Toán 8 Cánh diều bài 4 Hình bình hành

Giải Toán 8 Cánh diều trang 105, 106, 107, 108

Giải Toán 8 Cánh diều bài 4: Hình bình hành hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 Cánh diều. Tài liệu giúp các em nắm được các dạng toán được học trong bài, luyện giải toán 8 hiệu quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Giải Toán 8 Hình bình hành Cánh diều

Khởi động trang 105 Toán 8 Tập 1:
I. Định nghĩa
- Hoạt động 1 trang 105 sgk Toán 8 tập 1 CD:
II. Tính chất
- Hoạt động 2 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:
- Luyện tập 1 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:
III. Dấu hiệu nhận biết
- Hoạt động 3 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:
- Luyện tập 2 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD:
IV. Bài tập

Khởi động trang 105 Toán 8 Tập 1:

Trong thiết kế tay vịn cầu thang (Hình 34), người ta thường để các cặp thanh sườn song song với nhau, các cặp thanh trụ song song với nhau, tạo nên các hình bình hành.

Khởi động trang 105 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

Bài giải

* Hình bình hành có những tính chất sau:

- Các cạnh đối bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

- Tứ giác có các cặp đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 105 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho biết các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau hay không.

Giải hoạt động 1 trang 105 sgk Toán 8 tập 1 CD

Bài giải

Các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau.

II. Tính chất

Hoạt động 2 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).

a) Hai tam giác ABD và CDB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thắng: AB và CD; DA và BC.

b) So sánh các cặp góc: $\widehat{DAB} và \widehat{BCD}$ $\widehat{DAB} và \widehat{BCD}$; $\widehat{ABC} và \widehat{CDA}$ $\widehat{ABC} và \widehat{CDA}$

c) Hai tam giác OAB và OCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: OA và OC; OB và OD.

Giải hoạt động 1 trang 105 sgk Toán 8 tập 1 CD

Bài giải

a. Xét 2 tam giác ABD và CDB có:

$\widehat{DBA} = \widehat{BDC}$ $\widehat{DBA} = \widehat{BDC}$ (2 góc so le trong)
BD chung
$\widehat{ADB} = \widehat{CBD}$ $\widehat{ADB} = \widehat{CBD}$(2 góc so le trong)

=> 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau theo trường hợp g-c-g

=> AB = CD (2 cạnh tương ứng); AD = BC (2 cạnh tương ứng)

b. Từ câu a, 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau nên:

$\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$ $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}$

$\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$

Mặt khác $AD//BC=> \widehat{DBC} = \widehat{ADB}$ $AD//BC=> \widehat{DBC} = \widehat{ADB}$

$=> \widehat{ABD} + \widehat{DBC} = \widehat{CDB} + \widehat{ADB}$ $=> \widehat{ABD} + \widehat{DBC} = \widehat{CDB} + \widehat{ADB}$

$=> \widehat{ABC} và \widehat{CDA}$ $=> \widehat{ABC} và \widehat{CDA}$

c. Từ câu a, 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau nên AB = DC

$\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$

$\widehat{ACD} = \widehat{CAB} (AB//DC)$ $\widehat{ACD} = \widehat{CAB} (AB//DC)$

=> 2 tam giác OAB và OCD bằng nhau theo trường hợp g-c-g

=> OA = OC; OB = OD

Luyện tập 1 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A} = 80^{\circ}$ $\widehat{A} = 80^{\circ}$, AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD.

Bài giải

Trong hình bình hành ABCD có:

CD là cạnh đối của AB=> DC = AB =4cm

AD là cạnh đối của BC => AD = BC = 5cm

$\widehat{C}$ $\widehat{C}$ là góc đối của $\widehat{A}$ $\widehat{A}$ => $\widehat{C}$ $\widehat{C}$ = $\widehat{A}$ $\widehat{A}$ = $80^{\circ}$ $80^{\circ}$

$\widehat{D} = 180^{\circ} - \widehat{A} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$ $\widehat{D} = 180^{\circ} - \widehat{A} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$

$\widehat{B}$ $\widehat{B}$ là góc đối của $\widehat{D}$ $\widehat{D}$ => $\widehat{B}$ $\widehat{B}$ = $\widehat{D}$ $\widehat{D}$ = $100^{\circ}$ $100^{\circ}$

III. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 3 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC = DA (Hình 39).

Hai tam giác ABC và CDA có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: $\widehat{BAC} và \widehat{DCA } ; \widehat{ACB} và \widehat{CAD}$ $\widehat{BAC} và \widehat{DCA } ; \widehat{ACB} và \widehat{CAD}$

Giải hoạt động 3 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD

b. ABCD có phải là hình bình hành hay không?

Bài giải

a. Xét 2 tam giác ABC và CDA có:

AB = CD
BC = DA
AC chung

=> 2 tam giác ABC và CDA bằng nhau theo trường hợp c-c-c.

=> Các góc tương ứng:

$\widehat{BAC} = \widehat{DCA } => AB//DC$ $\widehat{BAC} = \widehat{DCA } => AB//DC$

$\widehat{ACB} = \widehat{CAD}=> AD//BC$ $\widehat{ACB} = \widehat{CAD}=> AD//BC$

=> Tứ giác ABCD có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b. Xét 2 tam giác ABO và CDO có:

AO = CO (O là trung điểm của AC)
BO = DO (O là trung điểm của BD)
$\widehat{AOB}= \widehat{COD}$ $\widehat{AOB}= \widehat{COD}$ (2 góc đối nhau)

=> 2 tam giác ABO và CDO bằng nhau theo trường hợp c-g-c

=> Các cặp góc tương ứng:

$\widehat{BAO} =\widehat{DCO} hay \widehat{BAC} = \widehat{DCA} => AB//DC$ $\widehat{BAO} =\widehat{DCO} hay \widehat{BAC} = \widehat{DCA} => AB//DC$

$\widehat{OCB} = \widehat{OAD}$ $\widehat{OCB} = \widehat{OAD}$ hay $\widehat{OCB} = \widehat{OAD}$ $\widehat{OCB} = \widehat{OAD}$

Vậy tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành.

Luyện tập 2 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thỏa mãn OA = OC và $\widehat{OAD}$ $\widehat{OAD}$ = $\widehat{OCB}$ $\widehat{OCB}$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xét 2 tam giác OAD và OCB có:

$\widehat{OAD}$ $\widehat{OAD}$ = $\widehat{OCB}$ $\widehat{OCB}$ (gt)OA = OC(gt)

$\widehat{AOD}$ $\widehat{AOD}$ = $\widehat{COB}$ $\widehat{COB}$ (2 góc đối đỉnh)

=> 2 tam giác OAD và OCB bằng nhau (g-c-g)

=> OD = OD.

Vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên sẽ là hình bình hành.

IV. Bài tập

Bài tập 1 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}, \widehat{ABC} = \widehat{CDA}$ $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}, \widehat{ABC} = \widehat{CDA}$. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh:

$a. \widehat{ABC} + \widehat{DAB} = 180^{\circ}$ $a. \widehat{ABC} + \widehat{DAB} = 180^{\circ}$

$b. \widehat{xAD} = \widehat{ABC}; AD//BC$ $b. \widehat{xAD} = \widehat{ABC}; AD//BC$

c. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài giải

Giải bài tập 1 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD

Như ta đã biết tổng các góc của một tứ giác là $360^{\circ}$ $360^{\circ}$. Xét tứ giác ABCD có:

$\widehat{DAB} + \widehat{BCD} + \widehat{ABC} + \widehat{CDA} = 360^{\circ}$ $\widehat{DAB} + \widehat{BCD} + \widehat{ABC} + \widehat{CDA} = 360^{\circ}$

Mà $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}, \widehat{ABC} = \widehat{CDA}$ $\widehat{DAB} = \widehat{BCD}, \widehat{ABC} = \widehat{CDA}$

Nên $2(\widehat{DAB} + \widehat{ABC}) = 360^{\circ} => \widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^{\circ}$ $2(\widehat{DAB} + \widehat{ABC}) = 360^{\circ} => \widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^{\circ}$

b. Dựa vào tính chất 2 góc kề bù, ta có:

$\widehat{xAD}+ \widehat{DAB} = 180^{\circ}$ $\widehat{xAD}+ \widehat{DAB} = 180^{\circ}$

$=> \widehat{xAD} = \widehat{ABC}$ $=> \widehat{xAD} = \widehat{ABC}$

Mặt khác 2 góc này ở vị trí đồng vị => AD//BC

c. $\widehat{xAD} = \widehat{CDA}$ $\widehat{xAD} = \widehat{CDA}$ (cùng bằng $\widehat{ABC}$ $\widehat{ABC}$). Mà 2 góc này ở vị trí só le trong nên AB//DC

Tứ giác ABCD có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Bài tập 2 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Theo tính chất đường trung tuyến ta có:

- GN = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ CN, mặt khác Q là trung điểm của GC nên GN = GQ

- GM = $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ BM, mặt khác P là trung điểm của GB nên GM = MP.

Hơn nữa, 2 góc đối đỉnh NGP và QGM bằng nhau nên khi đó 2 tam giác NGP và QGM bằng nhau (c-g-c)

=> $\widehat{GNP}=\widehat{GQM}$ $\widehat{GNP}=\widehat{GQM}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NP//MQ

Tương tự 2 tam giác NGM và QGP cũng bàng nhau (c-g-c)

=> $\widehat{GNM}=\widehat{GQP}$ $\widehat{GNM}=\widehat{GQP}$ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NM//PQ

Vậy tứ giác MNPQ có 2 cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành (đpcm)

Bài tập 3 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42).

Chứng minh:

a) CD=MN

b) $\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAN}$ $\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAN}$

Bài giải

a. Vì ABCD là hình bình hành nên cặp cạnh đối CD = AB.

Vì ABMN là hình bình hành nên cặp cạnh đối MN = AB.

=> CD = MN

b. Trong hình bình hành ABCD có 2 góc đối nhau BCD = DAB

Trong hình bình hành ABMN có 2 góc đối nhau BMN = BAN

=> $\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAB}+\widehat{BAN}$ $\widehat{BCD}+\widehat{BMN}=\widehat{DAB}+\widehat{BAN}$ = $\widehat{DAN}$ $\widehat{DAN}$ (đpcm)

Bài tập 4 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình 43). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Tứ giác DABC có 2 đường chéo DB và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

=> Cặp cạnh đối AB = DC = 100m

Bài tập 5 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau dó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?