Toán 8 Cánh diều bài 4 trang 24, 25, 26, 27

Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Giải Toán 8 Cánh diều bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn giải các bài tập trong SGK Toán 8 Cánh diều tập 1 trang 24, 25, 26, 27. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Khởi động trang 24 Toán 8 Tập 1:
I. Phân tích đa thức thành phân tử
- Hoạt động 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CD:
II. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
III. Giải bài tập trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD:
3. Trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều

Khởi động trang 24 Toán 8 Tập 1:

Làm thế nào để biến đổi được đa thức 3x² – 5x dưới dạng tích của hai đa thức?

Hướng dẫn giải:

Để biến đổi được đa thức 3x² – 5x dưới dạng tích của hai đa thức, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ta biến đổi như sau: 3x² – 5x = x(3x – 5).

I. Phân tích đa thức thành phân tử

Hoạt động 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Viết đa thức $6x^{2}-10x$ $6x^{2}-10x$ thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Hướng dẫn giải:

$6x^{2}-10x = 2x(3x-5)$ $6x^{2}-10x = 2x(3x-5)$

II. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Hoạt động 2 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Viết mỗi đa thức sau thành tích của hai đa thức:

$a. x^{2}-y^{2}$ $a. x^{2}-y^{2}$

$b. x^{3}-y^{3}$ $b. x^{3}-y^{3}$

$c. x^{3}+y^{3}$ $c. x^{3}+y^{3}$

Hướng dẫn giải:

$a. x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y)$ $a. x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y)$

$b. x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$ $b. x^{3}-y^{3} = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

$c. x^{3}+y^{3} = (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$ $c. x^{3}+y^{3} = (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

Luyện tập 1 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử.

$a. (x+2y)^{2}-(x-2y)^{2}$ $a. (x+2y)^{2}-(x-2y)^{2}$

$b. 125+y^{3}$ $b. 125+y^{3}$

$c. 27x^{3}-y^{3}$ $c. 27x^{3}-y^{3}$

Hướng dẫn giải:

$a. (x+2y)^{2}-(x-2y)^{2}$ $a. (x+2y)^{2}-(x-2y)^{2}$

$= (x+2y-x+2y)(x+2y+x-2y)$

$= 4y.2x$

$b. 125+y^{3}$ $b. 125+y^{3}$

$= 5^{3}+y^{3}$ $= 5^{3}+y^{3}$

$= (5+y)(5^{2}-5y+y^{2})$ $= (5+y)(5^{2}-5y+y^{2})$

$= (5+y)(25-5y+y^{2})$ $= (5+y)(25-5y+y^{2})$

$c. 27x^{3}-y^{3}$ $c. 27x^{3}-y^{3}$

$= (3x)^{3}-y^{3}$ $= (3x)^{3}-y^{3}$

$= (3x-y)((3x)^{2}+3xy+y^{2})$ $= (3x-y)((3x)^{2}+3xy+y^{2})$

$= (3x-y)(9x^{2}+3xy+y^{2})$ $= (3x-y)(9x^{2}+3xy+y^{2})$

Hoạt động 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Cho đa thức: $x^{2}-2xy+y^{2}+x-y$ $x^{2}-2xy+y^{2}+x-y$

a. Nhóm 3 số hạng đầu và áp dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích.

b. Phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

a. Nhóm 3 số hạng đầu và áp dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích:

$x^{2}-2xy+y^{2}+x-y = (x^{2}-2xy+y^{2})+(x-y)$ $x^{2}-2xy+y^{2}+x-y = (x^{2}-2xy+y^{2})+(x-y)$

$= (x-y)^{2}+(x-y)$ $= (x-y)^{2}+(x-y)$

$=(x-y)(x-y)+(x-y)$

b. Phân tích đa thức trên thành nhân tử:

$(x-y)(x-y)+(x-y)$

$= (x-y)(x-y+1)$

Luyện tập 2 trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử.

