Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 4: Hình bình hành - Hình thoi

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 4: Hình bình hành - Hình thoi hướng dẫn trả lời câu hỏi trong sách giáo khoa Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1, giúp các em nắm vững kiến thức được học và luyện giải Toán 8 hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

1. Hình bình hành

Khám phá 1 trang 73 Toán 8 Tập 1:

Thực hành 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Bài giải

Các đoạn thẳng bằng nhau: IS = IQ, IP = R, SP = QR, SR = PQ

Các góc bằng nhau: \(\widehat{PSR}=\widehat{PQR},\widehat{SPQ}=\widehat{SRQ},\widehat{SPR}=\widehat{PRQ},\widehat{PSQ}=\widehat{SQR}\)

Vận dụng 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Bài giải

Tứ giác có các cạnh đối song song suy ra tứ giác đó là hình bình hành

Do đó độ dài hai cạnh cò còn bằng độ dài hai cạnh đã cho là 4 cm và 5 cm

Vận dụng 2 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Bài giải

EFGH là hình bình hành suy ra HG = EF = 40 m

EG = 2EM = 2 x 36 = 72 (m)

HF = 2HM = 2 x 16 =32 (m)

Thực hành 2 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành?

Bài giải

a) Tứ giác ABCD có: AB = CD, BC = AD suy ra ABCD là hình bình hành

b) Tứ giác EFGH có: \(\widehat{E}=\widehat{G},\widehat{F}=\widehat{H}\) suy ra EFGH là hình bình hành

\(c) \widehat{IJK}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}\)

\(\widehat{I}=360^{\circ}-(120^{\circ}+60^{\circ}+120^{\circ})=60^{\circ}\)

Tứ giác IJKL có: \(\widehat{I}=\widehat{K},\widehat{J}=\widehat{L}\)  suy ra IJKL là hình bình hành

d) Tứ giác MNPQ có: OQ = ON, OM , OP suy ra MNPQ là hình bình hành

e) Tứ giác TSRU có: \(\widehat{T}\neq \widehat{R}\) suy ra TSRU không là hình bình hành

g) \(\widehat{V}+\widehat{X}=75^{\circ}+105^{\circ}=180^{\circ}\) mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía suy ra VZ // XY

Tứ giác XYZV có: XY // VZ, XY = VZ suy ra XYZV là hình bình hành

Vận dụng 3 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Bài giải

Gọi O là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành có hai đường chéo AC và BD suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O cũng là trung điểm của BC

AKCH là hình bình hành có hai đường chéo AC và HK suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O cũng là trung điểm của HK

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. Hình thoi

Khám phá 4 trang 76 Toán 8 Tập 1:

Hình 11a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình 11b là hình vẽ phóng to của một mắt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác ABCD và rút ra nhận xét.

Bài giải

Dùng thước đo độ dài các AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.

Nhận xét: AB = BC = CD = DA.

Thực hành 3 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm

b) Tính \(\widehat{IMN}\) khi biết \(\widehat{MNP}=128^{\circ}\)

Bài giải

Áo dụng định lí Pythagore cho tam giác MNI vuông tại I:

\(MN^{2}=NI^{2}+MI^{2}\Rightarrow MI^{2}=MN^{2}-NI^{2}=10^{2}-6^{2}=64\)do đó MI = 8 dm

b) Ta có: \(\widehat{NMQ}=180^{\circ}-128^{\circ}=52^{\circ}\)

Lại có MP là phân giác góc \(\widehat{NMQ}\Rightarrow \widehat{IMN}=52^{\circ}:2=26^{\circ}\)

Vận dụng 4 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3.2 cm và 2.4 cm

Bài giải

Độ dài cạnh khuy áo là: \(\sqrt{(\frac{3.2}{2})^{2}+(\frac{2.4}{2})^{2}}=2\) (cm)

Vận dụng 5 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn

Bài giải

Các tứ giác có độ dài mỗi cạn đều bằng nhau suy ra tứ giác là hình thoi

Chu vi hoa văn: 3 x 4 x 2 = 24 (cm)

Vận dụng 6 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Bài giải

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường suy ra tứ giác đó là hình thoi.

