^{2}-3^{2}=7$

Vậy MN = $\sqrt{7}$ $\sqrt{7}$ cm

Vận dụng 1 trang 59 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Một chiếc ti vi màn hình phẳng có chiều rộng và chiều dài đo được lần lượt là 72 cm và 120 cm. Tính độ dài đường chéo của chiếc ti vi đó theo đơn vị inch (biết 1 inch $\approx$ $\approx$ 2.54 cm)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pythagore, ta có độ dài đường chéo của chiếc ti vi là:

$\sqrt{72^{2}+120^{2}}=24\sqrt{34}(cm)\approx 55 inch$ $\sqrt{72^{2}+120^{2}}=24\sqrt{34}(cm)\approx 55 inch$

2. Định lí Pythagore đảo

Khám phá 2 trang 59 Toán 8 Tập 1:

Vẽ vào vở tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 5 cm, BC = 13 cm, rồi xác định số đo $\widehat {BAC}$ $\widehat {BAC}$ bằng thước đo góc

Hướng dẫn giải:

Ta vẽ tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 5 cm, BC = 13 cm như sau:

• Vẽ đoạn thẳng AB = 12 cm;

• Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5 cm và cung tròn tâm B bán kính 13 cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại một điểm, điểm này là điểm C.

Khám phá 2 trang 59 Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

Dùng thước đo góc (đặt thước như hình vẽ trên) ta xác định được $\widehat {BAC}$ $\widehat {BAC}$ =90° .

Thực hành 2 trang 60 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm tam giác vuông trong các tam giác sau:

a) Tam giác EFK có EF = 9m, FK = 12 m, EK = 15 m

b) Tam giác PQR có PQ = 17 cm, QR = 12 cm, PR = 10 cm

c) Tam giác DEF có DE = 8 m, DF = 6 m, EF = 10m

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $15^{2}=12^{2}+9^{2}$ $15^{2}=12^{2}+9^{2}$ suy ra $EK^{2}=FK^{2}+EF^{2}$ $EK^{2}=FK^{2}+EF^{2}$. Vậy tam giác EFK vuông tại F

b) Ta có PQ là cạnh dài nhất và $17^{2} \neq 12^{2}+10^{2}$ $17^{2} \neq 12^{2}+10^{2}$, suy ra $PQ^{2}\neq QR^{2}+PR^{2}$ $PQ^{2}\neq QR^{2}+PR^{2}$. Vậy tam giác PQR không phải tam giác vuông

c) Ta có: $10^{2}=8^{2}+6^{2}$ $10^{2}=8^{2}+6^{2}$ suy ra $EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}$ $EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}$. Vậy tam giác DEF vuông tại D

Vận dụng 2 trang 60 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

a) Nam dự định làm một cái eke từ ba thanh nẹp gỗ. Nam đã có hai thanh làm hai cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Hỏi thanh nẹp còn lại Nam phải làm có độ dài bao nhiêu? (Giả sử các mối nối không đáng kể).

b) Một khung gỗ ABCD (Hình 6) được tạo thành từ 5 thanh nẹp có độ dài như sau AB = CD = 36 cm; BC = AD = 48 cm; AC = 60 cm. Chứng minh rằng $\widehat{ABC};\widehat{ADC}$ $\widehat{ABC};\widehat{ADC}$ là các góc vuông.

Giải Vận dụng 2 trang 60 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

a) Thanh nẹp còn lại có độ dài là: $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(cm)$ $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(cm)$

b) Xét tam giác ABC có: $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ suy ra $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại B

Xét tam giác ACD có: $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ $60^{2}=36^{2}+48^{2}$ suy ra $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$ $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại D

3. Vận dụng định lí Pythagore

Thực hành 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tính các độ dài PN và BC trong Hình 9

Giải Thực hành 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPM vuông tại P ta có:

$OM^{2}=OP^{2}+MP^{2}$ $OM^{2}=OP^{2}+MP^{2}$ suy ra $OP^{2}=OM^{2}-MP^{2}=25^{2}-7^{2}=576$ $OP^{2}=OM^{2}-MP^{2}=25^{2}-7^{2}=576$

Do đó OP = 24 cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OPN vuông tại P ta có:

$ON^{2}=OP^{2}+PN^{2}$ $ON^{2}=OP^{2}+PN^{2}$ suy ra $PN^{2}=ON^{2}-OP^{2}=30^{2}-24^{2}=324$ $PN^{2}=ON^{2}-OP^{2}=30^{2}-24^{2}=324$

Do đó PN = 18 cm

b)

