Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải Toán 8 bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn giải bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 23, 24, 25. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Khởi động trang 23 Toán 8 Tập 1:
Phát biểu của bạn nữ: “993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.”
Phát biểu của bạn nam: “Đúng rồi. Vì n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1 mà. (n là số tự nhiên, n > 1)”
Phát biểu của hai bạn có đúng không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Ta có: 993 – 99 = 99.(992 – 1)
= 99.(992 – 12)
= 99.(99 – 1).(99 + 1)
= 99.98.100
Do đó 993 – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.
Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)
= n.(n – 1).(n + 1)
Do đó n3 – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.
Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Khám phá 1 trang 23 Toán 8 Tập 1 CTST
Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5; b = 3,5 (các kích thước tính theo mét).
Tính theo cách nào nhanh hơn?
Hướng dẫn giải:
Các cách tính diện tích nền nhà là:
Cách 1: 
\(\left( {b - 1 + b + 4,5} \right)a = \left( {2b + 3,5} \right)a = 2ab + 3,5a\)
Cách 2: \(\left( {b - 1} \right)a + ba + 4,5a = a.\left( {b - 1 + b + 4,5} \right) = a.\left( {2b + 3,5} \right) = 2ab + 3,5a\)
Cách 3: \(\left( {b - 1} \right)a + ba + 4,5a = ba - a + ba + 4,5a = ba + ba - a + 4,5a = 2ab + 3,5a\)
Tính theo cách 1, 2 nhanh hơn
Thực hành 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
\(a) P=6x-2x^{3}\)
\(b) Q=5x^{3}-15x^{2}y\)
\(c) R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy\)
Hướng dẫn giải:
\(a) P=6x-2x^{3}=2x\times 3-2x \times x^{2}=2x(3-x^{2})\)
\(b) Q=5x^{3}-15x^{2}y=5x^{2}\times x-5x^{2} \times 3y\)
\(=5x^{2}(x-3y)\)
\(c) R=3x^{3}y^{3}-6xy^{3}z+xy=xy\times 3x^{2}y^{2}- xy \times 6y^{2}z+xy\)
\(=xy(3x^{2}y^{2}-6y^{2}z+1)\)
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
Khám phá 2 trang 24 Toán 8 Tập 1 CTST
Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ , từ đó hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) \(4{x^2} - 9\);
b) \({x^2}{y^2} - \dfrac{1}{4}{y^2}\)
Hướng dẫn giải::
a) \(4{x^2} - 9 = {\left( {2x} \right)^2} - {3^2} = \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)\)
b) \({x^2}{y^2} - \dfrac{1}{4}{y^2} = {\left( {xy} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}y} \right)^2} = \left( {xy + \dfrac{1}{2}y} \right)\left( {xy - \dfrac{1}{2}y} \right) = y\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)y\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) = {y^2}\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\)
Thực hành 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) 9x^{2}-16\)
\(b) 4x^{2}-12xy+9y^{2}\)
\(c) t^{3}-8\)
\(d) 3ax^{3}y^{3}+2a\)
Hướng dẫn giải:
\(a) 9x^{2}-16=(3x)^{2}-4^{2}=(3x-4)(3x+4)\)
\(b) 4x^{2}-12xy+9y^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3y+(3y)^{2}\)
\(=(2x-3y)^{2}\)
\(c) t^{3}-8=t^{3}-2^{3}\)
\(=(t-2)(t^{2}+2t+4)\)
\(d) 3ax^{3}y^{3}+2a=2a(x^{3}y^{3}+1)\)
\(=2a(xy+1)(x^{2}y^{2}-xy+1)\)
Vận dụng 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích \(2x^{3}-18x\) (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(2x^{3}-18x=2x(x^{2}-9)=2x(x-3)(x+3)\)
Độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật cần tìm lần lượt là: 2x, x - 3, x + 3
Vận dụng 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Giải đáp câu hỏi trang 23
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)\)
Vì vậy $n^{3}-n$ chia hết cho n, n - 1 và n + 1 (n là số tự nhiên, n > 1)
Vậy phát biểu của hai bạn là đúng
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Khám phá 3 trang 24 Toán 8 Tập 1 CTST
Hãy hoàn thành biến đổi sau vào vở để phân tích đa thức thành nhân tử:
\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {2a + 2b} \right) = ...\)
Em có thể biến đổi theo cách khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử không?
Hướng dẫn giải::
\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {2a + 2b} \right) = a\left( {a + b} \right) + 2\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a + 2} \right)\)
Cách khác:
\({a^2} + ab + 2a + 2b = \left( {{a^2} + 2a} \right) + \left( {ab + 2b} \right) = a\left( {a + 2} \right) + b\left( {a + 2} \right) = \left( {a + 2} \right)\left( {a + b} \right)\)
Thực hành 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) a^{3}-a^{2}b+a-b\)
\(b) x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}\)
Hướng dẫn giải:
\(a) a^{3}-a^{2}b+a-b=(a^{3}+a)-(a^{2}b+b)\)
\(=a(a^{2}+1)-b(a^{2}+1)=(a-b)(a^{2}+1)\)
\(b) x^{3}+2x^{2}-xy^{2}-2y^{2}=(x^{3}-xy^{2})+(2x^{2}-2y^{2})\)
\(=x(x^{2}-y^{2})+2(x^{2}-y^{2})=(x+2)(x-y)(x+y)\)
Vận dụng 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).
