Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải Toán 8 CTST

Giải Toán 8 CTST Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Tính chất đường phân giác của tam giác
- Khám phá trang 55 Toán 8 Tập 2:
2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác
- Thực hành trang 56 Toán 8 Tập 2:
Bài tập

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3 Tính chất đường phân giác của tam giác hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Khám phá trang 55 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt đường thẳng AC tại E (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) Tam giác BAE cân tại A.

b) $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$ $\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A C} .$

Hướng dẫn giải

a) Vì BE//AD nên $\widehat {EBA} = \widehat {BAD}$ $\hat{E B A} = \hat{B A D}$ (cặp góc so le trong) (1)

Vì BE//AD nên $\widehat {BEA} = \widehat {DAC}$ $\hat{B E A} = \hat{D A C}$ (cặp góc đồng vị) (2)

Vì AD là tia phân giác nên $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ $\hat{B A D} = \hat{D A C}$ (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$ $\hat{E B A} = \hat{A E B}$

Xét tam giác BAE có:

$\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$ $\hat{E B A} = \hat{A E B}$ (chứng minh trên)

Nên tam giác BAE cân tại A.

b) Vì BE//AD nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}}.$ $\frac{B D}{D C} = \frac{A E}{A C} .$

Mà tam giác BAE cân tại A nên AE = AB $\Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ $\Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A C}$ (định lí Thales)

Do đó, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ $\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C} = \frac{A B}{A C}$ (điều phải chứng minh).

2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác

Thực hành trang 56 Toán 8 Tập 2:

Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6.

Hướng dẫn giải

Vì MN là phân giác của góc PMQ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{PN}}{{QN}} = \frac{{MP}}{{MQ}} \Leftrightarrow \frac{4}{5} = \frac{7}{{MQ}} \Rightarrow MQ = \frac{{5.7}}{4} = \frac{{35}}{4}.$ $\frac{P N}{Q N} = \frac{M P}{M Q} \Leftrightarrow \frac{4}{5} = \frac{7}{M Q} \Rightarrow M Q = \frac{5.7}{4} = \frac{35}{4} .$

Vậy $MQ = \frac{{35}}{4}$ $M Q = \frac{35}{4}$

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 8 Tập 2:

Tính độ dài x trong Hình 7.

Hướng dẫn giải

a) Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{2,4}} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{{2,4.5}}{3} = 4.$ $\frac{C D}{B D} = \frac{A C}{A B} \Leftrightarrow \frac{x}{2, 4} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{2, 4.5}{3} = 4.$

Vậy x = 4.

b) Ta có: $GH + HF = GF \Rightarrow HF = GF - GH = 20 - x$ $G H + H F = G F \Rightarrow H F = G F - G H = 20 - x$

Vì EH là phân giác của góc GEF nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{GE}}{{EF}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 - x}} = \frac{{18}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 - x}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x = 3.\left( {20 - x} \right)$ $\frac{G H}{H F} = \frac{G E}{E F} \Leftrightarrow \frac{x}{20 - x} = \frac{18}{12} \Leftrightarrow \frac{x}{20 - x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2 x = 3. (20 - x)$

$\Leftrightarrow 2x = 60 - 3x \Leftrightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12$ $\Leftrightarrow 2 x = 60 - 3 x \Leftrightarrow 5 x = 60 \Rightarrow x = 12$

Vậy x = 12.

c) Vì RS là phân giác của góc RPQ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{PS}}{{SQ}} = \frac{{PR}}{{RQ}} \Leftrightarrow \frac{5}{6} = \frac{{10}}{x} \Rightarrow x = \frac{{10.6}}{5} = 12.$ $\frac{P S}{S Q} = \frac{P R}{R Q} \Leftrightarrow \frac{5}{6} = \frac{10}{x} \Rightarrow x = \frac{10.6}{5} = 12.$

Vậy x = 12.

Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Tam giác ABC có AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa \Delta ADB và \Delta ADC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - BD

Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 - 6BD$ $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} \Leftrightarrow \frac{B D}{10 - B D} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8 B D = 6. (10 - B D) \Rightarrow 8 B D = 60 - 6 B D$

$\Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}$ $\Leftrightarrow 8 B D + 6 B D = 60 \Leftrightarrow 14 B D = 60 \Rightarrow B D = \frac{60}{14} = \frac{30}{7}$

$\Rightarrow DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}$ $\Rightarrow D C = 10 - \frac{30}{7} = \frac{40}{7}$

Vậy $BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm.$ $B D = \frac{30}{7} c m; D C = \frac{40}{7} c m .$

b) Kẻ $AE \bot BC \Rightarrow AE$ $A E ⊥ B C \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác ABC.

