Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Giải Toán 8 CTST

Giải Toán 8 CTST Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 3 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông tổng hợp đáp án cho các câu hỏi trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Hoạt động 1

a) Từ trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác, xét xem tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $\widehat B = \widehat N$ $\widehat B = \widehat N$ thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

b) Từ trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác, xét xem nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ ta có:

$\widehat B = \widehat N$ $\widehat B = \widehat N$ (giả thuyết)

$\widehat A = \widehat M = 90^\circ$ $\widehat A = \widehat M = 90^\circ$.

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ (g.g)

b) Xét tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ ta có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AC}}{{MP}}$ (giả thuyết)

$\widehat A = \widehat M = 90^\circ$ $\widehat A = \widehat M = 90^\circ$.

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ (c.g.c).

Thực hành 1

Cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$ có $DH$ là đường cao (Hình 3). Chứng minh rằng $D{E^2} = EH.EF$ $D{E^2} = EH.EF$

Hướng dẫn giải

Vì $DH \bot EF \Rightarrow \widehat {DHE} = 90^\circ$ $DH \bot EF \Rightarrow \widehat {DHE} = 90^\circ$

Xét tam giác $DEH$ và tam giác $FED$ ta có:

$\widehat E$ $\widehat E$ chung

$\widehat {DHE} = \widehat {EDF} = 90^\circ$ $\widehat {DHE} = \widehat {EDF} = 90^\circ$.

Do đó, $\Delta DEH\backsim\Delta FED$ $\Delta DEH\backsim\Delta FED$ (g.g)

Suy ra, $\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{EH}}{{DE}} \Rightarrow D{E^2} = EF.EH$ $\frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{EH}}{{DE}} \Rightarrow D{E^2} = EF.EH$ (điều phải chứng minh).

Vận dụng 1

Tính chiều cao của cột cờ trong hoạt động khởi động trang 73.

Hướng dẫn giải

Cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là như nhau. Do đó, $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$.

Xét tam giác $DEF$ và tam giác $ABC$ ta có:

$\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ (chứng minh trên)

$\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ $\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ$.

Do đó, $\Delta DEF\backsim\Delta ABC$ $\Delta DEF\backsim\Delta ABC$ (g.g)

Suy ra, $\frac{{FD}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{1,8}}{6} = \frac{{2,4}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{6.2,4}}{{1,8}} = 8$ $\frac{{FD}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{1,8}}{6} = \frac{{2,4}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{6.2,4}}{{1,8}} = 8$.

Vậy cột cờ $AB$ cao 8m.

Hoạt động 2

Cho hai tam giác vuông ABC và DEF có các kích thước như Hình 4.

a) Hãy tính độ dài cạnh AC và DF.

b) So sánh các tỉ số $\frac{{AB}}{{DE}};\frac{{AC}}{{DF}}$ $\frac{{AB}}{{DE}};\frac{{AC}}{{DF}}$ và $\frac{{BC}}{{EF}}.$ $\frac{{BC}}{{EF}}.$

c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow {6^2} + A{C^2} = {10^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow AC = 8.$ $\Leftrightarrow {6^2} + A{C^2} = {10^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow AC = 8.$

Xét tam giác DEF vuông tại D ta có:

$D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}$ $D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow {9^2} + D{F^2} = {15^2} \Leftrightarrow D{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Leftrightarrow DF = 12.$ $\Leftrightarrow {9^2} + D{F^2} = {15^2} \Leftrightarrow D{F^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Leftrightarrow DF = 12.$

b) Tỉ số:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}; \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$ $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3};\frac{{AC}}{{DF}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}; \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$

Do đó, $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}.$ $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}.$

c) Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}$ $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{2}{3}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ABC\backsim\Delta DEF (c.c.c)$ $\Delta ABC\backsim\Delta DEF (c.c.c)$

Thực hành 2

Trong Hình 6, tam giác nào đồng dạng với tam giác DEF?

Hướng dẫn giải

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}.$ $\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}.$

Xét tam giácDEF và tam giácABC có:

$\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{4}$ $\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{4}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta DEF\backsim\Delta ABC.$ $\Delta DEF\backsim\Delta ABC.$

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}.$ $\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}.$

Vì $\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}$ $\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}$ nên hai tam giác DEF và MNP không đồng dạng với nhau.

Tỉ số:

$\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}.$ $\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}.$

Vì $\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}$ $\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}$ nên hai tam giác DEF và SRT không đồng dạng với nhau.

Vận dụng 2

Trong Hình 7, biết $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k = \frac{{MN}}{{AB}}$ $k = \frac{{MN}}{{AB}}$, hai đường cao tương ứng là MK và AH.

a) Chứng minh rằng $\Delta MNK\backsim\Delta ABHvà \frac{{MK}}{{AH}} = k.$ $\Delta MNK\backsim\Delta ABHvà \frac{{MK}}{{AH}} = k.$

b) Gọi ${S_1}$ ${S_1}$ là diện tích tam giác MNP và ${S_2}$ ${S_2}$ là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = {k^2}.$ $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = {k^2}.$

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ nên $\widehat B = \widehat N$ $\widehat B = \widehat N$ (hai góc tương ứng).

Vì MK là đường cao nên $\widehat {MKN} = 90^\circ$ $\widehat {MKN} = 90^\circ$;Vì AH là đường cao nên $\widehat {AHB} = 90^\circ$ $\widehat {AHB} = 90^\circ$

Xét $\Delta MNK$ $\Delta MNK$ và $\Delta ABH$ $\Delta ABH$ có:

$\widehat B = \widehat N$ $\widehat B = \widehat N$ (chứng minh trên)

$\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ $\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ$

Do đó, $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$ $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$ (g.g)

Vì $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$ $\Delta MNK\backsim\Delta ABH$nên ta có: $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k.$ $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k.$

b) Vì $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ nên $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k$ $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k$

$\Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC$ $\Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC$

Vì $\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH$ $\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH$

Diện tích tam giác MNP là:

${S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP$ ${S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP$ (đvdt)

Diện tích tam giác ABC là:

${S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC (đvdt)$ ${S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC (đvdt)$

Ta có: $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}$ $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}$ (điều phải chứng minh)

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

10

Bài trước

Bài sau