$a. 3x^{2}-6xy+3y^{2}-5x+5y$ $a. 3x^{2}-6xy+3y^{2}-5x+5y$

$b. 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$ $b. 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$

Hướng dẫn giải:

$a. 3x^{2}-6xy+3y^{2}-5x+5y$ $a. 3x^{2}-6xy+3y^{2}-5x+5y$

$= 3(x^{2}-2xy+y^{2})-5(x-y)$ $= 3(x^{2}-2xy+y^{2})-5(x-y)$

$= 3(x-y)^{2}-5(x-y)$ $= 3(x-y)^{2}-5(x-y)$

$= (x-y)(3x-3y-5)$

$b. 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$ $b. 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$

$= 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$ $= 2x^{2}y+4xy^{2}+2y^{3}-8y$

$= 2y(x^{2}+2xy+y^{2})-8y$ $= 2y(x^{2}+2xy+y^{2})-8y$

$= 2y((x+y)^{2}-2^{2})$ $= 2y((x+y)^{2}-2^{2})$

$= 2y(x+y-2)(x+y+2)$

III. Giải bài tập trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Bài tập 1 trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

$a. 4x^{2}-12xy+9y^{2}$ $a. 4x^{2}-12xy+9y^{2}$

$b. x^{3}+6x^{2}+12x+8$ $b. x^{3}+6x^{2}+12x+8$

$c. 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$ $c. 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$

$d. (2x+y)^{2}-4y^{2}$ $d. (2x+y)^{2}-4y^{2}$

$e. 27y^{3}+8$ $e. 27y^{3}+8$

$g. 64-125x^{3}$ $g. 64-125x^{3}$

Hướng dẫn giải:

$a. 4x^{2}-12xy+9y^{2}$ $a. 4x^{2}-12xy+9y^{2}$

$= (2x)^{2}-2.2x.3y+(3y)^{2}$ $= (2x)^{2}-2.2x.3y+(3y)^{2}$

$= (2x+3y)^{2}$ $= (2x+3y)^{2}$

$= (2x+3y).(2x+3y)$

$b. x^{3}+6x^{2}+12x+8$ $b. x^{3}+6x^{2}+12x+8$

$= x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3}$ $= x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3}$

$= (x+2)^{3}$ $= (x+2)^{3}$

$c. 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$ $c. 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$

$= 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$ $= 8y^{3}-12y^{2}+6y-1$

$= (2y)^{3}-3.(2y)^{2}.1+3.2y.1^{2}-1^{3}$ $= (2y)^{3}-3.(2y)^{2}.1+3.2y.1^{2}-1^{3}$

$= (2y-1)^{3}$ $= (2y-1)^{3}$

$d. (2x+y)^{2}-4y^{2}$ $d. (2x+y)^{2}-4y^{2}$

$= (2x+y)^{2}-4y^{2}$ $= (2x+y)^{2}-4y^{2}$

$= (2x+y)^{2}-(2y)^{2}$ $= (2x+y)^{2}-(2y)^{2}$

$= (2x+y-2y)(2x+y+2y)$

$= (2x-y)(2x+3y)$

$e. 27y^{3}+8$ $e. 27y^{3}+8$

$= 27y^{3}+8$ $= 27y^{3}+8$

$= (3y)^{3}+2^{3}$ $= (3y)^{3}+2^{3}$

$= (3y+2)((3y)^{2}-2.3y+2^{2})$ $= (3y+2)((3y)^{2}-2.3y+2^{2})$

$= (3y+2)(9y^{2}-6y+4)$ $= (3y+2)(9y^{2}-6y+4)$

$g. 64-125x^{3}$ $g. 64-125x^{3}$

$= 64-125x^{3}$ $= 64-125x^{3}$

$= 4^{3}-(5x)^{3}$ $= 4^{3}-(5x)^{3}$

$= (4-5x)(4^{2}+4.5x+(5x)^{2})$ $= (4-5x)(4^{2}+4.5x+(5x)^{2})$

$= (4-5x)(16+20x+25x^{2})$ $= (4-5x)(16+20x+25x^{2})$

Bài tập 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử

$a. x^{2}-25-4xy+4y^{2}$ $a. x^{2}-25-4xy+4y^{2}$

$b. x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$ $b. x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$

$c. x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$ $c. x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$

Hướng dẫn giải:

$a. x^{2}-25-4xy+4y^{2}$ $a. x^{2}-25-4xy+4y^{2}$

$= x^{2}-25-4xy+4y^{2}$ $= x^{2}-25-4xy+4y^{2}$

$= x^{2}-5^{2}-2x.2y+(2y)^{2}$ $= x^{2}-5^{2}-2x.2y+(2y)^{2}$

$= x^{2}-2x.2y+(2y)^{2}-5^{2}$ $= x^{2}-2x.2y+(2y)^{2}-5^{2}$

$= (x-2y)^{2}-5^{2}$ $= (x-2y)^{2}-5^{2}$

$= (x-2y-5)(x-2y+5)$

$b. x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$ $b. x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$

