Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6: Cộng, trừ phân thức

Sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6: Cộng, trừ phân thức hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 31, 32, 33, 34, 35, giúp các em nắm vững kiến thức được học và luyện giải bài tập môn Toán lớp 8. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 6

1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu
- Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 1
- Thực hành 1 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu
3. Giải bài tập trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Trắc nghiệm Toán 8 bài 6 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 31 Toán 8 Tập 1:

Tại một cuộc đua thuyền diễn ra trên một khúc sông từ A đến B dài 3 km. Mỗi đội thực hiện một vòng đua, xuất phát từ A đến B, rồi quay về A là đích. Một đội đua đạt tốc độ (x + 1) km/h khi xuôi dòng từ A đến B và đạt tốc độ (x – 1) km/h khi ngược dòng từ B về A.Thời gian thi của đội là bao nhiêu? Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi bao nhiêu giờ? Cần dùng phép tính nào để tìm các đại lượng đó?

Hướng dẫn giải:

Thời gian đội đua xuôi dòng từ A đến B là: $\frac{3}{x+1}$ $\frac{3}{x+1}$ (giờ).

Thời gian đội đua ngược dòng từ B về A là: $\frac{3}{x-1}$ $\frac{3}{x-1}$ (giờ).

Thời gian thi của đội là: $\frac{3}{x+1} + \frac{3}{x-1}$ $\frac{3}{x+1} + \frac{3}{x-1}$ (giờ).

Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi là: $\frac{3}{x-1} - \frac{3}{x+1}$ $\frac{3}{x-1} - \frac{3}{x+1}$(giờ).

Như vậy ta cần dùng phép tính cộng để tìm thời gian thi của đội và dùng phép tính trừ để tìm thời gian chiều về nhiều hơn chiều đi.

1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu

Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 1

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là a cm², b cm² và có cùng chiều dài x cm (Hình 1)

a) Tính chiều rộng của hình chữ nhật lớn theo hai cách khác nhau.

b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A bao nhiêu? Biết $b > a$

Hướng dẫn giải:

a) Cách 1: Chiều rộng hình chữ nhật lớn là: $\left( {a + b} \right):x = \dfrac{{a + b}}{x}$ $\left( {a + b} \right):x = \dfrac{{a + b}}{x}$ (cm)

Cách 2: Chiều rộng của hình chữ nhật A là: $a:x = \dfrac{a}{x}$ $a:x = \dfrac{a}{x}$ (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật B là: $b:x = \dfrac{b}{x}$ $b:x = \dfrac{b}{x}$ (cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a + b}}{x}$ $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a + b}}{x}$ (cm)

b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A là: $\dfrac{a}{x} - \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a - b}}{x}$ $\dfrac{a}{x} - \dfrac{b}{x} = \dfrac{{a - b}}{x}$ (cm)

Thực hành 1 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}$ $a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}$

$b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$ $b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$

$c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$ $c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

Bài giải

$a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}$ $a) \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}$

$b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$ $b) \frac{x^{2}y}{x-y}-\frac{xy^{2}}{x-y}$

$=\frac{x^{2}y-xy^{2}}{x-y}=\frac{xy(x-y)}{x-y}=xy$ $=\frac{x^{2}y-xy^{2}}{x-y}=\frac{xy(x-y)}{x-y}=xy$

$c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$ $c) \frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

$=\frac{2x}{2x-y}-\frac{y}{2x-y}=\frac{2x-y}{2x-y}=1$ $=\frac{2x}{2x-y}-\frac{y}{2x-y}=\frac{2x-y}{2x-y}=1$

2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Khám phá 2 trang 32 Toán 8 Tập 1

Cho hai phân thức $A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}$ $A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}$ và $B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ $B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi sau đây:

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$ $\dfrac{{a + b}}{{ab}}$;

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ $\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$

b) Sử dụng kết quả trên, tính $A + B$ và $A - B$

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: $a \ne 0;\;b \ne 0$ $a \ne 0;\;b \ne 0$

