Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 23, 24, 25, giúp các em nắm vững kiến thức được học trong bài và luyện giải bài tập môn Toán lớp 8. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1:

Phát biểu của bạn nữ: “99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”

Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”

Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1)

= 99.(99² – 1²)

= 99.(99 – 1).(99 + 1)

= 99.98.100

Do đó 99³ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n³ – n = n(n² – 1)

= n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n³ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1 CTST

Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).

Tính theo cách nào nhanh hơn?

Hướng dẫn giải:

Các cách tính diện tích nền nhà là:

Cách 1: \(\left( {b - 1 + b + 4,5} \right)a = \left( {2b + 3,5} \right)a = 2ab + 3,5a\)

Cách 2: \(\left( {b - 1} \right)a + ba + 4,5a = a.\left( {b - 1 + b + 4,5} \right) = a.\left( {2b + 3,5} \right) = 2ab + 3,5a\)

Cách 3: \(\left( {b - 1} \right)a + ba + 4,5a = ba - a + ba + 4,5a = ba + ba - a + 4,5a = 2ab + 3,5a\)

Tính theo cách 1, 2 nhanh hơn

Thực hành 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(a) P=6x-2x^{3}\)

\(b) Q=5x^{3}-15x^{2}y\)

\(c) R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy\)

Hướng dẫn giải:

\(a) P=6x-2x^{3}=2x\times  3-2x \times x^{2}=2x(3-x^{2})\)

\(b) Q=5x^{3}-15x^{2}y=5x^{2}\times  x-5x^{2} \times 3y\)

\(=5x^{2}(x-3y)\)

\(c) R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy=xy\times  3x^{2}y^{2}- xy \times 6y^{2}z+xy\)

\(=xy(3x^{2}y^{2}-6y^{2}z+1)\)

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1 CTST

Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) \(4{x^2} - 9\);

b) \({x^2}{y^2} - \dfrac{1}{4}{y^2}\)

Hướng dẫn giải::

a) \(4{x^2} - 9 = {\left( {2x} \right)^2} - {3^2} = \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)\)

b) \({x^2}{y^2} - \dfrac{1}{4}{y^2} = {\left( {xy} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}y} \right)^2} = \left( {xy + \dfrac{1}{2}y} \right)\left( {xy - \dfrac{1}{2}y} \right) = y\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)y\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) = {y^2}\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Thực hành 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) 9x^{2}-16\)

\(b) 4x^{2}-12xy+9y^{2}\)

\(c) t^{3}-8\)

\(d) 3ax^{3}y^{3}+2a\)

Hướng dẫn giải:

\(a) 9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)\)

\(b) 4x^{2}-12xy+9y^{2}=(2x)^{2}-2\times  2x\times  3y+(3y)^{2}\)

\(=(2x-3y)^{2}\)

\(c) t^{3}-8=t^{3}-2^{3}\)

\(=(t-2)(t^{2}+2t+4)\)

\(d) 3ax^{3}y^{3}+2a=2a(x^{3}y^{3}+1)\)

\(=2a(xy+1)(x^{2}y^{2}-xy+1)\)

Vận dụng 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích \(2x^{3}-18x\) (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(2x^{3}-18x=2x(x^{2}-9)=2x(x-3)(x+3)\)

Độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật cần tìm lần lượt là: 2x, x - 3, x + 3

Vận dụng 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Giải đáp câu hỏi trang 23

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)\)

Vì vậy $n^{3}-n$ chia hết cho n, n - 1 và n + 1 (n là số tự nhiên, n > 1)

Vậy phát biểu của hai bạn là đúng

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1 CTST

Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:

\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {2a + 2b} \right) = ...\)

Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?

Hướng dẫn giải::

\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {2a + 2b} \right) = a\left( {a + b} \right) + 2\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a + 2} \right)\)

Cách khác:

\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + 2a} \right) + \left( {ab + 2b} \right) = a\left( {a + 2} \right) + b\left( {a + 2} \right) = \left( {a + 2} \right)\left( {a + b} \right)\)

Thực hành 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) a^{3}-a^{2}b+a-b\)

\(b) x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}\)

Hướng dẫn giải:

\(a) a^{3}-a^{2}b+a-b=(a^{3}+a)-(a^{2}b+b)\)

\(=a(a^{2}+1)-b(a^{2}+1)=(a-b)(a^{2}+1)\)

\(b) x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}=(x^{3}-xy^{2})+(2x^{2}-2y^{2})\)

\(=x(x^{2}-y^{2})+2(x^{2}-y^{2})=(x+2)(x-y)(x+y)\)

Vận dụng 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như  Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Hướng dẫn giải:

Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời thành một hình chữ nhật

Ta có hình chữ nhật có kích thước các cạnh là: a + 1, a + b

Khi a = 0,8, b = 2, kích thước các cạnh là: 1,8 m và 2,8 m

Diện tích hình chữ nhật là: 1,8 x 2,8 = 5,04 (m²)

4. Giải bài tập trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Bài tập 1 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) x^{3}+4x\)

\(b) 6ab-9ab^{2}\)

\(c) 2a(x-1)+3b(1-x)\)

\(d) (x-y)^{2}-x(y-x)\)

Hướng dẫn giải:

\(a) x^{3}+4x=x(x^{2}+4)\)

\(b) 6ab-9ab^{2}=3ab(2-3b)\)

\(c) 2a(x-1)+3b(1-x)=2a(x-1)-3b(x-1)\)

\(=(2a-3b)(x-1)\)

\(d) (x-y)^{2}-x(y-x)=(x-y)^{2}+x(x-y)\)

\(=(x-y+x)(x-y)=(2x-y)(x-y)\)

Bài tập 2 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) 4x^{2}-1\)

\(b) (x+2)^{2}-9\)

\(c) (a+b)^{2}-(a-2b)^{2}\)

Hướng dẫn giải:

\(a) 4x^{2}-1=(2x)^{2}-1=(2x-1)(2x+1)\)

\(b) (x+2)^{2}-9=(x+2)^{2}-3^{2}\)

\(=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)\)

\(c) (a+b)^{2}-(a-2b)^{2}=(a+b-a+2b)(a+b+a-2b)\)

\(=3b(2a-b)\)

Bài tập 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) 4a^{2}+4a+1\)

\(b) -3x^{2}+6xy-3y^{2}\)

\(c) (x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}\)

Hướng dẫn giải:

\(a) 4a^{2}+4a+1=(2a)^{2}+2\times  2a+1=(2a+1)^{2}\)

\(b) -3x^{2}+6xy-3y^{2}=-[(\sqrt{3}x)^{2}-2\times \sqrt{3}x \times \sqrt{3}y+(\sqrt{3}y)^{2}]\)

\(=-(\sqrt{3}x-\sqrt{3}y)^{2}\)

\(c) (x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}=(x+y-z)^{2}\)

Bài tập 4 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) 8x^{3}-1\)

\(b) x^{3}+27y^{3}\)

\(c) x^{3}-y^{6}\)

Hướng dẫn giải:

\(a) 8x^{3}-1=(2x)^{3}-1=(2x-1)[(2x)^{2}+2x+1]\)

\(=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)\)

\(b) x^{3}+27y^{3}=x^{3}+(3y)^{3}=(x+3y)(x^{2}-3xy+9y^{2})\)

\(c) x^{3}-y^{6}=x^{3}-(y^{2})^{3}=(x-y^{2})(x^{2}+xy^{2}+y^{4})\)

Bài tập 5 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) 4x^{3}-16x\)

\(b) x^{4}-y^{4}\)

\(c) xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}\)

\(d) x^{2}+2x-y^{2}+1\)

Hướng dẫn giải:

\(a) 4x^{3}-16x=4x(x^{2}-4)=4x(x-2)(x+2)\)

\(b) x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})\)

\(c) xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}=y(xy+x^{2}+\frac{1}{4}y^{2})\)

\(=y(x+\frac{1}{2}y)^{2}\)

\(d) x^{2}+2x-y^{2}+1=(x^{2}+2x+1)-y^{2}\)

\(=(x+1)^{2}-y^{2}=(x+1-y)(x+1+y)\)

Bài tập 6 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST: 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(a) x^{2}-xy+x-y\)

\(b) x^{2}+2xy-4x-8y\)

\(c) x^{3}-x^{2}-x+1\)

Hướng dẫn giải:

\(a) x^{2}-xy+x-y=(x^{2}-xy)+(x-y)\)

\(=x(x-y)+(x-y)=(x+1)(x-y)\)

\(b) x^{2}+2xy-4x-8y=(x^{2}-4x)+(2xy-8y)\)

\(=x(x-4)+2y(x-4)=(x+2y)(x-4)\)

\(c) x^{3}-x^{2}-x+1=(x^{3}+1)-(x^{2}+x)\)

\(=(x+1)(x^{2}-x+1)-x(x+1)=(x+1)(x^{2}-2x+1)\)

Bài tập 7 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng \(49y^{2}+28y+4\)

Hướng dẫn giải:

\(49y^{2}+28y+4=(7y)^{2}+2\times  7y \times 2+2^{2}\)

\(=(7y+2)^{2}\)

Vậy cạnh của hình vuông bằng 7y + 2

Trắc nghiệm Toán 8 CTST bài 4