Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác Chân trời sáng tạo
Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác tổng hợp đáp án cho các câu hỏi trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo, giúp các em luyện giải Toán 8 và học tốt môn Toán hơn. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Giải Toán 8 CTST Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác
1. Đoạn thẳng tỉ lệ
Khám phá 1 trang 44 Toán 8 Tập 2
a) Cho hai số 5 và 8. Hãy tính tỉ số giữa hai số đã cho.
b) Hãy đo và tính tỉ số giữa hai độ dài (theo mm) của hai đoạn thẳng AB và CD trong Hình 1.
Hướng dẫn giải
a) Tỉ số giữa hai số 5 và 8 là 5:8 = 
\(\frac{5}{8}\).
b) Ta có: AB = 35mm; CD = 45mm
Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là AB:CD = \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{35}{45}=\frac{7}{9}.\)
Thực hành 1 trang 44 Toán 8 Tập 2
Hãy tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:
a) AB = 6cm; CD = 8cm;
b) AB = 1,2m; CD = 42cm.
Hướng dẫn giải
a) Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là AB:CD = \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.\)
b) Đổi 1,2m = 120cm
Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là \(AB:CD = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{120}}{{42}} = \frac{{20}}{7}.\)
Khám phá 2 trang 45 Toán 8 Tập 2
So sánh tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD với tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN trong Hình 2.
Hướng dẫn giải
Ta coi mỗi vạch chia là 1 đơn vị. Do đó, độ dài các đoạn thẳng là AB = 2 đơn vị; CD = 3 đơn vị; EF = 4 đơn vị; MN = 6 đơn vị.
Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AB và CD là \(AB:CD = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\)
Tỉ số giữa hai đoạn thẳng EF và MN là EF:MN = \(\frac{{EF}}{{MN}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)
Do đó, tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD bằng tỉ số của hai đoạn thẳng EF và MN .
Thực hành 2 trang 45 Toán 8 Tập 2
Trong Hình 3, chứng minh rằng:
a) AB và BC tỉ lệ với A'B' và B'C';
b) AC và A'C' tỉ lệ với AB và A'B'.
Hướng dẫn giải
Ta xem độ dài một cạnh của hình vuông nhỏ là a và đường chéo của một hình vuông nhỏ là b.
Khi đó, độ dài các đoạn thẳng là
AB = b;BC = 3b;A'B' = a;B'C' = 3a;AC = 4b;A'C' = 4a
a) Tỉ số của AB và BC là \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{b}{{3b}} = \frac{1}{3}.\)
Tỉ số của A'B' và B'C' là \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}} = \frac{a}{{3a}} = \frac{1}{3}.\)
Do đó, AB và BC tỉ lệ với A'B' và B'C'.
b) Tỉ số của AC và A'C'là \(\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{4b}}{{4a}} = \frac{b}{a}.\)
Tỉ số của AB và A'B' là \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{b}{a}.
Do đó, AC và A'C' tỉ lệ với AB và A'B'.
Vận dụng 1 trang 45 Toán 8 Tập 2
Hãy tìm các đoạn thẳng tỉ lệ trong hình vẽ sơ đồ một góc công viên ở Hình 4.
Hướng dẫn giải
Ta có:
AD = 1,5m;AE = 3m;BD = 3m;EC = 6m;
AB = AD + DB = 1,5 + 3 = 4,5m;AC = AE + EC = 3 + 6 = 9m
Ta có:
\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{1,5}}{3} = \frac{1}{2};\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\) Do đó, AD và BD tỉ lệ với AE và EC.
\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{1,5}}{{4,5}} = \frac{1}{3};\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\) Do đó, AD và AB tỉ lệ với AE và AC.
\(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{4,5}}{3} = \frac{3}{2};\frac{{AC}}{{EC}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Do đó, AB và BD tỉ lệ với AC và EC.
2. Định lí Thales trong tam giác
HĐ3
Trên một tờ giấy kẻ caro có các đường kẻ ngang song song và cách đều nhau.
a) Vẽ một đường thẳng \(d\) cắt các đường kẻ ngang của tờ giấy như trong Hình 5a. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng \(MN;NP;PQ\) và \(QE\).
b) Vẽ một tam giác \(ABC\) rồi vẽ một đường thẳng song song với cạnh \(BC\) và cắt hai cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(B'\) và \(Cʹ\). Trên cạnh \(AB\), lấy đoạn \(AI\) làm đơn vị đo tính tỉ số \(AB'\) và \(BB'\); trên cạnh \(AC\), lấy đoạn \(AJ\) làm đơn vị đo tính tỉ số \(AC'\) và \(C'C\) (Hình 5b).
