Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 4: Hai hình đồng dạng

Hoạt động 1

a) Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $O$. Kẻ các tia $OA,OB$. Trên tia $OA,OB$ lần lượt lấy các điểm $A^{\prime },B^{\prime }$ sao cho $O{A}^{\prime }=3OA,O{B}^{\prime }=3OB$ (ình 1a).

i) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ có song song với $AB$ không.

ii) Tính tỉ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$.

b) Cho tam giác $ABC$ và điểm $O$. Kẻ các tia $OA,OB,OC$. Trên tia $OA,OB,OC$ lần lượt lấy các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $O{A}^{\prime }=3OA,O{B}^{\prime }=3OB,O{C}^{\prime }=3OC$ (Hình 1b).

i) Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB},\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC},\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$.

ii) Chứng minh tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng với tam giác $ABC$.

Hướng dẫn giải

a)

i) Vì $O{A}^{\prime }=3OA\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{3}$;$O{B}^{\prime }=3OB\Rightarrow \frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.

Xét tam giác $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có:

$\frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$

Do đó, $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB$ (định lí Thales đảo)

ii) Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$ (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{3}{1}=3$.

b)

i)

- Vì $O{A}^{\prime }=3OA\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{3}$;$O{B}^{\prime }=3OB\Rightarrow \frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.

Xét tam giác $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có:

$\frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$

Do đó, $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB$ (định lí Thales đảo)

Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$ (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{3}{1}=3$.

- Vì $O{A}^{\prime }=3OA\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{3}$;$O{C}^{\prime }=3OC\Rightarrow \frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.

Xét tam giác $O{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ có:

$\frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$

Do đó, $A^{\prime }{C}^{\prime }//AC$ (định lí Thales đảo)

Vì $A^{\prime }{C}^{\prime }//AC\Rightarrow \frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$ (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, $\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}=\frac{3}{1}=3$.

- Vì $O{B}^{\prime }=3OB\Rightarrow \frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$;$O{C}^{\prime }=3OC\Rightarrow \frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.

Xét tam giác $O{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có:

$\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$

Do đó, $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC$ (định lí Thales đảo)

Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC\Rightarrow \frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$ (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{3}{1}=3$.

Do đó, $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$

ii) Xét tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng với tam giác $ABC$.

Hoạt động 2

Cho tứ giác ABCD và điểm O(O không thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA). Trên các tia $OA,OB,OC,OD$ lần lượt lấy các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sao cho $O{A}^{\prime }=\frac{1}{2}OA,O{B}^{\prime }=\frac{1}{2}OB,O{C}^{\prime }=\frac{1}{2}OC,O{D}^{\prime }=\frac{1}{2}OD$ (Hình 2).

Tính và so sánh các tỉ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB};\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD};\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC};\frac{C^{\prime }{D}^{\prime }}{CD}$.

Hướng dẫn giải

- Vì $O{A}^{\prime }=\frac{1}{2}OA\Rightarrow \frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{1}{2}$;$O{B}^{\prime }=\frac{1}{2}OB\Rightarrow \frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{1}{2}$.

Xét tam giác $OAB$ có:

$\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{1}{2}$

Do đó, $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB$ (định lí Thales đảo)

Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB\Rightarrow \frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O{A}^{\prime }=\frac{1}{2}OA\Rightarrow \frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{1}{2}$;$O{D}^{\prime }=\frac{1}{2}OD\Rightarrow \frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{1}{2}$.

Xét tam giác $OAD$ có:

$\frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{1}{2}$

Do đó, $A^{\prime }{D}^{\prime }//AD$ (định lí Thales đảo)

Vì $A^{\prime }{D}^{\prime }//AD\Rightarrow \frac{O{A}^{\prime }}{OA}=\frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O{B}^{\prime }=\frac{1}{2}OB\Rightarrow \frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{1}{2}$;$O{C}^{\prime }=\frac{1}{2}OC\Rightarrow \frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{1}{2}$.

Xét tam giác $OBC$ có:

$\frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{1}{2}$

Do đó, $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC$ (định lí Thales đảo)

Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC\Rightarrow \frac{O{B}^{\prime }}{OB}=\frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

- Vì $O{D}^{\prime }=\frac{1}{2}OD\Rightarrow \frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{1}{2}$;$O{C}^{\prime }=\frac{1}{2}OC\Rightarrow \frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{1}{2}$.

Xét tam giác $ODC$ có:

$\frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{1}{2}$

Do đó, $D^{\prime }{C}^{\prime }//DC$ (định lí Thales đảo)

Vì $D^{\prime }{C}^{\prime }//DC\Rightarrow \frac{O{D}^{\prime }}{OD}=\frac{O{C}^{\prime }}{OC}=\frac{D^{\prime }{C}^{\prime }}{DC}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{C^{\prime }{D}^{\prime }}{CD}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{AD}$.

