Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt đường thẳng AC tại E (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) Tam giác BAE cân tại A.

b) \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Vì BE//AD nên \(\widehat {EBA} = \widehat {BAD}\) (cặp góc so le trong) (1)

Vì BE//AD nên \(\widehat {BEA} = \widehat {DAC}\) (cặp góc đồng vị) (2)

Vì AD là tia phân giác nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\) (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {AEB}\)

Xét tam giác BAE có:

\(\widehat {EBA} = \widehat {AEB}\) (chứng minh trên)

Nên tam giác BAE cân tại A.

b) Vì BE//AD nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}}.\)

Mà tam giác BAE cân tại A nên AE = AB \(\Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (điều phải chứng minh).

2. Áp dụng tính chia tỉ lệ của đường phân giác của tam giác

Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6.

Hướng dẫn giải

Vì MN là phân giác của góc PMQ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{PN}}{{QN}} = \frac{{MP}}{{MQ}} \Leftrightarrow \frac{4}{5} = \frac{7}{{MQ}} \Rightarrow MQ = \frac{{5.7}}{4} = \frac{{35}}{4}.\)

Vậy \(MQ = \frac{{35}}{4}\)

Bài 1 trang 56 Toán 8 Tập 2:

Tính độ dài x trong Hình 7.

Hướng dẫn giải

a) Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{2,4}} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{{2,4.5}}{3} = 4.\)

Vậy x = 4.

b) Ta có: \(GH + HF = GF \Rightarrow HF = GF - GH = 20 - x\)

Vì EH là phân giác của góc GEF nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{GE}}{{EF}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 - x}} = \frac{{18}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 - x}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x = 3.\left( {20 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow 2x = 60 - 3x \Leftrightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12\)

Vậy x = 12.

c) Vì RS là phân giác của góc RPQ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{PS}}{{SQ}} = \frac{{PR}}{{RQ}} \Leftrightarrow \frac{5}{6} = \frac{{10}}{x} \Rightarrow x = \frac{{10.6}}{5} = 12.\)

Vậy x = 12.

Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Tam giác ABC có AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa \Delta ADB và \Delta ADC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 10 - BD

Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 - 6BD\)

\(\Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}\)

\(\Rightarrow DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}\)

Vậy \(BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm.\)

b) Kẻ\(AE \bot BC \Rightarrow AE\) là đường cao của tam giác ABC.

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE\) là đường cao của tam giác ADB

Diện tích tam giác ADB là:

\({S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE\)

Vì \(AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE\)là đường cao của tam giác ADC

Diện tích tam giác ADC là:

\({S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\) là \(\frac{3}{4}.\)

Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Bài 5 trang 57 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.

Bài tiếp theo: Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7