So sánh các tỉ số \(\frac{ABʹ}{AB}\) và \(\frac{{AC'}}{{AC}}\);\(\frac{{AB'}}{{B'B}}\) và \(\frac{{AC'}}{{C'C}}\);\(\frac{{B'B}}{{AB}}\) và \(\frac{{C'C}}{{AC}}\).
Hướng dẫn giải
a) Quan sát hình vẽ ta thấy độ dài các đoạn thẳng \(MN;NP;PQ\) và \(QE\) đều bằng nhau.
b) Trên cạnh \(AB\), lấy đoạn \(AI\) làm đơn vị đo nên độ dài \(ABʹ=5AI;BBʹ=2AI;\) Trên \(AB = 7AI\); cạnh \(AC\), lấy đoạn \(AJ\) làm đơn vị đo nên độ dài \(ACʹ=5AJ;CʹC=2AJ\);\(AC=7AJ\).
Tỉ số \(AB'\) và \(B'B\) là \(ABʹ:BʹB=\frac{ABʹ}{BʹB}=\frac{5AI}{2AI}=\frac52\);
Tỉ số \(AC'\) và \(C'C\) là \(AC':C'C = \frac{{AC'}}{{C'C}} = \frac{{5AJ}}{{2AJ}} = \frac{5}{2}\).
Do đó, \(\frac{{AB'}}{{B'B}} = \frac{{AC'}}{{C'C}} = \frac{5}{2}\).
Ta có: \(\frac{ABʹ}{AB}=\frac{5AI}{7AI}=\frac57;\frac{ACʹ}{AC}=\frac{5AJ}{7AJ}=\frac57\).
Do đó, \(\frac{ABʹ}{AB}=\frac{ACʹ}{AC}=\frac57\).
Ta có: \(\frac{{B'B}}{{AB}} = \frac{{2AI}}{{7AI}} = \frac{2}{7};\frac{{C'C}}{{AC}} = \frac{{2AJ}}{{7AJ}} = \frac{2}{7}\).
Do đó, \(\frac{ABʹ}{AB}=\frac{ACʹ}{AC}=\frac27\).
TH3
Tính độ dài \(x;y\) trong Hình 8.
Hướng dẫn giải
a)
Xét tam giác \(ABC\) có \(d//BC\) mà \(d\) cắt \(AB;AC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\)nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AF}}{{CF}} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{3}{{1,5}}\). Do đó, \(x = \frac{{2.3}}{{1,5}} = 4\).
Vậy \(x = 4\).
b) Ta có: \(MN = NR + MR = 2,5 + 5,5 = 8\)
Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\) ta có:
\(M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}\)
\({8^2} + {6^2} = M{P^2}\)
\(100=MP^2\Rightarrow MP=\sqrt{100}\;=10\)
Xét tam giác \(MNP\) có \(\left\{ \begin{array}{l}RS \bot MN\\NP \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow RS//NP\) (quan hệ từ vuông góc đến song song) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{MR}}{{MN}} = \frac{{MS}}{{MP}} \Rightarrow \frac{{5,5}}{8} = \frac{y}{{10}}\). Do đó, \(y = \frac{{5,5.10}}{8} = 6,875\).
Vậy \(y = 6,875\).
HĐ4
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6cm,AC = 8cm\) và \(BC = 10cm\). Lấy điểm \(B'\) trên \(AB\) sao cho AB' = 2cm. Qua \(B'\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\) và cắt \(AC\) tại \(C'\).
a) Tính \(AC'\).
b) Qua \(C'\) vẽ đường thẳng song song với \(AB\) và cắt \(BC\) tại \(D\). Tính \(BD,B'C'\).
c) Tính và so sánh các tỉ số: \(\frac{{AB'}}{{AB}},\frac{{AC'}}{{AC}}\) và \(\frac{{B'C'}}{{BC}}\).
Hướng dẫn giải
a) Xét tam giác \(ABC\) có \(B'C'//BC\) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AC'}}{8}\). Do đó, \(AC' = \frac{{2.8}}{6} = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)\).
Vậy \(AC' = \frac{{16}}{3}cm\).
b) Xét tam giác \(ABC\) có \(C'D//AB\) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{10}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8}\). Do đó, \(BD = \frac{{10.\frac{8}{3}}}{8} = \frac{{10}}{3}\left( {cm} \right)\).
Vậy \(BD = \frac{{10}}{3}cm\).
Ta có: \(BB' = AB - AB' = 6 - 2 = 4cm\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BC\\C'D//AB\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right. (do )\)
Xét tứ giác \(B'C'DB\) có
\(\left\{ \begin{array}{l}B'C'//BD\\C'D//B'B\end{array} \right. \Rightarrow\)tứ giác \(B'C'DB\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B'C' = BD = \frac{{10}}{3}cm\\BB' = C'D = 4cm\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)
c) Ta có: \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{\frac{8}{3}}}{8} = \frac{1}{3};\frac{{BC'}}{{BC}} = \frac{{\frac{{10}}{3}}}{{10}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, \(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\).
TH4
Tìm độ dài \(x\) trên Hình 13.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác \(OAB\) có \(CD//AB\).
Theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{CD}}{{AB}}\) mà \(OB = OD + DB = 3,6 + 1,8 = 5,4\)
Suy ra, \(\frac{{3,6}}{{5,4}} = \frac{x}{{7,8}} \Rightarrow x = \frac{{3,6.7,8}}{{5,4}} = 5,2\).
Vậy \(x = 5,2\).
VD2
Với số liệu đo đạc được ghi trên Hình 14, hãy tính bề rộng \(CD\) của con kênh.
Hướng dẫn giải
Vì \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD} \Rightarrow BE//CD\) (hai góc đồng vị bằng nhau)
Trong tam giác \(ACD\) có \(BE//CD\).
Theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BE}}{{CD}}\) mà \(AC = AB + BC = 8 + 8 = 16\)
Suy ra, \(\frac{8}{{16}} = \frac{3}{{CD}} \Rightarrow CD = \frac{{3.16}}{8} = 6\).
Vậy bề rộng \(CD\) của con sông là 6m.
HĐ5
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 6cm,AC = 15cm\). Trên \(AB,AC\) lần lượt lấy \(B',C'\) sao cho \(AB' = 2cm;AC' = 5cm\).
a) Tính các tỉ số \(\frac{{AB'}}{{AB}}\) và \(\frac{{AC'}}{{AC}}\).
b) Qua \(B'\) vẽ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(E\). Tính \(AE\).
c) So sánh \(AE\) và \(AC'\).
d) Hãy nhận xét về vị trí của \(E\) và \(C'\), vị trí của hai đường thẳng \(B'C'\) và \(B'E\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\).
b) Vì \(B'E//BC\) và\(B'E\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{{AE}}{{15}} \Rightarrow AE = \frac{{2.15}}{6} = 5cm\)
c) Ta có: \(AE = AC' = 5cm\).
d) Điểm \(E \equiv C'\) và đường thẳng \(B'C' \equiv B'E\).
TH5
Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong mỗi hình dưới đây.
Hướng dẫn giải
a) \(AB = AM + MB = 1 + 2 = 3;AC = AN + NC = 2 + 4 = 6;BC = BP + PC = 2 + 3 = 5\)
Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(ABC\), ta có \(MN//BC\).
Ta có: \(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\frac{{CP}}{{CB}} = \frac{3}{5}\).
Vì \(\frac{{CN}}{{AC}} \ne \frac{{CP}}{{BC}}\left( {\frac{2}{3} \ne \frac{3}{5}} \right)\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(ABC\), ta có \(NP\) không song song với \(BC\).
b) Vì \(\widehat {B''A''O} = \widehat {OA'B'}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(A''B''//A'B'\).
\(OA = OA' + A'A = 2 + 3 = 5;OB = OB' + B'B = 3 + 4,5 = 7,5\)
Ta có: \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{2}{5};\frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{3}{{7,5}} = \frac{2}{5}\).
Vì \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{2}{5}\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(OAB\), ta có \(A'B'//AB\).
Vì \left\{ \begin{array}{l}A'B'//AB\\A'B'//A''B''\end{array} \right. \Rightarrow AB//A''B''.
VD3
Đo chiều cao \(AB\) của một tòa nhà bằng hai cây cọc \(FE,DK\), một sợi dây và một thước cuộn như sau:
- Đặt cọc \(FE\) cố định, di chuyển cọc \(DK\) sao cho nhìn thấy \(K,F,A\) thẳng hàng.
- Căng thẳng dây \(FC\) đi qua \(K\) và cắt mặt đất tại \(C\).
- Đo khoảng cách \(BC\) và \(DC\) trên mặt đất.
Cho biết \(DK = 1m,BC = 24m,DC = 1,2m\). Tính chiều cao \(AB\) của tòa nhà.
Hướng dẫn giải
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}KD \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow KD//AB.\)
Xét tam giác \(CAB\) có \(KD//AB \Rightarrow \frac{{KD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (hệ quả của định lí Thales).
\(\Rightarrow \frac{1}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{24}} \Rightarrow AB = \frac{{24.1}}{{1,2}} = 20m\)
Vậy chiều cao \(AB\) của tòa nhà là 20m.