Thực hành 1

Cho ba tấm ảnh được đặt trên lưới ô vuông như Hình 4. Hãy chỉ ra ba cặp hình, trong mỗi cặp hình này đồng dạng phối cảnh với hình kia và chỉ ra tỉ số đồng dạng tương ứng.

Hướng dẫn giải

Ta tiến hành đo và nhận thấy hình $ABCD$ là hình đồng dạng phối cảnh với hình $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ theo tỉ số $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{8}{4}=\frac{6}{3}=2$.

Ta tiến hành đo và nhận thấy hình $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình đồng dạng phối cảnh với hình $A^{″}{B}^{″}{C}^{″}{D}^{″}$ theo tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{″}{B}^{″}}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{B^{″}{C}^{″}}=\frac{4}{12}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

=> Hình $ABCD$ đồng dạng phối cảnh với hình $A^{″}{B}^{″}{C}^{″}{D}^{″}$ theo tỉ số $k=2.\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Hoạt động 3

Trong hình 5, biết $H_1$ đồng dạng phối cảnh với hình H tỉ số $k=\frac{3}{2}$.

a) Tính $x,y$.

b) So sánh hình $H_1$ và hình $H^{\prime }$.

Hướng dẫn giải

a) Vì hai hình đồng dạng phối cảnh $H$ và $H_1$ có tỉ số đồng dạng $k=\frac{2}{3}$ nên $\frac{3,6}{x}=\frac{2}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{3,6}{x}=\frac{2}{3}\\ \frac{2}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=5,4\\ y=3\end{array}$

Vậy $x=5,4cm;y=3cm$.

b) Hình $H_1$ và hình $H^{\prime }$ là hai hình bằng nhau vì chúng có kích thước bằng nhau và khi ta đặt hình $H_1$ nằm ngang sẽ thu được hình $H^{\prime }$.

Thực hành 2

Trong hình 7 dưới đây, hãy chọn ra các cặp hình đồng dạng với nhau. Tìm tỉ số đồng dạng tương ứng.

Hướng dẫn giải

Hình M và P đồng dạng theo tỉ số $k=\frac{8,4}{4,8}=\frac{7}{4}$

Hình N và Q đồng dạng theo tỉ số $k=\frac{3}{4,8}=\frac{5}{8}$

Vận dụng

Trong Hình 8b, c, d, Hình nào đồng dạng với Hình 8a. Giải thích.

Hướng dẫn giải

- Xét hình 8a và hình 8b ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8b lần lượt là:

$\frac{9}{7,5}=1,2;\frac{5}{5}=1$. Do đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 9a để bằng hình 8b. Do đó, hình 8a và hình 8b không đồng dạng với nhau.

- Xét hình 8a và hình 8c ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8c lần lượt là:

$\frac{9}{4,5}=2;\frac{5}{2,5}=2$. Do đó, tồn tại hình động dạng phối cảnh của hình 8a bằng hình 8c (hình 8a thu nhỏ với tỉ số 2). Do đó, hình 8a và hình 8c đồng dạng với nhau.

- Xét hình 8a và hình 8d ta có:

Tỉ lệ của chiều dài – chiều dài và chiều rộng – chiều rộng của hình 8a và hình 8d lần lượt là:

$\frac{9}{12}=0,75;\frac{5}{4}=1,25$. Do đó, không tồn tại hình động dạng phối cảnh nào của hình 9a để bằng hình 8b. Do đó, hình 8a và hình 8b không đồng dạng với nhau.

Bài tập

Bài 1 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong các hình dưới đây, hãy chọn ra các cặp hình đồng dạng.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 14, ta thấy:

Các cặp hình đồng dạng: Hình 14a và Hình 14g; Hình d và Hình d; Hình c và Hình e.

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong các hình dưới đây, hai hình nào đồng dạng với nhau?

Bài 4 trang 83 Toán 8 Tập 2: Trong các Hình 16b, c, d, hình nào đồng dạng với Hình 16a? Giải thích.

Bài 4 trang 83 Toán 8 Tập 2: Hình 17b là Hình 17a sau khi phóng to với k = 1,5. Nếu kích thước của Hình 17a là 4 × 6 thì kích thước của Hình 18b là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có: 4.1,5 = 6; 6.1,5 = 9.

Vậy sau khi phóng to với k = 1,5 nếu kích thước của Hình 17a là 4 × 6 thì kích thước của Hình 17b là 6 × 9.