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$ $\dfrac{{a + b}}{{ab}}$ $= \dfrac{{\left( {a + b} \right)a}}{{ab.a}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}}$ $= \dfrac{{\left( {a + b} \right)a}}{{ab.a}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}}$ . Vậy đa thức cần tìm là ${a^2} + ab$ ${a^2} + ab$

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ $\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ $= \dfrac{{\left( {a - b} \right)b}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$ $= \dfrac{{\left( {a - b} \right)b}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$. Vậy đa thức cần tìm là $ab - {b^2}$ $ab - {b^2}$

b) $A + B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} + \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab + ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + 2ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$ $A + B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} + \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab + ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + 2ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}$

$A - B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} - \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab - ab + {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}b}}$ $A - B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} - \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab - ab + {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}b}}$

Thực hành 2 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$ $a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$

$b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}$ $b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}$

$c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}$ $c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}$

Bài giải

$a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}=\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{3(a-3)}{(a+3)(a-3)}$ $a) \frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}=\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}-\frac{3(a-3)}{(a+3)(a-3)}$

$=\frac{a^{2}+3a-3a+9}{a^{2}-9}=\frac{a^{2}+9}{a^{2}-9}$ $=\frac{a^{2}+3a-3a+9}{a^{2}-9}=\frac{a^{2}+9}{a^{2}-9}$

$b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}+\frac{4}{2x^{2}}$ $b) \frac{1}{2x}+\frac{2}{x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}+\frac{4}{2x^{2}}$

$=\frac{x+4}{2x^{2}}$ $=\frac{x+4}{2x^{2}}$

$c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}=\frac{4x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$ $c) \frac{4}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+x}=\frac{4x}{x(x+1)(x-1)}-\frac{2(x-1)}{x(x-1)(x+1)}$

$=\frac{4x-2x+2}{x(x-1)(x+)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x(x-1)}$ $=\frac{4x-2x+2}{x(x-1)(x+)}=\frac{2(x+1)}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x(x-1)}$

Thực hành 3 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện phép tính $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}$ $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}$

Bài giải

$\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}-\frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$ $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{2xy}{(x-y)(x+y)}-\frac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}-xy+2xy-xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ $=\frac{x^{2}-xy+2xy-xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

Vận dụng trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trang 31. Tính giá trị của các đại lượng này khi x = 6km/h

Bài giải

Thời gian đi từ A đến B là: $\frac{3}{x+1}$ $\frac{3}{x+1}$ (giờ)

Thời gian đi từ B đến A là: $\frac{3}{x-1}$ $\frac{3}{x-1}$ (giờ)

Tổng thời gian đi và về là: $\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}$ $\frac{3}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{3x-3+3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6x}{x^{2}-1}$ $=\frac{3x-3+3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6x}{x^{2}-1}$(giờ)

Thay x = 6, ta có: $\frac{6\times 6}{6^{2}-1}=\frac{36}{35}$ $\frac{6\times 6}{6^{2}-1}=\frac{36}{35}$

Chênh lệch giữa thời gian đi và về là:

$\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}$ $\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{3x+3-3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6}{x^{2}-1}$ $=\frac{3x+3-3x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{6}{x^{2}-1}$ (giờ)

Thay x = 6, ta có: $\frac{6}{6^{2}-1}=\frac{6}{35}$ $\frac{6}{6^{2}-1}=\frac{6}{35}$

3. Giải bài tập trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bài tập 1 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}$ $a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}$

$b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}$ $b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}$

$c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}$ $c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}$

Bài giải

$a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}=\frac{a-1+3-a}{a+1}=\frac{2}{a+1}$ $a) \frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}=\frac{a-1+3-a}{a+1}=\frac{2}{a+1}$

$b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}=\frac{-b}{b-a}+\frac{a}{b-a}$ $b) \frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}=\frac{-b}{b-a}+\frac{a}{b-a}$

$=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$ $=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$

$c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}$ $c) \frac{(a+b)^{2}}{ab}-\frac{(a-b)^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{ab}$