Hướng dẫn giải:
Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời thành một hình chữ nhật
Ta có hình chữ nhật có kích thước các cạnh là: a + 1, a + b
Khi a = 0,8, b = 2, kích thước các cạnh là: 1,8 m và 2,8 m
Diện tích hình chữ nhật là: 1,8 x 2,8 = 5,04 (m2)
4. Giải bài tập trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Bài tập 1 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) x^{3}+4x\)
\(b) 6ab-9ab^{2}\)
\(c) 2a(x-1)+3b(1-x)\)
\(d) (x-y)^{2}-x(y-x)\)
Hướng dẫn giải:
\(a) x^{3}+4x=x(x^{2}+4)\)
\(b) 6ab-9ab^{2}=3ab(2-3b)\)
\(c) 2a(x-1)+3b(1-x)=2a(x-1)-3b(x-1)\)
\(=(2a-3b)(x-1)\)
\(d) (x-y)^{2}-x(y-x)=(x-y)^{2}+x(x-y)\)
\(=(x-y+x)(x-y)=(2x-y)(x-y)\)
Bài tập 2 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) 4x^{2}-1\)
\(b) (x+2)^{2}-9\)
\(c) (a+b)^{2}-(a-2b)^{2}\)
Hướng dẫn giải:
\(a) 4x^{2}-1=(2x)^{2}-1=(2x-1)(2x+1)\)
\(b) (x+2)^{2}-9=(x+2)^{2}-3^{2}\)
\(=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)\)
\(c) (a+b)^{2}-(a-2b)^{2}=(a+b-a+2b)(a+b+a-2b)\)
\(=3b(2a-b)\)
Bài tập 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) 4a^{2}+4a+1\)
\(b) -3x^{2}+6xy-3y^{2}\)
\(c) (x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}\)
Hướng dẫn giải:
\(a) 4a^{2}+4a+1=(2a)^{2}+2\times 2a+1=(2a+1)^{2}\)
\(b) -3x^{2}+6xy-3y^{2}=-[(\sqrt{3}x)^{2}-2\times \sqrt{3}x \times \sqrt{3}y+(\sqrt{3}y)^{2}]\)
\(=-(\sqrt{3}x-\sqrt{3}y)^{2}\)
\(c) (x+y)^{2}-2(x+y)z+z^{2}=(x+y-z)^{2}\)
Bài tập 4 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) 8x^{3}-1\)
\(b) x^{3}+27y^{3}\)
\(c) x^{3}-y^{6}\)
Hướng dẫn giải:
\(a) 8x^{3}-1=(2x)^{3}-1=(2x-1)[(2x)^{2}+2x+1]\)
\(=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)\)
\(b) x^{3}+27y^{3}=x^{3}+(3y)^{3}=(x+3y)(x^{2}-3xy+9y^{2})\)
\(c) x^{3}-y^{6}=x^{3}-(y^{2})^{3}=(x-y^{2})(x^{2}+xy^{2}+y^{4})\)
Bài tập 5 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) 4x^{3}-16x\)
\(b) x^{4}-y^{4}\)
\(c) xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}\)
\(d) x^{2}+2x-y^{2}+1\)
Hướng dẫn giải:
\(a) 4x^{3}-16x=4x(x^{2}-4)=4x(x-2)(x+2)\)
\(b) x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})\)
\(c) xy^{2}+x^{2}y+\frac{1}{4}y^{3}=y(xy+x^{2}+\frac{1}{4}y^{2})\)
\(=y(x+\frac{1}{2}y)^{2}\)
\(d) x^{2}+2x-y^{2}+1=(x^{2}+2x+1)-y^{2}\)
\(=(x+1)^{2}-y^{2}=(x+1-y)(x+1+y)\)
Bài tập 6 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
\(a) x^{2}-xy+x-y\)
\(b) x^{2}+2xy-4x-8y\)
\(c) x^{3}-x^{2}-x+1\)
Hướng dẫn giải:
\(a) x^{2}-xy+x-y=(x^{2}-xy)+(x-y)\)
\(=x(x-y)+(x-y)=(x+1)(x-y)\)
\(b) x^{2}+2xy-4x-8y=(x^{2}-4x)+(2xy-8y)\)
\(=x(x-4)+2y(x-4)=(x+2y)(x-4)\)
\(c) x^{3}-x^{2}-x+1=(x^{3}+1)-(x^{2}+x)\)
\(=(x+1)(x^{2}-x+1)-x(x+1)=(x+1)(x^{2}-2x+1)\)
Bài tập 7 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng \(49y^{2}+28y+4\)
Hướng dẫn giải:
\(49y^{2}+28y+4=(7y)^{2}+2\times 7y \times 2+2^{2}\)
\(=(7y+2)^{2}\)
Vậy cạnh của hình vuông bằng 7y + 2
Trắc nghiệm Toán 8 CTST bài 4
Bài tiếp theo: Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 5: Phân thức đại số
