Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Giải Toán 8 CTST

Giải Toán 8 CTST Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông tổng hợp đáp án cho các câu hỏi trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Hoạt động 1

a) Từ trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác, xét xem tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và tam giác $M N P$ vuông tại $M$ có $\widehat B = \widehat N$ $\hat{B} = \hat{N}$ thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

b) Từ trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác, xét xem nếu tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và tam giác $M N P$ vuông tại $M$ có $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ $\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P}$ thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $A B C$ và tam giác $M N P$ ta có:

$\widehat B = \widehat N$ $\hat{B} = \hat{N}$ (giả thuyết)

$\widehat A = \widehat M = 90^\circ$ $\hat{A} = \hat{M} = 90^{\circ}$ .

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ $Δ A B C ∽ Δ M N P$ (g.g)

b) Xét tam giác $A B C$ và tam giác $M N P$ ta có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ $\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P}$ (giả thuyết)

$\widehat A = \widehat M = 90^\circ$ $\hat{A} = \hat{M} = 90^{\circ}$ .

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ $Δ A B C ∽ Δ M N P$ (c.g.c).

Thực hành 1

Cho tam giác $D E F$ vuông tại $D$ có $D H$ là đường cao (Hình 3). Chứng minh rằng $D{E^2} = EH.EF$ $D E^{2} = E H . E F$

Hướng dẫn giải

Vì $DH \bot EF \Rightarrow \widehat {DHE} = 90^\circ$ $D H ⊥ E F \Rightarrow \hat{D H E} = 90^{\circ}$

Xét tam giác $D E H$ và tam giác $F E D$ ta có:

$\widehat E$ $\hat{E}$ chung

$\widehat {DHE} = \widehat {EDF} = 90^\circ$ $\hat{D H E} = \hat{E D F} = 90^{\circ}$ .

Do đó, $\Delta DEH\backsim\Delta FED$ $Δ D E H ∽ Δ F E D$ (g.g)

Suy ra, $\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{EH}}{{DE}} \Rightarrow D{E^2} = EF.EH$ $\frac{D E}{E F} = \frac{E H}{D E} \Rightarrow D E^{2} = E F . E H$ (điều phải chứng minh).

Vận dụng 1

Tính chiều cao của cột cờ trong hoạt động khởi động trang 73.

Hướng dẫn giải

Cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là như nhau. Do đó, $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ $\hat{E F D} = \hat{B C A}$ .

Xét tam giác $D E F$ và tam giác $A B C$ ta có:

$\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ $\hat{E F D} = \hat{B C A}$ (chứng minh trên)

$\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ $\hat{E D F} = \hat{B A C} = 90^{\circ}$ .

Do đó, $\Delta DEF\backsim\Delta ABC$ $Δ D E F ∽ Δ A B C$ (g.g)

Suy ra, $\frac{{FD}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{1,8}}{6} = \frac{{2,4}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{6.2,4}}{{1,8}} = 8$ $\frac{F D}{A C} = \frac{E D}{A B} \Leftrightarrow \frac{1, 8}{6} = \frac{2, 4}{A B} \Rightarrow A B = \frac{6.2, 4}{1, 8} = 8$ .

Vậy cột cờ $A B$ cao 8m.

Hoạt động 2

Cho hai tam giác vuông ABC và DEF có các kích thước như Hình 4.

a) Hãy tính độ dài cạnh AC và DF.

b) So sánh các tỉ số $\frac{{AB}}{{DE}};\frac{{AC}}{{DF}}$ $\frac{A B}{D E}; \frac{A C}{D F}$ và $\frac{{BC}}{{EF}}.$ $\frac{B C}{E F} .$

c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow {6^2} + A{C^2} = {10^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow AC = 8.$ $\Leftrightarrow 6^{2} + A C^{2} = 10^{2} \Leftrightarrow A C^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64 \Leftrightarrow A C = 8.$

Xét tam giác DEF vuông tại D ta có:

$D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}$ $D E^{2} + D F^{2} = E F^{2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow {9^2} + D{F^2} = {15^2} \Leftrightarrow D{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Leftrightarrow DF = 12.$ $\Leftrightarrow 9^{2} + D F^{2} = 15^{2} \Leftrightarrow D F^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144 \Leftrightarrow D F = 12.$

b) Tỉ số:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}; \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$ $\frac{A B}{D E} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}; \frac{A C}{D F} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}; \frac{B C}{E F} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} .$

Do đó, $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}.$ $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{2}{3} .$

c) Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}$ $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta DEF (c.c.c)$ $Δ A B C ∽ Δ D E F (c . c . c)$

Thực hành 2

Trong Hình 6, tam giác nào đồng dạng với tam giác DEF?