$=\frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$ $=\frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$

Bài tập 2 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

$a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$ $a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$

$b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}$ $b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}$

$c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}$ $c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}$

$d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}$ $d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}$

$e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}$ $e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}$

Bài giải

$a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}=\frac{3b}{6ab}+\frac{4a}{6ab}=\frac{3b+4a}{6ab}$ $a) \frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}=\frac{3b}{6ab}+\frac{4a}{6ab}=\frac{3b+4a}{6ab}$

$b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x-1)}$ $b) \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x-1)}$

$=\frac{(x-1)^{2}-(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1-x-x)(x-1+x+1)}{x-1}=\frac{4}{x-1}$ $=\frac{(x-1)^{2}-(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1-x-x)(x-1+x+1)}{x-1}=\frac{4}{x-1}$

$c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}=\frac{(x+y)z}{xyz}-\frac{(y+z)x}{xyz}$ $c) \frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}=\frac{(x+y)z}{xyz}-\frac{(y+z)x}{xyz}$

$=\frac{xz+yz-xy-xz}{xyz}=\frac{y(z-x)}{xyz}=\frac{z-x}{xz}$ $=\frac{xz+yz-xy-xz}{xyz}=\frac{y(z-x)}{xyz}=\frac{z-x}{xz}$

$d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x-3)}-\frac{12}{(x-3)(x+3)}$ $d) \frac{2}{x-3}-\frac{12}{x^{2}-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x-3)}-\frac{12}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x-6}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{2x+6-12}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x-6}{(x+3)(x-3)}$

$=\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x+3}$ $=\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x+3}$

$e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}=\frac{x-2}{(x-2)^{2}}+\frac{2}{(x-2)^{2}}$ $e) \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^{2}-4x+4}=\frac{x-2}{(x-2)^{2}}+\frac{2}{(x-2)^{2}}$

$=\frac{x-2+2}{(x-2)^{2}}=\frac{x}{(x-2)^{2}}$ $=\frac{x-2+2}{(x-2)^{2}}=\frac{x}{(x-2)^{2}}$

Bài tập 3 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Thực hiện các phép tính sau:

$a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}$ $a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}$

$b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}$ $b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}$

$c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y$ $c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y$

Bài giải

$a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}=\frac{x+2-x+3-x+4}{x-1}$ $a) \frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x+4}{1-x}=\frac{x+2-x+3-x+4}{x-1}$

$=\frac{-x+9}{x-1}$ $=\frac{-x+9}{x-1}$

$b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}=\frac{x-5-x-5+2x}{x^{2}-25}$ $b) \frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{x^{2}-25}=\frac{x-5-x-5+2x}{x^{2}-25}$

$=\frac{-10}{x^{2}-25}$ $=\frac{-10}{x^{2}-25}$

$c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y=\frac{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{x+y}$ $c) x+\frac{2y^{2}}{x+y}-y=\frac{x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{x+y}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$ $=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}$

Bài tập 4 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cùng đi từ A đến thành phố B cách nhau 450 km, xe khách chạy với tốc độ x (km/h); xe tải chạy với tốc độ y (km/h) (x>y). Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải bao nhiêu giờ?

Bài giải

Thời gian xe tải đi: $\frac{450}{y}$ $\frac{450}{y}$ (giờ)

Thời gian xe khách đi: $\frac{450}{x}$ $\frac{450}{x}$ (giờ)

Xe khách đến thành phố B sớm hơn $\frac{450}{y}-\frac{450}{x}=\frac{450(x-y)}{xy}$ $\frac{450}{y}-\frac{450}{x}=\frac{450(x-y)}{xy}$ (giờ)

Bài tập 5 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được cho như Hình 2. Hình B và C có các kích thước giống nhau, hình A có cùng chiều rộng với B và C

a) Tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật. Biểu thị chúng bằng các phân thức cùng mẫu số.

b) Tính tổng chiều cao của hình A và C, chênh lệch chiều cao của hình A và B

Giải Bài tập 5 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 Chân trời