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE$ $A E ⊥ B C \Rightarrow A E ⊥ B D \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác ADB

Diện tích tam giác ADB là:

${S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE$ $S_{A D B} = \frac{1}{2} B D . A E$

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE$ $A E ⊥ B C \Rightarrow A E ⊥ D C \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác ADC

Diện tích tam giác ADC là:

${S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE$ $S_{A D C} = \frac{1}{2} D C . A E$

Ta có: $\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}.$ $\frac{S_{A D B}}{S_{A D C}} = \frac{\frac{1}{2} A E . B D}{\frac{1}{2} A E . C D} = \frac{B D}{D C} = \frac{\frac{30}{7}}{\frac{40}{7}} = \frac{3}{4} .$

Vậy tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ $Δ A D B$ và $\Delta ADC$ $Δ A D C$ là $\frac{3}{4}.$ $\frac{3}{4} .$

Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 25 - BD$ $B D + D C = B C \Rightarrow D C = B C - B D = 25 - B D$

Vì $A D$ là phân giác của góc $B A C$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{25 - BD}} = \frac{{15}}{{20}} \Leftrightarrow 20.BD = 15.\left( {25 - BD} \right) \Rightarrow 20.BD = 375 - 15.BD$ $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} \Leftrightarrow \frac{B D}{25 - B D} = \frac{15}{20} \Leftrightarrow 20. B D = 15. (25 - B D) \Rightarrow 20. B D = 375 - 15. B D$

$\Leftrightarrow 20BD + 15BD = 375 \Leftrightarrow 35BD = 375 \Rightarrow BD = \frac{{375}}{{35}} = \frac{{75}}{7}$ $\Leftrightarrow 20 B D + 15 B D = 375 \Leftrightarrow 35 B D = 375 \Rightarrow B D = \frac{375}{35} = \frac{75}{7}$

$\Rightarrow DC = 25 - \frac{{75}}{7} = \frac{{100}}{7}$ $\Rightarrow D C = 25 - \frac{75}{7} = \frac{100}{7}$

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm$ $B D = \frac{75}{7} c m; D C = \frac{100}{7} c m$ .

Vì $D E / / A B$ nên $\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{25}} = \frac{{DE}}{{15}} \Leftrightarrow DE = \frac{{100}}{7}.15:25 = \frac{{60}}{7}$ $\frac{D C}{B C} = \frac{D E}{A B} \Rightarrow \frac{\frac{100}{7}}{25} = \frac{D E}{15} \Leftrightarrow D E = \frac{100}{7} .15 : 25 = \frac{60}{7}$ (hệ quả của định lí Thales).

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm;DE = \frac{{60}}{7}cm$ $B D = \frac{75}{7} c m; D C = \frac{100}{7} c m; D E = \frac{60}{7} c m$ .

b) Xét tam giác $A B C$ có:

$B{C^2} = {25^2} = 625;A{C^2} = {20^2} = 400;A{B^2} = {15^2} = 225$ $B C^{2} = 25^{2} = 625; A C^{2} = 20^{2} = 400; A B^{2} = 15^{2} = 225$

$\Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ $\Rightarrow B C^{2} = A C^{2} + A B^{2}$

Do đó, tam giác $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ .

c) Diện tích tam giác $A B C$ là

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.15.20 = 150\left( {c{m^2}} \right)$ $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} .15 .20 = 150 (c m^{2})$ .

Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A B C$ ta có:

$\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{\frac{{75}}{7}}}{{25}} = \frac{3}{7}$ $\frac{B D}{B C} = \frac{\frac{75}{7}}{25} = \frac{3}{7}$ và có chung chiều cao hạ từ đỉnh $A$ . Do đó, diện tích tam giác $A D B$ bằng $\frac{3}{7}$ $\frac{3}{7}$ diện tích tam giác $A B C$ .

Diện tích tam giác $A D B$ là:

${S_{ADB}} = 150.\frac{3}{7} = \frac{{450}}{7}\left( {c{m^2}} \right)$ $S_{A D B} = 150. \frac{3}{7} = \frac{450}{7} (c m^{2})$ .

Diện tích tam giác $A C D$ là:

${S_{ACD}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - \frac{{450}}{7} = \frac{{600}}{7}$ $S_{A C D} = S_{A B C} - S_{A D B} = 150 - \frac{450}{7} = \frac{600}{7}$

Vì $ED//AB \Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{\frac{{75}}{{100}}}} = \frac{4}{3}$ $E D / / A B \Rightarrow \frac{C E}{A E} = \frac{C D}{B D} = \frac{\frac{100}{7}}{\frac{75}{100}} = \frac{4}{3}$

Xét tam giác $A D E$ và tam giác $D C E$ ta có:

$\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{4}{3}$ $\frac{C E}{A E} = \frac{4}{3}$ và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ $D$ .

Do đó, $\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DCE}}}} = \frac{4}{3}$ $\frac{S_{A D E}}{S_{D C E}} = \frac{4}{3}$ .

Diện tích tam giác $A D E$ là

${S_{ADE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).4 = \frac{{2400}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$ $S_{A D E} = \frac{600}{7} : (3 + 4) .4 = \frac{2400}{49} (c m^{2})$

${S_{DCE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).3 = \frac{{1800}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$ $S_{D C E} = \frac{600}{7} : (3 + 4) .3 = \frac{1800}{49} (c m^{2})$ .

Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Bài 5 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.

Hướng dẫn giải:

Vì MD là tia phân giác của góc $\widehat {AMB}$ $\hat{A M B}$ nên $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{BM}}$ $\frac{A D}{D B} = \frac{A M}{B M}$ (1)

Vì ME là tia phân giác của góc $\widehat {AMC}$ $\hat{A M C}$ nên $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AM}}{{MC}}$ $\frac{A E}{E C} = \frac{A M}{M C}$ (2);

Mà M là trung điểm của BC nên BM = MC (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}$ $\Rightarrow \frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E C}$

Xét tam giác ABC có: $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}$ $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{E C}$

Do đó, DE//BC (Định lí Thales đảo).

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

147

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Chuột nhắt

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

410 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!