Hướng dẫn giải

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}.$ $\frac{D E}{A C} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}; \frac{E F}{B C} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} .$

Xét tam giácDEF và tam giácABC có:

$\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{4}$ $\frac{D E}{A C} = \frac{E F}{B C} = \frac{3}{4}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta DEF\backsim\Delta ABC.$ $Δ D E F ∽ Δ A B C .$

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}.$ $\frac{D E}{M N} = \frac{6}{3} = 2; \frac{E F}{N P} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} .$

Vì $\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}$ $\frac{D E}{M N} \neq \frac{E F}{N P}$ nên hai tam giác DEF và MNP không đồng dạng với nhau.

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}.$ $\frac{D E}{R S} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}; \frac{E F}{S T} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} .$

Vì $\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}$ $\frac{D E}{R S} \neq \frac{E F}{S T}$ nên hai tam giác DEF và SRT không đồng dạng với nhau.

Vận dụng 2

Trong Hình 7, biết $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $Δ M N P ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{{MN}}{{AB}}$ $k = \frac{M N}{A B}$ , hai đường cao tương ứng là MK và AH.

a) Chứng minh rằng $\Delta MNK\backsim\Delta ABHvà \frac{{MK}}{{AH}} = k.$ $Δ M N K ∽ Δ A B H v à \frac{M K}{A H} = k .$

b) Gọi ${S_1}$ $S_{1}$ là diện tích tam giác MNP và ${S_2}$ $S_{2}$ là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = {k^2}.$ $\frac{S_{1}}{S_{2}} = k^{2} .$

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $Δ M N P ∽ Δ A B C$ nên $\widehat B = \widehat N$ $\hat{B} = \hat{N}$ (hai góc tương ứng).

Vì MK là đường cao nên $\widehat {MKN} = 90^\circ$ $\hat{M K N} = 90^{\circ}$ ;Vì AH là đường cao nên $\widehat {AHB} = 90^\circ$ $\hat{A H B} = 90^{\circ}$

Xét $\Delta MNK$ $Δ M N K$ và $\Delta ABH$ $Δ A B H$ có:

$\widehat B = \widehat N$ $\hat{B} = \hat{N}$ (chứng minh trên)

$\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ $\hat{M K N} = \hat{A H B} = 90^{\circ}$

Do đó, $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$ $Δ M N K ∽ Δ A B H$ (g.g)

Vì $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$ $Δ M N K ∽ Δ A B H$ nên ta có: $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k.$ $\frac{M N}{A B} = \frac{N K}{B H} = \frac{M K}{A H} = k \Rightarrow \frac{M K}{A H} = k .$

b) Vì $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $Δ M N P ∽ Δ A B C$ nên $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k$ $\frac{M N}{A B} = \frac{N P}{B C} = \frac{M P}{A C} = k$

$\Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC$ $\Rightarrow \frac{N P}{B C} = k \Leftrightarrow N P = k B C$

Vì $\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH$ $\frac{M K}{A H} = k \Rightarrow M K = k A H$

Diện tích tam giác MNP là:

${S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP$ $S_{1} = \frac{1}{2} . M K . N P$ (đvdt)

Diện tích tam giác ABC là:

${S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC (đvdt)$ $S_{2} = \frac{1}{2} . A H . B C (đ v d t)$

Ta có: $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}$ $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2} . M K . N P}{\frac{1}{2} . A H . B C} = \frac{k A H . k B C}{A H . B C} = k^{2}$ (điều phải chứng minh)

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

116

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Chuột nhắt

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!