Độ dài mỗi cạnh là: 52 : 4 = 13 (cm)

Độ dài đường chéo còn lại là: 2 x \(\sqrt{13^{2}-(\frac{24}{2})^{2}}\) =10 (cm)

3. Bài tập trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bài tập 1 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Bài giải

a) AB = CD

b) EH // FG

c) OM = OP

d) \(\widehat{V}=\widehat{T}\)

Bài tập 2 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 21)

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID

Bài giải

a) Xét tam giác vuông DKC và BHA ta có:

DC = AB( hbh ABCD)

\(\widehat{CDK}=\widehat{ABH}\) (hbh ABCD, AB//DC)

Suy ra \(\Delta   DKC=\Delta   BHA\)( ch-gn)

=> CK=AH

Ta có : AH \(\perp\) DB

CK \(\perp\) DB

=> CK//AH

Xét tứ giác AKCH có CK//AH (cmt)

CK=AH (cmt)

=> AKCH là hình bình hành (dấu hiệu 3)

b) AKCH là hình bình hành suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID

Bài tập 3 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

Bài giải

a) Ta có :

ED= \(\frac{1}{2}AD\) (E là trung điểm của AD)

BF=\(\frac{1}{2}BC\) (F là trung điểm của BC)

Và AD=BC (ABCD là hình bình hành)

⇒ED=BF

Mà ED // BF (AD // BC, E∈AD;F∈BC)

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ⇒Olà trung điểm của BD

Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD ⇒O là trung điểm của EF.

⇒O∈EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.

Bài tập 4 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Bài giải

a) Ta có \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (tứ giác ABCD là hình bình hành)

\(\widehat{ABF}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)) và \(\widehat{CDE}=\frac{\widehat{ADC}}{2}\) (DE là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))

⇒\(\widehat{ABF}=\widehat{CDE}\)

Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}\)(hai góc so le trong và AB // CD)

Nên \(\widehat{ABF}=\widehat{AED}\)

Lại có \(\widehat{ABF};\widehat{AED}\) là hai góc đồng vị

⇒DE//BF

b) Tứ giác DEBF có DE // BF và EB // DF (AB // CD)

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Bài tập 5 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Bài giải

a) Ta có:

AI=\(\frac{1}{2}AB\) (I là trung điểm của AB),

CK=\(\frac{1}{2}CD\) (K là trung điểm của CD)

Và AB=CD(ABCD là hình bình hành)

⇒AI=CK

Mà AI // CK (AB//CD,I∈AB,K∈CD)

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

b) ΔABEcó I là trung điểm của AB và IF//AE

Nên F là trung điểm của EB ⇒BF=EF (1)

ΔDCFcó EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF ⇒DE=EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE=EF=BF

Bài tập 6 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài giải

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒EF//AC và EF=\(\frac{1}{2}AC\) (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC

⇒HG là đường trung bình của tam giác ACD

⇒HG//ACvà HG=\(\frac{1}{2}AC\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒EF//HGvà EF=HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có AB=CDvà AD=BC⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà \(\widehat{BAD}=90^{\circ}\) ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

Xét ΔEBFvà ΔCGFcó :

EB=EC(gt)

BF=FC(gt)

\(\widehat{EBF}=\widehat{GCF}(=90^{\circ})\)

⇒ΔEBF=ΔGCF(c.g.c)⇒EF=GF

Chứng minh tương tự ta có GF=GH,GH=EF⇒EF=GF=GH=EH

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài tập 7 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.

Bài giải

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (gt)

⇒O là trung điểm của AC và BD

⇒AO = \(\frac{AC}{2}$\)và DO = \(\frac{BD}{2}\)

⇒AO = \(\frac{6}{2}\)=3(cm) và DO = \(\frac{8}{2}\) = 4(cm)

AC⊥BD tại O (vì ABCD là hình thoi)

ΔADO vuông tại O có \(AD^{2}=AO^{2}+DO^{2}\) (Định lí Pytago)

⇒\(AD^{2}=3^{2}+4^{2}=25\)⇒AD = 5 (cm)

Vậy AB = BC = DC = AD = 5(cm)

Bài tập 8 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Bài giải

a) Tứ giác ABCD có:

AD và BC cắt nhau tại M (gt);

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà AD⊥BC (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Tứ giác OAMB có:

OM và AB cắt nhau tại E (gt);

E là trung điểm của OM (gt)

E là trung điểm của AB (gt)

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành

Suy ra \(\widehat{AOB}=\widehat{AMB}=90^{\circ},\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\)

Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.

Xét tam giác AOB và MBO ta có:

AO = MB (OAMB là hình bình hành)

\(\widehat{AOB}=\widehat{MBO}=90^{\circ}\)

OB chung

Suy ra \(\Delta AOB=\Delta MBO\) (c.g.c)

c) Ta có ME=\(\frac{1}{2}AB\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và AE=\(\frac{1}{2}AB\) (E là trung điểm của AB)

⇒EM=EA=\(\frac{1}{2}AB\) (1)

Ta có MF=\(\frac{1}{2}AC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và AF=\(\frac{1}{2}AC\)(F là trung điểm của AC)

⇒MF=AF=\(\frac{1}{2}AC\)(2)

AB=AC(ΔABC cân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.

Bài tập 9 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22

Bài giải

Các hình bình hành: ABGH, AEIL, CDFG

Các hình thang: ABGH, ACGH, ADFH, AEFH, BDFG, CEFG, AEIK, AEIL, CDFG

4. Trắc nghiệm Hình bình hành - Hình thoi