Toán lớp 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ: 2x² + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)

a) Phương pháp đặt nhân tử chung

- Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức: A(B + C) = AB + AC

Ví dụ: 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A - B)² = A² - 2AB + B²

A² - B² = (A + B)(A - B)

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x² – 4x + 4 =

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

- Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

x² – 2xy + 5x – 10y = (x² – 2xy) + (5x – 10y)

= x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

d) Phương pháp tách một hạng tử

Ví dụ: 2x² - 3x + 1 = 2x² - 2x - x +1

 = 2x(x - 1) - (x - 1)

= (x - 1)(2x - 1)

e) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ: y⁴ + 64 = y⁴ + 16y² + 64 - 16y²

= (y² + 8)² - (4y)²

= (y² + 8 - 4y)(y² + 8 + 4y)

f) Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ: a³ - a²b - ab² + b³ = a²(a - b) - b²(a - b)

= (a - b) (a² - b²)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)²(a + b)

a) Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử .

• Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học để tách hoặc ghép thích hợp.

• Đối với loại toán phân tích đa thức thành nhân tử, cần làm nhiều bài tập để qua đó có thể rút ra kinh nghiệm, tạo được thói quen có thể thêm bớt, ghép hạng tử,... sao cho phù hợp

b) Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

• Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (nếu cần).

• Bước 2: Thay giá trị của biến vào đa thức vừa phân tích rồi thực hiện phép tính.

c) Dạng 3: Tính nhanh

• Sử dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để tính nhanh giá trị của biểu thức.

d) Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước

• Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái (nếu cần), vế phải bằng 0.

• Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử.

• Bước 3: Cho từng nhân tử bằng 0 rồi tìm .

e) Dạng 5: Chứng minh tính chia hết của một biểu thức

• Phương pháp: Để chứng minh biểu thức P chia hết cho biểu thức Q, ta phân tích biểu thức P về dạng tích các nhân tử trong đó có ít nhất một nhân tử là biểu thức Q.

f) Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

• Phương pháp: Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.