$= x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$ $= x^{3}-y^{3}+x^{2}y-xy^{2}$

$=(x^{3}-y^{3})+(x^{2}y-xy^{2})$ $=(x^{3}-y^{3})+(x^{2}y-xy^{2})$

$= (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+xy(x-y)$ $= (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+xy(x-y)$

$= (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+xy)$ $= (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+xy)$

$= (x-y)(x+y)^{2}$ $= (x-y)(x+y)^{2}$

$c. x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$ $c. x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$

$= x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$ $= x^{4}-y^{4}+x^{3}y-xy^{3}$

$= (x^{4}+x^{3}y)-(y^{4}+xy^{3})$ $= (x^{4}+x^{3}y)-(y^{4}+xy^{3})$

$= x^{3}(x+y)-y^{3}(x+y)$ $= x^{3}(x+y)-y^{3}(x+y)$

$= (x+y)(x^{3}-y^{3})$ $= (x+y)(x^{3}-y^{3})$

Bài tập 3 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

$a. A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$ $a. A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$ biết $x^{2}-y=6$ $x^{2}-y=6$

$b. B = x^{2}y^{2}+2xyz+z^{2}$ $b. B = x^{2}y^{2}+2xyz+z^{2}$biết xy+z=0

Hướng dẫn giải:

$a. A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$ $a. A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$

Ta có:

$A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$ $A = x^{4}-2x^{2}y-x^{2}+y^{2}+y$

$= (x^{4}-2x^{2}y+y^{2})-(x^{2}-y)$ $= (x^{4}-2x^{2}y+y^{2})-(x^{2}-y)$

$= (x^{2}-y)^{2}-(x^{2}-y)$ $= (x^{2}-y)^{2}-(x^{2}-y)$

$= (x^{2}-y)((x^{2}-y)-1)$ $= (x^{2}-y)((x^{2}-y)-1)$

Theo bài ra ta có: $x^{2}-y=6$ $x^{2}-y=6$

Vậy A = 6.(6-1) = 30

Ta có:

$B = x^{2}y^{2}+2xyz+z^{2}$ $B = x^{2}y^{2}+2xyz+z^{2}$

$=(xy)^{2}+2.xy.z+z^{2}$ $=(xy)^{2}+2.xy.z+z^{2}$

$= (xy+z)^{2}$ $= (xy+z)^{2}$

Theo bài ra ta có: xy+z=0

Vậy $B = 0^{2} = 0$ $B = 0^{2} = 0$

Bài tập 4 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Chứng tỏ rằng:

$a. M = 32^{2023}-32^{2021}$ $a. M = 32^{2023}-32^{2021}$ chia hết cho 31.

$b. N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1$ $b. N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1$ chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

$a. M = 32^{2023}-32^{2021}$ $a. M = 32^{2023}-32^{2021}$

$= 32^{2023}-32^{2021}$ $= 32^{2023}-32^{2021}$

$= 32^{2021}(32^{2}-1)$ $= 32^{2021}(32^{2}-1)$

$= 32^{2021}(32-1)(32+1)$ $= 32^{2021}(32-1)(32+1)$

$= 32^{2021}.31.33$ $= 32^{2021}.31.33$

=> Vậy M chia hết cho 31.

$b. N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1$ $b. N = 7^{6}+2.7^{3}+8^{2022}+1$

$= (7^{3})^{2}+2.7^{3}.1+1^{2}+8^{2022}$ $= (7^{3})^{2}+2.7^{3}.1+1^{2}+8^{2022}$

$= (7^{3}+1)^{2}+8^{2022}$ $= (7^{3}+1)^{2}+8^{2022}$

$= 344^{2}+8^{2022}$ $= 344^{2}+8^{2022}$

$= (43.8)^{2}+8^{2022}$ $= (43.8)^{2}+8^{2022}$

Ta có: $(43.8)^{2}$ $(43.8)^{2}$ chia hết cho 8; $8^{2022}$ $8^{2022}$chia hết cho 8

=> Vậy N chia hết cho 8

Bài tập 5 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD:

Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất x %/năm.

a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.

b) Sau kì hạn 12 tháng, tiễn lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên dưới dạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . r% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . r% = a . (1 + r%) (đồng).

b) Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + r%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) . r% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . r% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)² (đồng).