Giải Thực hành 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Kẻ CH vuông góc với AB ta có: CH = AD = 4 cm, AH = CD = 7cm, HB = AB - AH = 10 - 7 = 3 (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác CBH ta có:

$BC^{2}=CH^{2}+HB^{2}=4^{2}+3^{2}=25$ $BC^{2}=CH^{2}+HB^{2}=4^{2}+3^{2}=25$

Vậy BC = 5 cm

Vận dụng 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tính ciều dài cần cẩu AB trong Hình 10

Giải Vận dụng 3 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

Ta có: AC = 5 - 2 = 3 (m)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có:

$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$

Vậy độ dài cần cẩu AB là 5 m

4. Giải bài tập trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bài tập 1 trang 61 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tính độ dài cạnh BC nếu biết AB = 7 cm, AC = 24 cm

b) Tính độ dài cạnh AB nếu biết AC = 2 cm, BC = $\sqrt{13}$ cm

c) Tính độ dài cạnh AC nếu biết BC = 25 cm, AB = 15 cm

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

a) suy ra $BC^{2}= 7^{2}+24^{2}=625$ $BC^{2}= 7^{2}+24^{2}=625$. Vậy BC = 25 cm

b) suy ra $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=(\sqrt{13})^{2}-2^{2}=9$ $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=(\sqrt{13})^{2}-2^{2}=9$. Vậy AB = 3 cm

c) suy ra $AC^{2}=Bc^{2}-AB^{2}=25^{2}-15^{2}=400$ $AC^{2}=Bc^{2}-AB^{2}=25^{2}-15^{2}=400$. Vậy AC = 20 cm

Bài tập 2 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tính độ cao của con diều so với mặt đất (Hình 11).

Giải Bài tập 2 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ suy ra

$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=50^{2}-25^{2}=187$ $AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=50^{2}-25^{2}=187$

Do đó $AC=25\sqrt{3}$ $AC=25\sqrt{3}$ (m)

Độ cao của con diều so với mặt đất là $25\sqrt{3}+1\approx 44.3$ $25\sqrt{3}+1\approx 44.3$ (m)

Bài tập 3 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Lần lượt tính độ dài các cạnh huyền a, b, c, d của các tam giác vuông trong hình 12. Hãy dự đoán kết quả của các cạnh huyền còn lại

Giải Bài tập 3 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông, ta có:

$a^{2}=1^{2}+1^{2}=2.$ $a^{2}=1^{2}+1^{2}=2.$ Mà a > 0 do đó: $a =\sqrt{2}$ $a =\sqrt{2}$

$b^{2}=1^{2}+a^{2}=1+2=3$ $b^{2}=1^{2}+a^{2}=1+2=3$. Mà b > 0 do đó $b=\sqrt{3}$ $b=\sqrt{3}$

$c^{2}=b^{2}+1=3+1=4$ $c^{2}=b^{2}+1=3+1=4$. Mà c > 0 do đó c = 2

$d^{2}=c^{2}+1=4+1=5$ $d^{2}=c^{2}+1=4+1=5$. Mà d > 0 do đó: $d=\sqrt{5}$ $d=\sqrt{5}$

Dự đoán độ dài các cạnh huyền còn lại lần lượt là:

$e=\sqrt{6}, f=\sqrt{7},g=\sqrt{8},h=3,$ $e=\sqrt{6}, f=\sqrt{7},g=\sqrt{8},h=3,$

$i=\sqrt{10},j=\sqrt{11},k=\sqrt{12},l=\sqrt{13},m=\sqrt{14}$ $i=\sqrt{10},j=\sqrt{11},k=\sqrt{12},l=\sqrt{13},m=\sqrt{14}$

Bài tập 4 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông trong các trường hợp sau:

a) AB = 8cm, AC = 15cm, BC = 17cm;

b) AB = 29cm, AC = 21cm, BC = 20cm;

c) AB = 12cm, AC = 37cm, BC = 35cm.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $17^{2}=8^{2}+15^{2}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ $17^{2}=8^{2}+15^{2}\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại A

b) Ta có: $29^{2}=21^{2}+20^{2}\Rightarrow AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ $29^{2}=21^{2}+20^{2}\Rightarrow AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại C

c) Ta có: $37^{2}=12^{2}+35^{2}\Rightarrow AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ $37^{2}=12^{2}+35^{2}\Rightarrow AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$. Vậy tam giác ABC vuông tại B

Bài tập 5 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho biết thang của một xe cứu hỏa có chiều dài 13 cm, chân thang cách mặt đất 3m, và cách tường của tòa nhà 5 m. Tính chiều cao mà thang có thể vươn tới.

Giải Bài tập 5 trang 62 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời