Toán 8 Cánh diều bài 2 trang 38, 39, 41, 42, 43
Giải Toán 8 Cánh diều bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số được VnDoc sưu tầm và giới thiệu với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 8 Cánh diều. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.
Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
I. Phép cộng các phân thức đại số
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu
Hoạt động 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính: 
\(\frac{-3}{5}+\frac{23}{5}\)
Bài giải
\(\frac{-3}{5}+\frac{23}{5} = \frac{-3+23}{5} =\frac{20}{5}\)
Luyện tập 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:
\(\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}\)
Bài giải
\(\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}\)
\(= \frac{(x-2y)+(x+2y)}{x^{2}+xy} = \frac{x-2y+x+2y}{x^{2}+xy}\)
\(= \frac{2x}{x^{2}+xy}\)
2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau
Hoạt động 2 trang 38 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho 2 phân thức: \(\frac{1}{x+1}; \frac{1}{x-1}\)
a. Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên.
b. Từ câu a hãy thực hiện phép tính \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\)
Bài giải
a. Quy đồng mẫu thức hai phân thức trên:
\(\frac{1}{x+1} = \frac{1.(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}\)
\(\frac{1}{x-1} = \frac{1.(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\)
b. Thực hiện phép tính:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}\)
\(= \frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-1)}\)
Luyện tập 2 trang 39 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính: \(\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{xy+y^{2}}\)
Bài giải
\(\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{xy+y^{2}}\)
\(= \frac{1.(xy+y^{2})}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}+\frac{1.(x^{2}+xy)}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}\)
\(= \frac{xy+y^{2}+x^{2}+xy}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}\)
\(= \frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}\)
\(= \frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+xy)(xy+y^{2})}\)
3. Tính chất của phép cộng phân thức
Hoạt động 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hãy nêu các tính chất của phép cộng phân số.
Bài giải
Các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0
Luyện tập 3 trang 39 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính một cách hợp lí:
\(\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}\)
Bài giải
\(\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}\)
\(= (\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}})+\frac{2y}{x+y}\)
\(= \frac{x^{2}+y^{2}-1+1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}\)
\(= \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}}+\frac{2y}{x+y}\)
\(= \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y}\)
\(= \frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}\)
\(= \frac{x+y}{x+y}=1\)
II. Phép trừ các phân thức đại số
1. Quy tắc trừ hai phân thức
Luyện tập 4 trang 41 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:
\(a. \frac{4x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\frac{3x+4y}{x^{2}-y^{2}}\)
\(b. \frac{2xy+3y^{2}}{x^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}\)
Bài giải
\(a. \frac{4x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\frac{3x+4y}{x^{2}-y^{2}}\)
\(= \frac{4x+3y-3x-4y}{(x-y)(x+y)}\)
\(= \frac{x-y}{(x-y)(x+y)}\)
\(= \frac{1}{x+y}\)
\(b. \frac{2xy+3y^{2}}{x^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}\)
\(= \frac{(2xy+3y^{2}).3}{x(x-3y).3}-\frac{x.x}{3(x-3y).x}\)
\(= \frac{6xy+9y^{2}-x^{2}}{3x^{2}-9xy}\)
2. Phân thức đối
Luyện tập 5 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính một cách hợp lí:
\(\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^{2}-9y^{2}}-\frac{x+8y}{3y-2x}\)
Bài giải
\(\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^{2}-9y^{2}}-\frac{x+8y}{3y-2x}\)
\(= \frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}+\frac{x+8y}{2x-3y}\)
\(= (\frac{x-5y}{2x-3y}+\frac{x+8y}{2x-3y})-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}\)
\(= \frac{2x+3y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}\)
\(= \frac{(2x+3y)(2x+3y)}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}\)
\(= \frac{4x^{2}+12xy+9y^{2}-24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}\)
\(= \frac{4x^{2}-12xy+9y^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}\)
\(= \frac{(2x-3y)^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{2x-3y}{2x+3y}\)
III. Bài tập
Thực hiện phép tính (từ bài 1 đến bài 3)
Bài tập 1 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD:
\(a. \frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9}\)
\(b. \frac{x^{2}y-6}{2x^{2}y}+\frac{6-xy^{2}}{2x^{2}y}\)
\(c. \frac{x+1}{x^{2}-5x}+\frac{x-18}{x^{2}-5x}+\frac{x+2}{x^{2}-5x}\)
\(d. \frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3}\)
\(e. \frac{4x-1}{3xy^{2}}-\frac{7x-1}{3xy^{2}}\)
\(g. \frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}\)
Bài giải
\(a. \frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9} = \frac{5x-4+4x+4}{9}=\frac{9x}{9}=x\)
\(b. \frac{x^{2}y-6}{2x^{2}y}+\frac{6-xy^{2}}{2x^{2}y}\)
\(= \frac{x^{2}y-6+6-xy^{2}}{2x^{2}y}\)
\(= \frac{x^{2}y-xy^{2}}{2x^{2}y} = \frac{xy(x-y)}{xy.2x}\)
\(=\frac{x-y}{2x}\)
\(c. \frac{x+1}{x^{2}-5x}+\frac{x-18}{x^{2}-5x}+\frac{x+2}{x^{2}-5x}\)
\(= \frac{x+1+x-18+x+2}{x^{2}-5x}=\frac{3x-15}{x^{2}-5x}\)
\(=\frac{3(x-5)}{x(x-5)}=\frac{3}{x}\)
\(d. \frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3} = \frac{7y-7y+5}{3}=\frac{5}{3}\)
\(e. \frac{4x-1}{3xy^{2}}-\frac{7x-1}{3xy^{2}} = \frac{4x-1-7x+1}{3xy^{2}}\)
\(=\frac{-3x}{3xy^{2}}=\frac{-1}{y^{2}}\)
\(g. \frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}\)
\(= \frac{(3y-2x)(2y-x)}{(x-2y)(2y-x)}-\frac{(x-y)(x-2y)}{(2y-x)(x-2y)}\)
\(=\frac{6y^{2}-3xy-4xy+2x^{2}}{(x-2y)(2y-x)}-\frac{x^{2}-2xy-xy+2y^{2}}{(2y-x)(x-2y)}\)
\(= \frac{6y^{2}-7xy+2x^{2}-x^{2}+3xy-2y^{2}}{(2y-x)(x-2y)}\)
\(= \frac{4y^{2}-4xy+x^{2}}{(2y-x)(x-2y)}\)
\(= \frac{(2y-x)^{2}}{(2y-x)(x-2y)}=\frac{2y-x}{x-2y}\)
Bài tập 2 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD:
\(a. \frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6}\)
\(b. \frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}\)
\(c. \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)
\(d. \frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}\)
Bài giải
\(a. \frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6} = \frac{(4x+2).6}{4(x-1).6}+\frac{(3-6x).4}{6(x-1).4}\)
\(= \frac{24x+12}{24x-24}+\frac{12-24x}{24x-24}\)
\(= \frac{24x+12+12-24x}{24x-24}=\frac{24}{24(x-1)}=\frac{1}{x-1}\)
\(b. \frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}\)
\(= \frac{y(y^{2}-2xy)}{(2x^{2}-xy)(y^{2}-2xy)}+\frac{4x(2x^{2}-xy)}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}\)
\(= \frac{y^{3}-2x^{2}y+8x^{3}-4x^{2}y}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}\)
\(= \frac{y^{3}-6x^{2}y+8x^{3}}{(y^{2}-2xy)(2x^{2}-xy)}\)
\(c. \frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\)
\(= \frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}+\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}+\frac{2y^{2}}{(x-y)(x+y)}\)
\(= \frac{x^{2}+xy+xy-y^{2}+2y^{2}}{(x-y)(x+y)}\)
\(= \frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}\)
\(= \frac{(x+y)^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}\)
\(d. \frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}\)
\(= \frac{x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\frac{x(x-1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}-\frac{1.(x^{2}+x+1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}\)
\(= \frac{x^{2}+2+x^{2}-x-x^{2}-x-1}{(x^{2}+x+1)(x-1)}\)
\(= \frac{x^{2}-2x+1}{(x^{2}+x+1)(x-1)}\)
\(= \frac{(x-1)^{2}}{(x^{2}+x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^{2}+x+1}\)
Bài tập 3 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD:
\(a. \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}\)
\(b. \frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3}\)
\(c. \frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy}\)
\(d. \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2+2x}\)
Bài giải
\(a. \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1} = \frac{x+1-x+2}{(x-2)(x+1)}=\frac{3}{(x-2)(x+1)}\)
\(b. \frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3} = \frac{12}{(x-3)(x+3)}-\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}\)
\(=\frac{12-2x-6}{(x-3)(x+3)}\)
\(= \frac{6-2x}{(x-3)(x+3)}=\frac{-2(x-3)}{(x-3)(x+3)}\)
\(=\frac{-2}{x+3}\)
\(c. \frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy} = \frac{1}{x(y-x)}-\frac{1}{y(y-x)}\)
\(=\frac{y}{x(y-x)y}-\frac{x}{y(y-x)x}=\frac{y-x}{(y-x)xy}=\frac{1}{xy}\)
\(d. \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2+2x}\)
\(= \frac{2x}{x^{2}-1}-(\frac{3}{2+2x}-\frac{1}{2+2x})\)
\(= \frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2}{2+2x}\)
\(= \frac{2x}{(x-1)(x+1)}-\frac{2}{2(1+x)}\)
\(= \frac{2x.2}{(x-1)(x+1).2}-\frac{2(x-1)}{2(1+x)(x-1)}\)
\(= \frac{4x-2x+2}{(x-1)(x+1).2}\)
\(= \frac{2x+2}{(x-1)(x+1).2}\)
\(= \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1).2}=\frac{1}{x-1}\)
Bài tập 4 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD:
a. Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}\)
b. Tính giá trị của biểu thức A tại x=-3
Bài giải
\(a. A = \frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}\)
\(= \frac{2x^{2}+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}+\frac{(1-x)(x+1)}{(x^{2}-x+1)(x+1)}-\frac{1.(x^{2}-x+1)}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\)
\(= \frac{2x^{2}+1+x+1-x^{2}-x-x^{2}+x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\)
\(=\frac{1+x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{1}{x^{2}-x+1}\)
b. Tại x=-3, ta có \(x^{2}-x+1 = (-3)^{2}-(-3)+1=13 \neq 0\) nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Vậy tại x = -3, giá trị của \(A = \frac{1}{13}\)
Bài tập 5 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;
b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;
c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.
Bài giải
a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định: \(\frac{10000}{x}\)
b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: \(\frac{10000+80}{x-1}\)
c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:
\(\frac{10000+80}{x-1}-\frac{10000}{x}=\frac{10000x+80x-10000x+10000}{x(x-1)}\)
\(=\frac{80x+10000}{x(x-1)}\)
Bài tập 6 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD: Người ta mở hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước. Thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đây bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ. Gọi x (giờ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình để đây bể. Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình để đây bể,
b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ;
c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ.
Bài giải
a) Thời gian vòi thứ hai chảy một mình để đây bể: x+2
b) Phần bể mà mỗi vòi chảy được trong 1 giờ:
- Vòi 1: \(\frac{1}{x}\)
- Vòi 2: \(\frac{1}{x+2}\)
c) Phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}\)
Bài tập 7 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD: Để hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 120 cây xanh. Khi bắt đầu thực hiện, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên. Gọi x là số đoàn viên ban đầu của chi đoàn và giả sử số cây mỗi đoàn viên trồng là như nhau. Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định;
b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế;
c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế
Bài giải
a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định: \(\frac{120}{x}\)
b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế: \(\frac{120}{x+3}\)
c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế:
\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+3} = \frac{120x+360-120x}{x(x+3)}=\frac{360}{x(x+3)}\)
-------------------------------------
Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn Giải Toán 8 bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số CD.
Các bạn có thể tham khảo thêm bài: Toán 8 Cánh diều bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số
Toán 8 từ năm học 2023 - 2024 trở đi sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Việc lựa chọn giảng dạy bộ sách nào sẽ tùy thuộc vào các trường. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc sẽ cung cấp lời giải bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, trắc nghiệm toán từng bài và các tài liệu giảng dạy, học tập khác. Mời các bạn tham khảo qua đường link bên dưới:
